1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 课后达标训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 一．选择题 1．设命题p：∀x∈{x|－1＜x＜1}，|x|<1，则命题p的否定为(　　) A．∃x∈{x|－1＜x＜1}，|x|<1 B．∃x∈{x|－1＜x＜1}，|x|≥1 C．∀x∈{x|－1＜x＜1}，|x|≥1 D．∀x∉{x|－1＜x＜1}，|x|≥1 2．已知命题p：∃c>0，方程x2－x＋c＝0有解，则綈p为(　　) A．∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解 B．∀c≤0，方程x2－x＋c＝0有解 C．∃c>0，方程x2－x＋c＝0无解 D．∃c≤0，方程x2－x＋c＝0有解 3．(多选)下列关于命题p：∀x∈R，x2＋1≠0的说法，正确的是(　　) A．p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B．p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，p的否定是假命题 D．p是假命题，p的否定是真命题 4．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 5．(2025·新高考全国Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 6．(数学文化)17世纪，数学家费马提出猜想：对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解．经过300多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为(　　) A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解 B．对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 D．存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 二．填空题 7．已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则綈p是　　　　　　　　　. 8．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0. (1)命题p的否定为__________； (2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是　　　　. 9．若命题“∀x∈R，2x2＋5x－m≠0”是假命题，则实数m的值可能为　　　　. 三．解答题 10．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，m≥x.若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 11.已知命题p：存在x>1，使得2x＋a<3是假命题，求实数a的取值范围． 12．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围． 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 一．选择题 1．设命题p：∀x∈{x|－1＜x＜1}，|x|<1，则命题p的否定为(　　) A．∃x∈{x|－1＜x＜1}，|x|<1 B．∃x∈{x|－1＜x＜1}，|x|≥1 C．∀x∈{x|－1＜x＜1}，|x|≥1 D．∀x∉{x|－1＜x＜1}，|x|≥1 B　解析：命题p是全称量词命题，其否定为“∃x∈{x|－1<x<1}，|x|≥1”． 2．已知命题p：∃c>0，方程x2－x＋c＝0有解，则綈p为(　　) A．∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解 B．∀c≤0，方程x2－x＋c＝0有解 C．∃c>0，方程x2－x＋c＝0无解 D．∃c≤0，方程x2－x＋c＝0有解 A　解析：命题p：∃c>0，方程x2－x＋c＝0有解，则綈p：∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解． 3．(多选)下列关于命题p：∀x∈R，x2＋1≠0的说法，正确的是(　　) A．p的否定：∃x∈R，x2＋1＝0 B．p的否定：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，p的否定是假命题 D．p是假命题，p的否定是真命题 AC　解析：命题p：∀x∈R，x2＋1≠0的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，且p为真命题，则p的否定是假命题． 4．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 ABC　解析：命题的否定为真命题等价于原命题为假命题．对于A，由1＜4x＜3，得＜x＜，这样的整数不存在，故A为假命题，其否定为真命题，A符合；同理选项B，C为假命题，其否定为真命题，B，C符合；由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，故D为真命题，其否定为假命题，故D不符合．故选ABC． 5．(2025·新高考全国Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1，命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 B　解析：对于命题p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B． 6．(数学文化)17世纪，数学家费马提出猜想：对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解．经过300多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为(　　) A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn都没有正整数解 B．对任意正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 D．存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解 D　解析：原命题为全称量词命题，则其否定为“存在正整数n＞2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解”． 二．填空题 7．已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则綈p是　　　　　　　　　. ∀x>1，x2－4≥0　解析： 命题p：∃x>1，x2－4<0，故綈p：∀x>1，x2－4≥0. 8．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0. (1)命题p的否定为__________； (2)若命题p是真命题，则实数a的取值范围是　　　　. (1)∀x∈R，x2＋2x＋a≠0　(2){a|a≤1} 解析：(1)命题“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”是存在量词命题，其否定为“∀x∈R，x2＋2x＋a≠0”． (2)因为“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”为真命题，所以Δ＝4－4a≥0，所以a≤1. 9．若命题“∀x∈R，2x2＋5x－m≠0”是假命题，则实数m的值可能为　　　　. 0　解析：因为命题“∀x∈R，使2x2＋5x－m≠0”是假命题， 所以其否定“∃x∈R，使2x2＋5x－m＝0”是真命题， 即方程2x2＋5x－m＝0有解，所以Δ＝52－4×2×(－m)≥0，得m≥－. 故实数m的一个可能取值为0. 三．解答题 10．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，m≥x.若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知命题p，q都是真命题． 由∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x成立， 得m≥xmax，即m≥3. 由∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x成立， 得m≥xmin，即m≥1. 因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 11.已知命题p：存在x>1，使得2x＋a<3是假命题，求实数a的取值范围． 解：命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定：对任意x>1，2x＋a≥3是真命题． 因为对任意x>1，都有2x＋a>2＋a， 所以2＋a≥3，所以a≥1. 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 12．已知集合A＝{x|0≤x≤a}，集合B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，求实数a的取值范围． 解：　命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则其否定“∀m∈R，A∩B＝∅”为真命题． 当a＜0时，集合A＝{x|0≤x≤a}＝∅， 符合A∩B＝∅，当a≥0时，因为m2＋3＞0. 所以由∀m∈R，A∩B＝∅， 得a＜m2＋3对于∀m∈R恒成立， 当m∈R时，有m2＋3≥3，所以a＜3，则0≤a＜3， 综上，实数a的取值范围为{a|a＜3}． 1/7 学科网（北京）股份有限公司 $