期末重点专题专训02 根与系数的关系（诊讲评提闭环专训） 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册（能力提升解析篇）

期末重点专题专训02根与系数的关系（诊讲评提闭环专训） 数学华师大版九年级上册 (能力提升卷篇) 问题导航： 1、根与系数关系的基本变式有哪些？它们相互变形的依据是什么？ 简答：依据是恒等变形 b 基础l、x+x2=-一，水七2= a a 拓展：l、+,=k(x+x2) 21+1-5+8 xxx x2 3、(x+k)(x2+k)= 4龙+2 2为 5、2+x,2= 6x1-x2= 一、诊断卷 1、若m,n是方程x2+x-2025=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 2、(2024春•金安区校级期末)已知a,b是一元二次方程X-2x-3=0的两个 根，则(a1)(+1)=一。 3、(2024·商丘模拟)已知关于x的方程(3)+x+㎡+2m-3=0的一根为0， 另一根不为0，则m的值为() A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对 4、已知m,n是方程x-x-2018=0的两个实数根，则+n的值为一： 5、已知实数m(m≠m)是方程x2-2x-1=0的两个解，则二+2的值是 6、(2024·兴宁区校级开学)已知m,n是方程x+4x-3=0的两个实数根，则 m+5++2024的值是 7、已知a、B是方程x2-x-1=0的两个实数根，求下列各代数式的值. 1,1 (1)c2+B2; (2)ap 8、(1)已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1、x2,则x子-5x1-2x2 的值为 (2)若m、n是方程x2-2x-2=0的两个实数根，则2m2+4n2-4n+2022 的值为 9、（2025春•莱芜区期末)已知关于x的方程2x-（+4)+2k=0. (1)求证：无论k取何值，它总有实数根： (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三 角形的周长。 二、例题示范 例题示范1：已知关于x的一元二次方程x2-6x+m-3=0有两个大于2的实 数根，则实数m的取值范围是( A.7<m≤12B.8<m<12C.10<m<12D.11<m≤12 【参考答案】D 解：设方程的两个根为x1,2,则x1>2,2>2,12=m-3 .(X1-2)(x2-2)>0,(X1-2)+(x2-2)>0 .解得m>11, 又方程有两个实数根， .△=(-6)2-4(m-3)≥0， .m≤12， .11<m≤12： 例题示范2：(2023秋•沈丘县期末)若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边 的边长是关于x的一元二次方程x-12+k=0的两个根，则k的值是（) A.27 B.36 C.27或36 D.18 温馨提示：当特殊三角形的边或角不明确位置时要分类讨论： 【参考答案】B 解：当3为腰长时，将x=3代入原方程得9-12×3+k=0, 解得：=27 ∴.原方程为x-12x427=0 .x=3,五=9 ∴.长度为3,3,9的三条边不能围成三角形 ∴.k=27(舍去) 当3为底边长时，△=（-12)2-4k=0 解得：k=36 ∴.原方程为x-12+36=0 .x=x2=6 ∴.长度为3,6,6的三条边能围成三角形， ∴.k=36符合题意 故选：B 例题示范3：（2024·蒸湘区一模)关于x的一元二次方程X-4x-2叶5=0有两 个实数根，，并且x≠五。 (1)求实数m的取值范围： (2)满足x1x2+x1+x2=m2+6,求m的值. 解：（1)，方程有两个实数根x,五，并且x≠x, ∴.(-4)2-4×1×(-2t5)>0 “m> (2).,&是该方程的两个根 .x+x2=4,x五2=-2叶5 :x1x2+X1+x2=m2+6 ∴.-2+5+4=m+6 解得：m=-3或m=1 :m>清 ∴.m=1 例题示范4：(25-26九年级上·全国·课后作业)已知关于x的一元二次方程x2+ 4x+k-1=0.若x1,x2是方程的两实数根，且满足(x1+x2)<2x1x2,求k 的取值范围. 【答案】<k≤5 解：由题意，得△=16-4k+4≥0，.k≤5. X1,x2是方程的两实数根，x1十x2=-4,x1·x2=k-1. :(1+x2)<2x1x2,…3×(-4)<2(k-1), 解得k>子“k≤5，“k的取值范围是<k≤5. 例题示范5：4、关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是正整数且m+n=22, 则方程的两根是 解：设方程x2+x+n=0的两根为x1,2,则 X1+X2=-m,X1X2=n .m+n=22 .-(X1+2)+X1x2=22 .(X1-1)(x2-1)=23 得x1-1=1,X2-1=23,或x1-1=23,x2-1=1 解得：X1=2,X2=24,或x1=24,2=2 .方程的两根为：2,24 故答案为：2,24 三、评估卷 1、(2025春·淄川区期末)若菱形两条对角线的长度是方程x2-3x+4=0的 两个实数根，则菱形的边长为() A.V5 B.4 C.2v5 D.5 2、(2025春·沈丘县期中)定义运算：a※b=a-2ab+1.例如：4※2=4-2×4 ×2+1=1.方程x※1=-1的根的情况为（) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 3、(2025春·莱阳市期末)若，是方程x2-(m-3)x+m48=0的两个实数 4 根，且x+x2=19,则m的值为 4、已知一元二次方程x2+2x+m+4=0有两个不相等的实数根，且两根同号， 则m的取值范围是 5、(2024钢城区校级三模)已知关于x的方程2x+5x-3=0的两个根分别为x, ,则xx+xx的值为 6、(2023秋·亭湖区校级期末)已知：关于x的方程-2(1)+m+2=0. （1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若两实数根x、x满足x+x=五x,求m的值 7、(2024春·乳山市期末)若m,n是方程x-2022x-1=0的两个根，则i-2024m -2n的值为 8、(2024春·姑苏区校级期末)已知关于x的一元二次方程(atc)+2bx+(a -c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。 9、(22-23九年级上四川雅安)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是 “倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是x1=2,x2=4, 则方程x2一6x+8=0是“倍根方程”。 (1)通过计算，判断x2-3x+2=0是不是“倍根方程”： (2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的 值： (3)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)2x+32=0(m是常数)是“倍根方 程”，请直接写出m的值为： 四、提升卷 1、设a,b是方程x2+x-2024=0的两个实数根，则2+2a+b的值为() A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 2、如果关于x的一元二次方程x2-4ax+4a2-1=0的一个根是5，则方程的另 一个根是() A.1 B.5 C.7 D.3或7 温馨提示：绝对值是用来干什么的？怎样去掉绝对值符号呢？ 3、已知实数m,n是关于x的一元二次方程x2+8x=1-x的两个根，则代数式 m-2mn+n的值是( A.-7 B.7 C.-11 D.11 4、若方程2x610的两极分别为号，则飞儿引( a月 B. C.3 D. 5、已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8B+6的值为( A.-1 B.2 C.22 D.30 温馨提示：a怎么样才能实现三次方，8β它能不能拆一下， 能不能拆成我们需要的式子？ 6、（2024兴庆区校级一模)已知实数m,n满足等式m-2m-1=0,n-2n-1 =0,则”+”的值是 7、关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0的有两个实数根为x1,x2。 (1)求m的取值范围； (2)若x1-x2=1,求m的值。 8、(24-25九年级上·四川眉山·期中)阅读理解。 定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与cx2+bx+a=0(ac≠0， a≠c)称为一对“密友方程”，例如：方程2x2-7x+3=0的“密友方程”是 3x2-7x+2=0. (1)写出一元二次方程x2-6x+8=0的“密友方程”是 (2)已知一元二次方程x2-6x+8=0的两根为x1=2,x2=4,它的“密友方 程”的两根为x3,x4,则x3= X4= 根据以上结论，猜想ax2+ bx+c=0的两根x1、x2,与其“密友方程”cx2+bx+a=0的两根x3,X4之 间存在的一种特殊关系为，证明你的结论 (3)已知关于x的方程mx2+x+q=0的两根是x1=2023,x2=-2024 可应 用(2)中的结论，解关于x的方程g(x-1)2-nx+n+m=0。 9、（24-25九年级上·湖南张家界·期中)阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》 中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0，b2-4c≥0) 的两根有如下的关系（韦达定理）：。+。=一名。- b 材料2：如果实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则可利用根的定 义构造一元二次方程x2-x-1=0,然后将m,n看作是此方程的两个不相等实数 根去解决相关问题。 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a,b满足：a2+3a-5=0,b2+3b-5=0(a≠b),则a+b=,ab= (2)若x1,x2是方程x2-6x+k+3=0两个不等实数根，且满足5=x2+6,求k的值. 10、【知识技能】 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+x+c=0(a≠0)的两个根为x,x2,则 +出合后 b 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求mn+mm2的 值。 解：，一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,∴.m+n=1,m=-1, 则m2n+2=m+n)=-1×1=-1。 【数学理解】 (1)一元二次方程4x2-x-2=0的两个根为x,x2,则x+x2=一，XX2= 【拓展探索】 (2)已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m,n,求m2+n2的值。 (3)已知实数，t满足2s2+35-1=0,2Y+3-1=0,且5≠t,求的值。 期末重点专题专训02 根与系数的关系（诊讲评提闭环专训）数学华师大版九年级上册 （能力提升卷解析篇） 问题导航： 1、根与系数关系的基本变式有哪些？它们相互变形的依据是什么？ 简答：依据是恒等变形 一、诊断卷 1、若，是方程的两个实数根，则的值为 【参考答案】 解：，是方程的两个实数根 ，即， 故答案为：． 2、（2024春•金安区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（a+1）（b+1）＝　 　。 【参考答案】0． 解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴a+b＝2，ab＝﹣3， ∴（a+1）（b+1） ＝ab+a+b+1 ＝﹣3+2+1 ＝0． 3、（2024•商丘模拟）已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对 【参考答案】A 解：∵关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0， ∴（m+3）×02+0+m2+2m﹣3＝0， 即m2+2m﹣3＝0， 解得：m＝1或﹣3． 当m+3=0时， X=0只有一个根，不符合题意。 所以m≠﹣3 当m+3≠0时， 又∵m又关于x的方程的另一根不为0 ∴Δ＞0 ∴选：A 4、已知m，n是方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则m2+n的值为 ． 【参考答案】2019 解∵m，n是方程x2-x-2018=0的两个实数根， ∴m2-m-2016=0，即m2=m+2018， ∵m+n=1， ∴m2+n=m+n+2018=1+2018=2019． 5、已知实数是方程的两个解，则的值是 ． 【参考答案】 解：∵实数是方程的两个解， ∴， ∴． 6、（2024•兴宁区校级开学）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 　 　 【参考答案】2023 解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2+4m＝3， ∴m2+5m+n+2024 ＝m2+4m+m+n+2024 ＝3﹣4+2024 ＝2023， 故答案为：2023． 7、已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 7、解（1）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，． （2）解： 8、（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 8、解：（1）∵一元二次方程的两根为 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵m，n是方程的两个实数根 ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：2042． 9、（2025春•莱芜区期末）已知关于x的方程2x2﹣（k+4）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长． 解：（1）Δ＝（k+4）2﹣4×2×2k＝（k﹣4）2 ∵（k﹣4）2≥0 ∴无论k取何值，它总有实数根 （2）①当3是等腰三角形的底时 则Δ＝0，即（k﹣4）2＝0，解得：k＝4 则方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2 ∴2，2，3能构成三角形 ∴此时等腰三角形的周长为7 ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根 ∴将x＝3代入2x2﹣（k+4）x+2k＝0得：18﹣3（k+4）+2k＝0，解得 k＝6 此时方程为：x2﹣5x+6＝0 解得x1＝2x2＝3则3、3能构成三角形，此时等腰三角形的周长为8 综上所述，k＝4或6；三角形的周长为7或8 二、例题示范 例题示范1：已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【参考答案】D 解：设方程的两个根为，则， ∴， ∴解得， 又方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 例题示范2：（2023秋•沈丘县期末）若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A．27 B．36 C．27或36 D．18 温馨提示：当特殊三角形的边或角不明确位置时要分类讨论： 【参考答案】B 解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0， 解得：k＝27 ∴原方程为x2﹣12x+27＝0 ∴x1＝3，x2＝9 ∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形 ∴k＝27（舍去） 当3为底边长时，Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0 解得：k＝36 ∴原方程为x2﹣12x+36＝0 ∴x1＝x2＝6 ∴长度为3，6，6的三条边能围成三角形， ∴k＝36符合题意 故选：B． 例题示范3：（2024•蒸湘区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2． （1）求实数m的取值范围； （2）满足，求m的值． 解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0 ∴ （2）∵x1，x2是该方程的两个根 ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5 ∵ ∴﹣2m+5+4＝m2+6 解得：m＝﹣3或m＝1 ∵ ∴m＝1 例题示范4：（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求的取值范围． 【答案】 解：由题意，得，． ，是方程的两实数根，，． ，， 解得．，的取值范围是。 例题示范5：4、关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ． 解：设方程的两根为，则 ∵ ∴ ∴ 得，或 解得：，或 ∴方程的两根为：2，24 故答案为：2，24 三、评估卷 1、（2025春•淄川区期末）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 解：∵x2﹣3x+4＝0， ∴x＝2或x＝4， ∴该菱形的对角线长分别为2或4， ∴由勾股定理可知：菱形的边长为， 2、（2025春•沈丘县期中）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．方程x※1＝﹣1的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 解：由新定义得x2﹣2x+1＝﹣1， 即x2﹣2x+2＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根． 故选：C． 3、（2025春•莱阳市期末）若x1，x2是方程的两个实数根，且，则m的值为　 　 解：由题意，Δ≥0， ∴（m﹣3）2﹣40， 解得m， ∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2＝m﹣3，x1x2 又∵， ∴x21+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝19，即（m﹣3）2﹣219， 解得，m＝﹣2或m＝14， 又∵m， ∴m的值是﹣2． 故答案为：﹣2 4、已知一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根同号，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 解：根据题意 解得： 根据题意得，解得： ∴ 故答案为： 5、（2024•钢城区校级三模）已知关于x的方程2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x2+x1的值为 　 【参考答案】． 解：∵2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2，x1x2， ∴x2+x1x1x2（x1+x2）（）． 故答案为：． 6、（2023秋•亭湖区校级期末）已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2，求m的值． 解：（1）∵Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+2） ＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8 ＝8m﹣4≥0 ∴m （2）∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2 ∴由x1+x2＝x1x2得2（m+1）＝m2+2 解得：m1＝0，m2＝2 ∵m ∴m＝2 7、（2024春•乳山市期末）若m，n是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根，则m2﹣2024m﹣2n的值为 　 　 【答案】﹣4043 解：因为m，n是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根， 所以m2﹣2022m﹣1＝0，m+n＝2022， 则m2﹣2022m＝1 所以m2﹣2024m﹣2n＝m2﹣2022m﹣2（m+n）＝1﹣2×2022＝﹣4043 故答案为：﹣4043 8、（2024春•姑苏区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x＝﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0 ∴a+c﹣2b+a﹣c＝0 ∴a﹣b＝0 ∴a＝b ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根 ∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0 ∴4b2﹣4a2+4c2＝0 ∴a2＝b2+c2 ∴△ABC是直角三角形 9、（22-23九年级上·四川雅安）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”。 (1)通过计算，判断是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________。 解：（1）解： 或 所以 则方程是“倍根方程” （2）解： 或 解得 ∵是“倍根方程” ∴或 当时， 当时， 综上所述，代数式的值为26或5 （3）解：根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 解得 或（舍去） ∴m的值为 故答案为： 四、提升卷 1、设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【参考答案】D 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∴ 2、如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　） A．1 B．5 C．7 D．3或7 温馨提示：绝对值是用来干什么的？怎样去掉绝对值符号呢？ 【参考答案】D 解设方程的另一个根为m 由韦达定理可得：5+m=4|a|，即|a|= ① 5m=4a2-1 ②， 把①代入②得：5m=×4-1 整理得：m2-10m+21=0 解得：m=3或m=7 3、已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B．7 C． D．11 【参考答案】A 解：，即， ∵m，n是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ； 4、若方程的两根分别为，则（    ） A． B． C． D． 【参考答案】A 解：方程的两根分别为和， ， 5、 已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 温馨提示： 解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ 6、（2024•兴庆区校级一模）已知实数m，n满足等式m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是 　 　 【答案】﹣6或2 解：当实数m，n（m≠n） 满足等式m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0， ∴m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根 ∴m+n＝2，mn＝﹣1 ∴ 当实数m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实数根，且m＝n时， ∴ 故答案为：﹣6或2。 7、关于的一元二次方程的有两个实数根为，。 (1)求的取值范围； (2)若，求的值。 解：（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根 所以，且 解得 所以的取值范围是 （2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以 又因为 所以 则 所以 解得 经检验是原方程的解，且符合题意 所以的值为8 8、（24-25九年级上·四川眉山·期中）阅读理解。 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程． 解：（1）解：一元二次方程 ，， 其“密友方程”是 （2）解：该一元一次方程的“密友方程”是； 解得：，； 关系为：， 或者叙述为：原方程的两根分别与“密友方程”的两根互为倒数． 证明：的两根为、， 设，则，整理的 ，即方程两根为、 原方程的两根与“密友方程”的两根分别互为倒数 即，； 故答案为：，；， （3）解：已知关于的方程的两根是，， 的两根为， 方程即为，两根设为、 ， ， 9、（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 解：（1）由题意得：a，b是的两个根， ， 故答案为： （2）由题意，得：， 即 解得； 当时，，解得： 当时，，解得： 综上：或 10、【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则。 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值。 （3）已知实数，满足，，且，求的值。 解：（）根据根与系数的关系得，。 故答案为：，。 （）根据根与系数的关系得， ∴ （）∵实数，满足，，且 ∴、可看作方程的两根 ∴， ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $期末重点专题专训02根与系数的关系（诊讲评提闭环专训） 数学华师大版九年级上册 (能力提升卷解析篇) 问题导航： 1、根与系数关系的基本变式有哪些？它们相互变形的依据是什么？ 简答：依据是恒等变形 b 基础l、x1+x2=-二，x2= a 拓展：l、+,=k(x+x2) 21+1-5+3 尤xxx2 3、(x+k)(x2+k)= 4龙+2 2为 5、2+x,2= 6x1-x2= 一、诊断卷 1、若m,n是方程x2+x-2025=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 【参考答案】2024 解：：m,n是方程x2+x-2025=0的两个实数根 m2+m-2025=0,即m2+m=2025,m+n=-1 :m2+2m+n=m2+m+m+n=2025-1=2024 故答案为：2024. 2、(2024春·金安区校级期末)已知a,b是一元二次方程x-2x-3=0的两个 根，则(a+1)（什1)=-。 【参考答案】0. 解：.a,b是一元二次方程x-2x-3=0的两个根， ∴.atb=2,ab=-3, ∴.(a1)(（b1) =abra+b+1 =-3+2+1 =0. 3、(2024商丘模拟)已知关于x的方程（+3)x++m+2m-3=0的一根为0， 另一根不为0，则m的值为() A.1 B.-3 C.1或-3 D.以上均不对 【参考答案】A 解：，关于x的方程（叶3）X+x+㎡+2m-3=0的一根为0， .∴.(t3)X0+0++2m-3=0, 即+2m-3=0, 解得：m=1或-3. 当+3=0时， X=0只有一个根，不符合题意。 所以m≠-3 当3≠0时， 又，m又关于x的方程的另一根不为0 ∴.△>0 .选：A 4、已知m,n是方程x-x-2018=0的两个实数根，则m+n的值为 【参考答案】2019 解.m,n是方程x2-x-2018=0的两个实数根， .m-m-2016=0,即m2=m+2018, .m+n=1, .∴.m+n=m+n+2018=1+2018=2019. 5、已知实数mm≠m是方程x:-2x-1=0的两个解，则2+2的值是 【参考答案】-4 解：.实数，n(m≠n)是方程x2-2x-1=0的两个解， m+n=--2 2,n=-1, 2+2-2m+m2x2-4小 nn nin -1 6、(2024·兴宁区校级开学)已知m,n是方程x+4x-3=0的两个实数根，则 +5叶+2024的值是 【参考答案】2023 解：.‘mn是方程x+4x-3=0的两个实数根， ∴.m+4m-3=0,tn=-4, .∴.m+4m=3, .∴.m+5tt2024 =+4叶叶+2024 =3-4+2024 =2023, 故答案为：2023. 7、已知a、B是方程x2-x-1=0的两个实数根，求下列各代数式的值. (1)o2+B2: 7、解（1)解：，a、B是方程x2-x-1=0的两个实数根， ∴.a+B=1,B=-1. ax2+B2=(a+B)'-2B=1-2×(13 2解女日8片1 8、(1)已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1、x2,则x子-5x1-2x2 的值为 (2)若m、n是方程x2-2x-2=0的两个实数根，则2m2+4n2-4n+2022 的值为 8、解：(1)，一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1、2 .x7-3x1=-1,X1+X2=3 .x1-5x1-2X2=x1-3x1-2(X1+X2)=-1-2×3=-7 故答案为：-7 (2).m,n是方程x2-2x-2=0的两个实数根 .m2-2m-2=0,n2-2n-2=0,m+n=2 .m2=2m+2,n2=2n+2 .∴.2m2+4n2-4n+2022 =2(2m+2)+4(2n+2)-4n+2022 =4m+4+8n+8-4n+2022 =4(m+n)+2034 =4×2+2034 =2042. 故答案为：2042 9、(2025春·莱芜区期末)已知关于x的方程2-(+4)x+2k=0. (1)求证：无论k取何值，它总有实数根： (2)若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三 角形的周长， 解：(1)△=(+4)2-4X2X2k=(k-4)2 .(k-4)2≥0 ∴.无论k取何值，它总有实数根 (2)①当3是等腰三角形的底时 则△=0，即(k-4)2=0,解得：=4 则方程为X-4+4=0,解得：x==2 ∴.2,2,3能构成三角形 ∴.此时等腰三角形的周长为7 ②当3是等腰三角形的腰时，则3是方程的一个根 .将x=3代入2-(+4)+2k=0得：18-3(+4)+2k=0,解得k=6 此时方程为：-5x+6=0 解得x=2x=3则3、3能构成三角形，此时等腰三角形的周长为8 综上所述，k=4或6：三角形的周长为7或8 二、例题示范 例题示范1：已知关于x的一元二次方程x2-6x+m-3=0有两个大于2的实 数根，则实数m的取值范围是( A.7<m≤12B.8<m<12C.10<m<12D.11<m≤12 【参考答案】D 解：设方程的两个根为x1,2,则x1>2,2>2,12=m-3 .(X1-2)(x2-2)>0,(X1-2)+(x2-2)>0 .解得m>11, 又方程有两个实数根， .△=(-6)2-4(m-3)≥0， .m≤12， .11<m≤12： 例题示范2：(2023秋•沈丘县期末)若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边 的边长是关于x的一元二次方程x-12+k=0的两个根，则k的值是（) A.27 B.36 C.27或36 D.18 温馨提示：当特殊三角形的边或角不明确位置时要分类讨论： 【参考答案】B 解：当3为腰长时，将x=3代入原方程得9-12×3+k=0, 解得：=27 ∴.原方程为x-12x427=0 .x=3,五=9 ∴.长度为3,3,9的三条边不能围成三角形 ∴.k=27(舍去) 当3为底边长时，△=（-12)2-4k=0 解得：k=36 ∴.原方程为x-12+36=0 .x=x2=6 ∴.长度为3,6,6的三条边能围成三角形， ∴.k=36符合题意 故选：B 例题示范3：（2024·蒸湘区一模)关于x的一元二次方程X-4x-2叶5=0有两 个实数根，，并且x≠五。 (1)求实数m的取值范围： (2)满足x1x2+x1+x2=m2+6,求m的值. 解：（1)，方程有两个实数根x,五，并且x≠x, ∴.(-4)2-4×1×(-2t5)>0 “m> (2).,&是该方程的两个根 .x+x2=4,x五2=-2叶5 :x1x2+X1+x2=m2+6 ∴.-2+5+4=m+6 解得：m=-3或m=1 :m>清 ∴.m=1 例题示范4：(25-26九年级上·全国·课后作业)已知关于x的一元二次方程x2+ 4x+k-1=0.若x1,x2是方程的两实数根，且满足(x1+x2)<2x1x2,求k 的取值范围. 【答案】<k≤5 解：由题意，得△=16-4k+4≥0，.k≤5. X1,x2是方程的两实数根，x1十x2=-4,x1·x2=k-1. :(1+x2)<2x1x2,…3×(-4)<2(k-1), 解得k>子：k≤5，·k的取值范围是<k≤5。 例题示范5：4、关于x的方程x2+mx+n=0的两根都是正整数且m+n=22, 则方程的两根是 解：设方程x2+x+n=0的两根为x1,2,则 X1+X2=-m,X1X2=n ,m+n=22 .-(X1+X2)+X1X2=22 .(&1-1)(x2-1)=23 得x1-1=1,X2-1=23,或x1-1=23,x2-1=1 解得：X1=2,X2=24,或x1=24,x2=2 .方程的两根为：2,24 故答案为：2,24 三、评估卷 1、(2025春·淄川区期末)若菱形两条对角线的长度是方程x2-3x+4=0的 两个实数根，则菱形的边长为() A.V5 B.4 C.25 D.5 解：2-3+4=0， .x=2或x=4, ∴.该菱形的对角线长分别为2或4， .由勾股定理可知：菱形的边长为=√11+2严=√5， 2、(2025春•沈丘县期中)定义运算：a※b=a-2ab什1.例如：4※2=4-2×4 ×2+1=1.方程x※1=-1的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 解：由新定义得-2+1=-1， 即X-2x+2=0, .△=(-2)2-4×1×2=-4<0， .方程没有实数根。 故选：C 3、(2025春·莱阳市期末)若x,是方程x2-(m一3)x+m+8=0的两个实数 根，且x好+x经=19，则m的值为 解：由题意，△≥0， (m-3)2-4×m2+8≥0， 4 解得匹合 :x,是方程x2-(m-3)x+m2+8=0的两个实数根， X+x=m-3,x=m2+8 又.x+x2=19, ∴+元2=(x+)2-2x“=19,即(m-3)2-2×m+8-19, 解得，m=-2或m=14, 又：sa .m的值是-2. 故答案为：-2 4、已知一元二次方程x2+2x+m+4=0有两个不相等的实数根，且两根同号， 则m的取值范围是 【答案】-4<m<-3/-3<m<-4 解：根据题意△=22-4(m+4)>0 解得：m<-3 根据题意得x1+x2=-2,x12=m+4>0,解得：m>-4 .-4<m<-3 故答案为：-4<m<-3 5、(2024钢城区校级三模)已知关于x的方程2x+5x-3=0的两个根分别为x, x,则xx+xx的值为 【参考答案】华 解：，2+5x-3=0的两个根分别为x,x2, “斯+8=-多5=-是 “x好x+xx3=x(x+x)=-×(-- 故答案为：只 6、(2023秋·亭湖区校级期末)已知：关于x的方程-2(t1)+m+2=0. (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围： (2)若两实数根x、满足x+x=xx,求m的值. 解：(1)，△=[-2(t1)]2-4×1×(㎡+2) =4m+8t4-4m-8 =8m-4≥0 ∴腔月 （2).x+x=2（叶1)，xx=m+2 ∴.由x+&=xx得2（叶1）=㎡+2 解得：m=0,=2 :>号 .∴.m=2 7、(2024春·乳山市期末)若m,n是方程x-2022x-1=0的两个根，则m-2024m -2n的值为 【答案】-4043 解：因为m,n是方程x-2022x-1=0的两个根， 所以m-2022m-1=0,叶n=2022, 则m-2022m=1 所以m-2024m-2n=m-2022m-2(tn)=1-2×2022=-4043 故答案为：-4043 8、(2024春·姑苏区校级期末)已知关于x的一元二次方程(a计c)+2bx+(a -c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长 (1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。 解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： .x=-1是方程的根， ∴.(atc)X(-1)2-2bt(a-c)=0 .∴.atc-2ba-c=0 .∴.a-b=0 .'.a=b ∴.△ABC是等腰三角形： (2)△ABC是直角三角形.理由如下： ,方程有两个相等的实数根 ∴.△=(2b)2-4（atc)(a-c)=0 .∴.4b-4a+4c2=0 ∴.a=b+c ∴.△ABC是直角三角形 9、(22-23九年级上四川雅安)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是 “倍根方程”.例如一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是x1=2,x2=4, 则方程x2一6x+8=0是“倍根方程”。 (1)通过计算，判断x2-3x+2=0是不是“倍根方程”： (2)若关于x的方程(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的 值： (3)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)2x+32=0(m是常数)是“倍根方 程”，请直接写出m的值为： 解：(1)解：x2-3x+2=0 (x-2)(x-1)=0 x-2=0或x-1=0 所以x1=2,X2=1 则方程x2-3x+2=0是“倍根方程” (2)解：(x-2)(x-m)=0 x-2=0或x-m=0 解得x1=2,x2=m .(x-2)(x-m)=0是“倍根方程” 期末重点专题专训02 根与系数的关系（诊讲评提闭环专训）数学华师大版九年级上册 （能力提升卷篇） 问题导航： 1、根与系数关系的基本变式有哪些？它们相互变形的依据是什么？ 简答：依据是恒等变形 一、诊断卷 1、若，是方程的两个实数根，则的值为 2、（2024春•金安区校级期末）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则（a+1）（b+1）＝　 　。 3、（2024•商丘模拟）已知关于x的方程（m+3）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一根为0，另一根不为0，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．以上均不对 4、已知m，n是方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，则m2+n的值为 ． 5、已知实数是方程的两个解，则的值是 ． 6、（2024•兴宁区校级开学）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是 　 　 7、已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 8、（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． （2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ． 9、（2025春•莱芜区期末）已知关于x的方程2x2﹣（k+4）x+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，它总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为3，另外两边的长为方程的根，求k的值及三角形的周长。 二、例题示范 例题示范1：已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【参考答案】D 解：设方程的两个根为，则， ∴， ∴解得， 又方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 例题示范2：（2023秋•沈丘县期末）若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k＝0的两个根，则k的值是（　　） A．27 B．36 C．27或36 D．18 温馨提示：当特殊三角形的边或角不明确位置时要分类讨论： 【参考答案】B 解：当3为腰长时，将x＝3代入原方程得9﹣12×3+k＝0， 解得：k＝27 ∴原方程为x2﹣12x+27＝0 ∴x1＝3，x2＝9 ∴长度为3，3，9的三条边不能围成三角形 ∴k＝27（舍去） 当3为底边长时，Δ＝（﹣12）2﹣4k＝0 解得：k＝36 ∴原方程为x2﹣12x+36＝0 ∴x1＝x2＝6 ∴长度为3，6，6的三条边能围成三角形， ∴k＝36符合题意 故选：B． 例题示范3：（2024•蒸湘区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2． （1）求实数m的取值范围； （2）满足，求m的值． 解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，并且x1≠x2， ∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0 ∴ （2）∵x1，x2是该方程的两个根 ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5 ∵ ∴﹣2m+5+4＝m2+6 解得：m＝﹣3或m＝1 ∵ ∴m＝1 例题示范4：（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程．若，是方程的两实数根，且满足，求的取值范围． 【答案】 解：由题意，得，． ，是方程的两实数根，，． ，， 解得．，的取值范围是． 例题示范5：4、关于x的方程的两根都是正整数且，则方程的两根是 ． 解：设方程的两根为，则 ∵ ∴ ∴ 得，或 解得：，或 ∴方程的两根为：2，24 故答案为：2，24 三、评估卷 1、（2025春•淄川区期末）若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（　　） A． B．4 C． D．5 2、（2025春•沈丘县期中）定义运算：a※b＝a2﹣2ab+1．例如：4※2＝42﹣2×4×2+1＝1．方程x※1＝﹣1的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3、（2025春•莱阳市期末）若x1，x2是方程的两个实数根，且，则m的值为　 　 ． 4、已知一元二次方程有两个不相等的实数根，且两根同号，则m的取值范围是 ． 5、（2024•钢城区校级三模）已知关于x的方程2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则x2+x1的值为 　 6、（2023秋•亭湖区校级期末）已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2，求m的值 7、（2024春•乳山市期末）若m，n是方程x2﹣2022x﹣1＝0的两个根，则m2﹣2024m﹣2n的值为 　 　 8、（2024春•姑苏区校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由。 9、（22-23九年级上·四川雅安）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”。 (1)通过计算，判断是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________。 四、提升卷 1、设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 2、如果关于x的一元二次方程x2﹣4|a|x+4a2﹣1=0的一个根是5，则方程的另一个根是（　　） A．1 B．5 C．7 D．3或7 温馨提示：绝对值是用来干什么的？怎样去掉绝对值符号呢？ 3、已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（   ） A． B．7 C． D．11 4、若方程的两根分别为，则（    ） A． B． C． D． 5、 已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 温馨提示： 6、（2024•兴庆区校级一模）已知实数m，n满足等式m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，则的值是 　 　 7、关于的一元二次方程的有两个实数根为，。 (1)求的取值范围； (2)若，求的值。 8、（24-25九年级上·四川眉山·期中）阅读理解． 定义：我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“密友方程”，例如：方程的“密友方程”是． (1)写出一元二次方程的“密友方程”是________． (2)已知一元二次方程的两根为，，它的“密友方程”的两根为，，则________，________．根据以上结论，猜想的两根、，与其“密友方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论． (3)已知关于x的方程的两根是，，可应用（2）中的结论，解关于x的方程。 9、（24-25九年级上·湖南张家界·期中）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：； 材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_____，______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值． 10、【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值。 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则。 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值。 （3）已知实数，满足，，且，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $