22.3第2课时　用一元二次方程解决平均变化率与传播问题课件2025-2026学年华东师大版（2012）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦用一元二次方程解决平均变化率与利润问题，课堂导入先回顾列方程解应用题步骤，再通过粮食产量增长率、药品成本下降率等实例引导，从具体问题抽象出“变化前量×(1±x)²=变化后量”的模型，搭建从旧知到新知的学习支架。 其特色是结合药品成本下降率、核桃销售利润等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，抽象数量关系。通过归纳变化率规律和利润基本关系，培养数学思维中的推理意识，规范的方程建模过程强化数学语言表达。学生能提升建模与应用能力，教师可借助清晰结构和典例提高教学效率。

第22章　一元二次方程 22.3　实践与探索 第2课时　用一元二次方程解决平均变化率与传播问题 1.能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；（重点）2.体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识． 学习目标 导入新课 回顾与思考 问题1 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？ 问题2 生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？ 　　问题1 　思考，并填空： 　　1.某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年 的产量为 60 000 kg，第二年的产量为____________ kg， 第三年的产量为______________ kg． 60000 1 + x （ 　 ） 讲授新课 利用一元二次方程解决平均变化率问题 一 问题引导 　　2.某糖厂 2017年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2018 年的产量将是_________．2019年的产量将是__________． a(1-x) 　　问题2　你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后： 变化后的量 = 变化前的量 　　问题3　两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 　　乙种药品成本的年平均下降额为 　　　(6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）． 　　甲种药品成本的年平均下降额为 　　　(5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元）， 　　解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x. 　　解方程，得　x1≈0.225， x2≈1.775． 　　根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5%． 　　一年后甲种药品成本为5000(1-x) 元， 　　两年后甲种药品成本为 　　　　元． 　　列方程得　　　　　　=3000． 7 7 　　解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 　　得乙种药品成本年平均下降率为 0.225. 　　两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况． 　　解方程，得　x1≈0.225， x2≈1.775． 8 8 　　问题4 　你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？ 　　“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系． 归纳小结 例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？ (2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 利用一元二次方程解决利润问题 二 典例精析 【解析】 (1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可； (2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售． 解：（1）设每千克核桃应降价x元，根据题意，得 化简，得x2-10x+24=0, 解得x1=4,x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元； （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，因 为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60-6=54（元),54÷60=90％. 答：该店应按原售价的九折出售. 1.用一元二次方程解变化率问题 规律：变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量． 注意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解．在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验． 2．利润问题 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量 进价 单个利润 课堂小结 一、 选择题 1. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费 人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销 售量比2020年的销售量增加了31.2万辆.如果设从2020年到2022年该品 牌新能源汽车的销售量的平均年增长率为 x ，那么可列出方程为（　） A. 20（1＋2 x ）＝31.2 B. 20（1＋2 x ）－20＝31.2 C. 20（1＋ x ）2＝31.2 D. 20（1＋ x ）2－20＝31.2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设 每一轮传染中平均每人传染了 x 人，则可列出方程为（　C　） A. x ＋（1＋ x ）＝36 B. 2（1＋ x ）＝36 C. 1＋ x ＋ x （1＋ x ）＝36 D. 1＋ x ＋ x 2＝36 3. 某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销 售情况不佳，为减少库存积压，经过连续两次降价后，价格调整为每 套128元.若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　C　） A. 8％ B. 18％ C. 20％ D. 25％ C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 小爱七年级时的体重是40kg，到九年级时，体重增加到48.4kg，则她 的体重平均每年的增长率为（　B　） A. 5％ B. 10％ C. 15％ D. 20％ 5. 某商品经过两次连续涨价后，售价比原来增长21％，则平均每次涨价 的百分率为（　A　） A. 10％ B. 10.5％ C. 15％ D. 20％ B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 某经济技术开发区2023年1月的工业产值为60亿元，且1、2、3月的工 业产值总和为198亿元.若设平均每月的增长率为 x ，则可列出方程 为 ⁠. 7. 在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价， 第一年下降20％，第二年下降80％，则该医疗器械这两年的平均降价 率是 ⁠. 60＋60（1＋ x ）＋60（1＋ x ）2＝198　 60％　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. ☆有1人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传 染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 ⁠. 343　 9. ☆甲、乙两店1月的销售额分别为10万元、15万元，甲店3月的销售额 比乙店多10万元.已知甲店2、3月的销售额的月平均增长率是乙店2、 3月的月平均增长率的2倍，则乙店这两个月的月平均增长率为 ⁠. 60％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10.某公司今年1月的生产成本是400万元，由于改进技术，生 产成本逐月下降，3月的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月 每个月生产成本的下降率都相同. （1） 求每个月生产成本的下降率； 解：（1） 设每个月生产成本的下降率为 x .根据题意，得400 （1－ x ）2＝361，解得 x 1＝0.05＝5％， x 2＝1.95（不合题 意，舍去）.∴ 每个月生产成本的下降率为5％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 请你预测该公司4月的生产成本是否会跌破330万元. 解： （2） ∵ 361×（1－5％）＝342.95（万元），342.95＞ 330，∴ 该公司4月的生产成本不会跌破330万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.经调查，某快递公司今年2月投递快递的总件数为20万，4 月投递快递的总件数为33.8万，假设该公司投递快递的总件数的月 增长率相同. （1） 求该公司投递快递的总件数的月增长率； 解：（1） 设该公司投递快递的总件数的月增长率为 x .由题 意，得20（1＋ x ）2＝33.8，解得 x 1＝0.3＝30％， x 2＝－2.3 （不合题意，舍去）.∴ 该公司投递快递的总件数的月增长率 为30％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若该公司投递快递的总件数的月增长率保持不变，则5月投递 快递的总件数是否达到45万？ 解： （2） ∵ 33.8×（1＋30％）＝43.94（万件），43.94＜ 45，∴ 若该公司投递快递的总件数的月增长率保持不变，则5 月投递快递的总件数不能达到45万 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 为更好地发展低碳经济，建设美丽中国，某公司对其生产 设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量. 已知该公司去年第三季度的产值是2300万元，今年第一季度的产值 是3200万元，假设该公司每个季度产值的平均增长率相同（参考数 据： ≈1.18，1.182≈1.39，1.183≈1.64）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（1） 设该公司每个季度产值的平均增长率为 x .由题意， 得 2300（1＋ x ）2＝3200，解得 x 1≈0.18＝18％， x 2≈－2.18 （不合题意，舍去）.∴ 该公司每个季度产值的平均增长率约 为18％ （1） 求该公司每个季度产值的平均增长率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 该公司今年的总产值能否超过1.6亿元？请说明理由. 解：（2） 能　理由：∵ 今年第一季度的产值是3200万元， ∴ 今年第二季度的产值是3200×（1＋18％）＝3776（万 元），第三季度的产值是3200×（1＋18％）2≈4448（万 元），第四季度的产值是3200×（1＋18％）3≈5248（万 元）.∴ 该公司今年的总产值是3200＋3776＋4448＋5248＝ 16672（万元），16672万元＝1.6672亿元.∵ 1.6672＞1.6， ∴ 该公司今年的总产值能超过1.6亿元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)利润率＝×100%； $