22.2第5课时　一元二次方程的根与系数的关系课件2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习解法、求根公式等旧知搭建学习支架，引导学生从实例表格观察根与系数的关系，逐步衔接韦达定理的探究与学习。 其亮点在于以具体方程实例为基础，通过猜想、推导证明培养学生数学思维的推理能力，分直接运用、代数式求值等应用类型并融入中考题，结合课堂小结分类梳理根的情况培养模型意识。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助清晰逻辑与重难点突出的设计提高教学效率。

22.2　一元二次方程的解法 第5课时　一元二次方程的根与系数的关系 第22章　一元二次方程 1.了解一元二次方程根与系数的关系；（重点） 2.会应用一元二次方程根与系数的关系. (难点) 学习目标 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？ 导入新课 知识回顾 方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，x1 • x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系？ 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 讲授新课 一元二次方程的根与系数的关系 一 方 程 -2 x1+ x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系? 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2. 9x2-6x+1=0 3x2-4x-1=0 3x2+7x+2=0 猜想： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系 解： 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1 + x2= , x1 ·x2= - （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 一、直接运用根与系数的关系 例1.不解方程，求下列方程两根的和与积. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 二 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写. 二、求关于两根的代数式的值 例2.设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 解:由题意知 三、构造新方程 例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1. 解:（x-2)（x-3）=0, x2-5x+6=0.(答案不唯一） 例4.方程 的两根的和为6，一根为2，求p、q的值. 四、求方程中的待定系数 解:若方程的另一个根为x1,由题意得 2+x1=-p=6,2x1=q, 即x1=4,p=-6,q=8. 一正根，一负根 △＞0 x1x2＜0 两个正根 △≥0 x1x2＞0 x1+x2＞0 两个负根 △≥0 x1x2＞0 x1+x2＜0 课堂小结 一元二次方程根与系数的关系？ 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0. 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有 一、 选择题 1. 若 x 1、 x 2是方程 x 2－6 x －7＝0的两个根，则下列结论 正确的是（　A　） A. x 1＋ x 2＝6 B. x 1＋ x 2＝－6 C. x 1 x 2＝ D. x 1 x 2＝7 2. 下列一元二次方程中，两根之和为2的是（　D　） A. x 2－ x ＋2＝0 B. x 2－2 x ＋2＝0 C. x 2－ x －2＝0 D. 2 x 2－4 x ＋1＝0 A D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知一元二次方程 x 2－3 x ＋2＝0的两个根为 x 1、 x 2，则 ＋ 的值 为（　D　） A. －3 B. － C. 1 D. 4. ☆（乐山中考）若关于 x 的一元二次方程 x 2－8 x ＋ m ＝0的两个根为 x 1、 x 2，且 x 1＝3 x 2，则 m 的值为（　C　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 若菱形的两条对角线的长分别为关于 x 的一元二次方 程 x 2－10 x ＋ m ＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 （　C　） A. B. 2 C. D. 2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 已知关于 x 的方程 x 2＋ mx －20＝0的一个根是－4，则它 的另一个根是 ⁠. 7. 如果 x 1、 x 2是方程2 x 2－3 x ＋1＝0的两个根，那么代数 式 的值为 ⁠. 5　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋2 mx ＋ m 2－ m ＋2＝0 有两个不相等的实数根 x 1、 x 2，且 x 1＋ x 2＋ x 1 x 2＝2，则实数 m 的值 为 ⁠. 9. 如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数根，且其中一 个根为另外一个根的2倍，那么这样的方程是倍根方程.若关于 x 的方 程 px 2＋3 x ＋ q ＝0是倍根方程，则 p 、 q 需满足 pq ＝ ⁠. 3　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 若 x 1、 x 2是方程 x 2－5 x －11＝0的两个实数根，求代数式 的值： （1） （ x 1－1）（ x 2－1）；　　（2） ＋ . 解：∵ x 1、 x 2是方程 x 2－5 x －11＝0的两个实数根，∴ x 1＋ x 2＝5， x 1 x 2＝－11 （1） （ x 1－1）（ x 2－1）＝ x 1 x 2－ x 1－ x 2＋1＝ x 1 x 2－（ x 1＋ x 2）＋1＝－11－5＋1＝－15 （2） ＋ ＝ ＝ ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 关于 x 的一元二次方程 x 2＋2 x ＋3－ k ＝0有 两个不相等的实数根. （1） 求 k 的取值范围； 解：（1） 由题意，得Δ＝22－4×1×（3－ k ）＝－8＋4 k ＞ 0，解得 k ＞2 （2） 若方程的两个根为α、β，且 k 2＝αβ＋3 k ，求 k 的值. 解：（2） ∵ 方程的两个根为α、β，∴ αβ＝3－ k .∴ k 2＝3－ k ＋3 k ，解得 k 1＝3， k 2＝－1（不合题意，舍去） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2－（2 m ＋1） x ＋ m 2＋ m ＝0. （1） 求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 解：（1） ∵ Δ＝[－（2 m ＋1）]2－4（ m 2＋ m ）＝4 m 2＋4 m ＋1－4 m 2－4 m ＝1＞0，∴ 无论 m 取何值，方程都有两个不 相等的实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 设该方程的两个实数根为 a 、 b .若（2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）＝ 20，求 m 的值. 解：（2） ∵ 该方程的两个实数根为 a 、 b ，∴ a ＋ b ＝2 m ＋ 1， ab ＝ m 2＋ m .∵ （2 a ＋ b ）（ a ＋2 b ）＝2 a 2＋4 ab ＋ ab ＋2 b 2＝2（ a 2＋2 ab ＋ b 2）＋ ab ＝2（ a ＋ b ）2＋ ab ，∴ 2 （ a ＋ b ）2＋ ab ＝20.∴ 2（2 m ＋1）2＋ m 2＋ m ＝20.整理， 得 m 2＋ m －2＝0，解得 m 1＝－2， m 2＝1.∴ m 的值为－2或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $