2.3 确定二次函数的表达式 第2课时（教学设计）数学北师大版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦“用待定系数法确定二次函数表达式”，通过知识回顾（复习待定系数法、顶点式等）与问题情境（已知三点坐标求表达式）导入，衔接上节课内容，搭建从具体点到函数形式的学习支架。 特色在于多方法对比（一般式、交点式、顶点式）与问题驱动探究，通过“已知三点列三元方程组”“交点法设式求a值”等实例，培养数学思维的推理能力与运算能力，发展数学眼光的抽象能力和创新意识。助力学生灵活选择解题方法，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

2.3 确定二次函数的表达式 （第2课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版·九年级下册第二章“二次函数”中2.3《确定二次函数的表达式》的第二课时。主要研究如何运用待定系数法，根据已知的三点坐标或其他给定条件，列出方程组并求解，从而确定抛物线的通用形式 y = + bx + c。内容涉及一般式法、顶点式法和交点式法的综合运用，帮助学生在不同情境下灵活确定二次函数关系式。 2.内容解析 在此部分，首先回顾了二次函数的三种常见形式：一般式 y = + bx + c、顶点式 y = + k 和交点式 y = a。接着，通过典型例题与练习题，向学生展示在已知三个点坐标、已知顶点或已知与 x 轴交点等多种条件时，如何设出适当的二次函数形式，并通过待定系数法解三元一次方程组求出未知系数 a、b、c，进而准确得到目标函数解析式。同时，教材安排了多种解题方式的对比，意在培养学生对不同方法的综合运用能力。 1.教学目标 •会用待定系数法解三元一次方程组求二次函数的一般式：y = + bx + c 。 •会利用不同的条件，合理地设出二次函数形式，列出方程组求出相关系数，得出二次函数表达式。 2.目标解析 •通过对不同问题情境的分析，引导学生能够依据给定的点或其他几何信息（如顶点坐标、与 x 轴的交点），灵活选取函数形式，并设置相应的方程组。 • 在解方程组的过程中，进一步巩固学生对代数运算与方程组求解方法的掌握，形成对于二次函数关键参数的敏感度。 • 引导学生在多解法的比较中体会待定系数法在二次函数确定过程中的统一性与高效性。 3.重点难点 •教学重点：正确运用待定系数法，熟练求出二次函数的一般式 y = + bx + c。 • 教学难点：在多种已知条件（顶点坐标、与 x 轴交点、特定系数等）下，灵活选取恰当的函数形式并准确列出方程组。 本节课的学习对象为九年级学生，他们具备一定的一元一次方程组解法和多项式运算基础。前面已初步接触过二次函数的图象与性质，但对于“由条件逆向求函数解析式”的建模思维相对薄弱。学生在应用待定系数法时，常易出现列方程不准确或解方程出错等问题；而在选取不同形式（一般式、顶点式或交点式）时，对几何信息与函数形式的对应关系还需进一步强化和理解。故引导学生在分析题意、正确设式、规范求解与检验方面多加练习，对后续运用二次函数模型解决综合性问题至关重要 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①求二次函数表达式采用的一般方法是_________. ②确定二次函数的关系式时，当知道顶点坐标和图象上除顶点外的_________个点的坐标，就可以用顶点式 y=+k确定二次函数的关系式. ③已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上_________个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 解：待定系数法，一，两 2.课堂引入 问题：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？ 分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax²+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？ 思考：将三个点代入y＝ax²+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？ 【设计意图】通过生活情境或具体点的坐标，引发学生对二次函数解析式确定方法的好奇，激发学习兴趣，并使他们明确本节课的学习方向。 探究点1：已知三点求二次函数关系式 1.做一做 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax²+bx+c. ∵该图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)， ∴10=a-b+c，4=a+b+c，7=4a+2b+c， 解得 a=2，b=-3，c=5. ∴所求二次函数表达式为 y=2x²-3x+5. ∴二次函数图像对称轴为直线x=，顶点坐标为(,). 2.归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法： 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=a+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 3.练一练 已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5.则这个二次函数的表达式是(　　) A.y＝4x²＋3x－5 B.y＝2x²＋x＋5 C.y＝2x²－x＋5 D.y＝2x²＋x－5 【设计意图】通过列方程组的方式让学生切身体会待定系数法的思路，在解题过程中体会方程思想和数形结合思想，培养学生抽象概括能力。 探究点 2：交点法求二次函数关系式（拓展） 1.新知探究： 如图所示，二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点. 所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-)(x-). 其中、为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3， 解得 a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x²-4x-3. 2.知识归纳 交点法求二次函数表达式的方法： 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-)(x-)； ②先把两交点的横坐标,代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 3.练一练 已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的表达式为(　　) A.y＝2x²＋x＋2 B.y＝x²＋3x＋2 C.y＝x²－2x＋3 D.y＝x²－3x＋2 解：D 【设计意图】通过“交点法”与“一般式法”的对比，让学生从多种角度认识二次函数解析式的确定方法，并拓展思路，培养元素转换与问题选择的能力。 探究点3：用待定系数法求二次函数表达式的常见设法 1.议一议 一个二次函数的图象经过点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法，与同伴进行交流. 解法一：设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，将点A(0，1)，B(1，2)和C(2，1)分别代入上式得, c=1，a+b+c=2，4a+2b+c=1 解得a=−1，b=2，c=1 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+1. 解法二：因为二次函数图象过点A(0，1)，即c=1, 设二次函数的表达式为y=ax²+bx+1，将B(1，2)和C(2，1)分别代入上式, 得a+b+1=2，4a+2b+1=1 解得 a=−1，b=2 ∴这个二次函数的表达式为y=-x²+2x+1. 解法三：∵点A(0，1)和C(2，1)关于直线x=1对称， ∴点B(1，2)为二次函数的顶点， 设二次函数的表达式为y=a(x-1)²+2，将点A(0，1)代入上式, 得 a+2=1 解得 a=-1 ∴这个二次函数的表达式为y=-(x-1)²+2，即y=-x²+2x+1. 2.新知归纳 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝＋bx＋c； （已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝＋k； （已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－)(x－)． （已知抛物线与x轴交点的横坐标，，用交点式） 3.典例分析 例1 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝＋bx＋c． 依题意得 a-b＋c＝-5，c＝－4，a＋b＋c＝1， 解得a＝2，b＝3，c＝－4， ∴这个二次函数的表达式为y＝＋3x－4. 例2 抛物线图象上三个点的坐标（1，0），（3，0），（2，-1），求二次函数关系式. 解法一: 设所求二次函数关系式为：y =+bx+c. 又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），依题意得: a + b + c = 0 ，9a+3b+c = 0 ，4a + 2b + c=-1 解得a=1，b=−4，c=3 ∴所求的函数关系式为y = -4x+3. 解法二: ∵点（1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y =-4x+3. 解法三： ∵点（1，0）和（3，0）关于直线x =2对称,所以(2，-1）是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数关系式为：y = a-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=-1, 解得a=1, ∴ y = -1, 即所求函数关系式为y =-4x+3. 【设计意图】通过实例探究与多解法对比，引导学生掌握待定系数法求二次函数表达式的三种核心设法，明确不同设法的适用条件与优势，培养学生根据已知条件灵活选择解题方法的能力，提升分析问题、优化解题思路的逻辑思维，夯实二次函数表达式求解的基础，为后续应用二次函数解决实际问题奠定基础。 1.已知抛物线经过点(0，4)，(1，-1)，(2，4)三点，则该抛物线的对称轴是直线( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=3 D.x=-3 解：B． 2.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( 　) A.y＝－x－2 B.y＝−−x+2 C.y＝−−x+1 D.y＝－＋x＋2 解：D. 3．过(－1，0)、(3，0)、(1，2)三点的抛物线的顶点坐标是(　　) A.(1，2) B.（1，） C.(－1，5) D.（2，） 解：A． 4．已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，－8)，图象与x轴的一个公共点A的横坐标为－3，则这个函数的表达式为 _________. 解：y＝＋4x－6 5.已知二次函数的图象经过(1，0)，（－3，0）和（-2，3），则这个二次函数的表达式为 _________. 解：y＝--2x+3. 6.如图所示的抛物线的表达式为_________ . 解：y＝-＋x＋2 7.二次函数y=a+bx+c的图象经过点(-1，0)，(3，0)和(0，2)，则当x=2 时，y的值为_____ . 解：2 8.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=a+bx+c, 由于这个函数经过点(0, 1)，可得c=1. 又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得 4a+2b+1=4，9a+3b+1=10， 解这个方程组，得a=，b=−. ∴所求的二次函数的表达式是y=−x+1. 9.已知二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)，且与x轴交于A、B两点. (1)试确定此二次函数的解析式. (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上，如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由. 解:(1)设此二次函数的解析式为y＝a＋bx＋c. ∵二次函数的图象经过点(0，3)、(－3，0)、(2，－5)， 则有c=3,9a−3b+c=0，4a+2b+c=−5， 解得a=−1,b=−2,c=3, ∴y＝－－2x＋3. (2)∵－－2×(－2)＋3＝－4＋4＋3＝3， ∴点P(－2，3)在这个二次函数的图象上， ∵－－2x＋3＝0， ∴＝－3，＝1， ∴与x轴的交点为(－3，0)、(1，0)， ∴＝×4×3＝6. 【设计意图】巩固练习能帮助学生熟悉二次函数三种形式的待定系数法；综合探究题鼓励学生独立思考，将本节课所学拓展到更复杂情境。通过实践锻炼，进一步提升运算能力与数学思维品质。 主板书 2.3 确定二次函数的表达式 （第2课时） 探究点1 已知三点求二次函数关系式 探究点2 交点法求二次函数关系式（拓展） 探究点3 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题2.3第1-2题。 2. 探究性作业：习题2.3第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $