22.3第1课时　用一元二次方程解决图形面积问题课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

第22章　一元二次方程 22.3　实践与探索 第1课时　用一元二次方程解决图形面积问题 1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点）2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识． 学习目标 问题1 解一元二次方程有哪些方法？ 导入新课 观察与思考 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 问题2 解方程： (80－2x)(60－2x)＝1500 解:(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式 x2－70x＋825＝0． (2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825 (3)判断b2－4ac的值 b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0， (4)代入求根公式,得 x1＝55，x2＝15 (80－2x)(60－2x)＝1500 问题3 列一元一次方程解应用题的步骤： ①审题， ②找等量关系 ③列方程， ④解方程， ⑤答. 那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？ 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长. 讲授新课 利用一元二次方程解决图形问题 一 80 60 60-2x 80-2x x x (80－2x)(60－2x)＝1500 得x1＝55，x2＝15 解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm. 检验：当x1＝55时 长为80－2x＝-30cm 宽为60－2x＝-50cm． 想想，这符合题意吗？ 不符合． 舍去． 当x2＝15时 长为80－2x＝50cm 宽为60－2x＝30cm． 符合题意 所以只能取x＝15． 答：截取的小正方形的边长是15cm 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 方法归纳 问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为_____________. x+2，x+4 问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为_______________________ n+2，n+1，n-1，n-2 问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b， 则这个两位数是 . 10a+b 问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z， 表示为 . 100x+10y+z 利用一元二次方程解决数字问题 二 问题引导 例：两个连续奇数的积为63，求这两个数. 解：设两个奇数为x和x+2 x(x+2)=63 解得 x1=-9，x2=7. x+2=-7，x+2=9 答：这个两个数为7、9或者-7、-9. 典例精析 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求． 课堂小结 一、 选择题 1. 如图，在宽为20m、长为38m的矩形地面上修建同样宽的小路（图中 涂色部分），余下的部分铺草坪，且草坪的面积为540m2，求小路的 宽.若设小路的宽为 x m，则根据题意可列方程为（　A　） A. （20－ x ）（38－ x ）＝540 B. （20－ x ）（38－ x ）＝38×20－540 C. （20－2 x ）（38－2 x ）＝540 D. （20－2 x ）（38－2 x ）＝38×20－540 第1题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝12cm， BC ＝16cm，点 P 、 Q 分别从 A 、 B 两点出发，沿 AC 、 BC 方向向终点 C 匀速运动，其速 度均为2cm/ s .设运动时间为 t s，当△ PCQ 的面积是△ ABC 的面积的 一半时， t 的值为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第2题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 3. ☆如图，将边长为2cm的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方向平移，得到△A'B'C'.若两个三角形重叠部分的面积 为1cm2，则它移动的距离AA'为（　B　） A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 二、 填空题 4. 如图所示为一块正方形的空地，从这块空地上划出部分区域栽种鲜 花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为 18m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为 x m，则可列 方程为 ⁠. （ x －1）（ x －2）＝18　 第4题 1 2 3 4 5 6 7 8 5. 如图，某小区有一块长为30m、宽为24m的矩形空地，计划在其中修 建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及 周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 ⁠m. 第5题 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 6. ☆某社区计划利用如图所示的直角墙角（涂色部分，两边足够长）， 用50m长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD （篱笆只围 AB 、 AD 两边）. 在直角墙角内点 P 处有一棵桂花树，且与墙 BC 、 CD 的距离分别是 10m、30m.若要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗 细），则矩形花园的面积 （填“能”或“不能”）为625m2. 不能　 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 三、 解答题 7.如图，一块长为5m、宽为4m的地毯为了美观，设计了两 横、两纵的配色条纹（图中涂色部分）.已知配色条纹的宽相同，所 占面积是整个地毯面积的 . 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 求配色条纹的宽； 解：（1） 设配色条纹的宽为 x m.由题意，得2 x ×5＋2 x ×4－ 4 x 2＝ ×5×4，解得 x 1＝ （不合题意，舍去）， x 2＝ . ∴ 配色条纹的宽为 m 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 如果地毯的配色条纹部分的造价为每平方米200元，其余部分 的造价为每平方米100元，求地毯的总造价. 解：（2） ∵ 地毯的配色条纹部分的造价为 ×5×4×200＝ 850（元），其余部分的造价为（1－ ）×5×4×100＝1575 （元），∴ 地毯的总造价为850＋1575＝2425（元） 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 8.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房 屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ABCD ，并在边 BC 上留 一个2m宽的门（建在 EF 处，另用其他材料）. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 当羊圈的长和宽分别为多少时，能围成一个面积为640m2的 羊圈？ 解：（1） 设 AB ＝ x m，则 BC ＝70－2 x ＋2＝（72－2 x ）m. 根据题意，得 x （72－2 x ）＝640.化简，得 x 2－36 x ＋320＝ 0，解得 x 1＝16， x 2＝20.当 x ＝16时，72－2 x ＝72－32＝40； 当 x ＝20时，72－2 x ＝72－40＝32.∴ 当羊圈的长为40m、宽为 16m或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 羊圈的面积能为650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果 不能，请说明理由. 解： （2） 不能　理由：由题意，得 x （72－2 x ）＝650.化 简，得 x 2－36 x ＋325＝0.∴ Δ＝（－36）2－4×325＝－4＜ 0.∴ 方程没有实数根.∴ 羊圈的面积不能为 650m2. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 $