29.1 投影（第1课时 投影的概念与分类）（教学设计）数学人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦投影的概念与分类，通过泰勒斯测金字塔传说复习相似三角形导入，衔接旧知，构建从生活影子现象到抽象数学概念的学习支架，明确投影、投影线、投影面定义及平行投影与中心投影的分类。 以日影、灯光、皮影戏、日晷等生活实例为载体，培养数学眼光，对比辨析两种投影特征发展推理意识，例题与练习强化模型意识与应用能力，渗透数学文化，助学生建立概念与生活关联，为教师提供清晰教学路径与实例支撑，提升课堂效率。

29.1 投影（第1课时 投影的概念与分类）教学设计 一、内容和内容解析 1．内容 本节课是人教版九年级下册数学第二十九章《投影与视图》中的第1节投影，属于第一课时，主题为投影的概念与分类．具体包含以下内容： 1．投影的核心概念探究——明确投影、投影线、投影面的定义，理解物体影子与光线照射的关联； 2．投影的分类学习——掌握平行投影的定义（由平行光线形成）、特征（光线无交点、方向一致）及生活实例（日影、日晷计时），掌握中心投影的定义（由点光源发出的光线形成）、特征（光线有唯一交点、影子大小随距离变化）及生活实例（灯光下的人影、手影）； 3．平行投影与中心投影的辨析——通过光线特点、光源类型、实例对比，区分两种投影类型． 2．内容解析 投影是初中几何“空间与图形”领域的重要内容，是从二维平面过渡到三维空间认知的基础，也是后续学习视图的前提．投影概念的建立，源于对生活中“影子”现象的数学抽象，体现了“从具体到抽象”的数学思想；平行投影与中心投影的分类，依据光线来源与特征的差异，既符合生活实际认知逻辑，也为后续探究投影性质、解决实际问题（如根据影子判断时间、光源位置）奠定基础．其中，“光线是否平行”是区分两种投影的关键，日晷作为平行投影的典型应用，还渗透了数学文化，增强学科与生活、历史的联系． 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解投影、平行投影、中心投影的定义，能准确区分并识别两种投影类型． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）通过观察、实验、探索、想象，了解投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影的概念． （2）了解平行投影和中心投影的特点，并能根据其特点区分平行投影和中心投影． 2．目标解析 对于目标（1）：通过观察生活中常见的影子现象（如日光下的树影、灯光下的人影），结合课本中的示意图进行实验分析（如模拟太阳光照射物体形成影子、用手电筒作为点光源照射物体观察影子变化），再通过小组合作探索不同光线照射下影子的共性特征，最后借助想象拓展到更多投影场景，学生能逐步建立投影、投影线、投影面的概念认知，进而理解平行投影和中心投影与光线照射方式的关联，最终清晰掌握这五个核心概念的定义及相互关系． 对于目标（2）：通过对比太阳光（平行光线）和灯光（点光源）照射物体形成的影子，学生能自主发现平行投影“光线平行、无交点，影子方向相对固定”与中心投影“光线从一点发散、有交点，影子大小随物体与光源距离变化”的特点；再通过对生活中不同投影实例（如日晷计时、手影游戏）的判断练习，学生能将两种投影的特点与实际场景结合，最终具备根据光线特征和影子表现区分平行投影和中心投影的能力． 三、教学问题诊断分析 1．投影概念理解碎片化：部分学生可能仅将“投影”等同于生活中的“影子”，未深入理解“投影线”“投影面”与“投影”的关联，导致对概念的认知停留在表面，无法从数学角度完整构建“光线-物体-投影面-投影”的逻辑关系，在后续区分投影类型时容易忽略核心要素． 2．平行投影与中心投影特征混淆：学生可能因对“平行光线”和“点光源光线”的视觉感知不清晰，混淆两种投影的关键特征．例如，误将灯光下影子方向的一致性当作平行投影的特征，或把太阳光下影子大小的变化错误归因为中心投影的特点，导致在判断实际场景中的投影类型时出现偏差． 3．概念与生活实例关联脱节：部分学生虽能背诵平行投影和中心投影的定义，但难以将抽象概念与生活实例深度结合．例如，面对“日晷计时”“手影游戏”等实例时，无法快速对应到具体投影类型，或在描述实例中的投影线、投影面时出现表述混乱，影响对知识的实际应用能力． 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解投影相关概念的逻辑关系，准确依据特征区分平行投影与中心投影，并实现概念与生活实例的有效关联． 四、教学过程设计 （一）复习回顾 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度． 【设计意图】通过泰勒斯测金字塔高度的传说，复习相似三角形，为引入投影知识做铺垫． （二）新知引入 你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗？影子和物体有着怎样的联系呢？人们从光线照射物体会产生影子得到启发，得出了投影的有关知识，并用这些知识来绘制视图．在生产实践中，制造机器，建筑高楼，设计火箭……无一不和视图密切相关． 而要学习视图必须了解投影及其相关概念． 【设计意图】结合生活中物体影子现象提问，引出投影知识，说明其与视图及实践的关联，导入新课． （三）新知讲解 思考：物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成．形成影子的因素都有哪些呢？ 预设：形成影子既与物体的形状有关，也与光线的照射方式有关，同时还有地面、墙壁等其他因素． 归纳：一般地，用光线照射物体，在某个平面 （地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影 ，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． 示例： 问题：你能说明下面实例中投影、投影线、投影面分别是什么吗？ 预设：投影是人的影子，投影线是太阳光，投影面是地面． 想一想：在皮影戏的表演中，人们利用灯光的照射效果，使影子的各种形态被精准反映在充当投影面的银幕上，以此传递故事与情感．它与前面的投影中，投影线有什么不同？ 讲解：有时光线是一组互相平行的射线，例如探照灯中的光线 ．太阳离我们非常远，射到地面的太阳光也可以看成一组互相平行的射线． 归纳：由平行光线形成的投影叫做平行投影． 讲解：例如，物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影．日影的方向可以反映当地时间，我国古代的计时器日晷 ，就是根据日影来观测时间的． 介绍：日晷是利用日影计时的仪器，通常由铜制的指针和石制的带有刻度的圆盘组成．用针影落在刻度盘的不同位置表示一天中不同的时刻． 归纳：平行投影的性质与判定 （1）平行投影的对应点的连线是互相平行（或在同一直线上）的； （2）物体与投影的对应点的连线互相平行，就说明该投影是平行投影． 解决复习引入问题： 即：平行投影的规律 同一时刻、同一地点的太阳光下，不同物体的影子长度与它们的高度成正比． 讲解：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影． 示例：例如，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影． 归纳：中心投影的规律 （1）中心投影中光线都是从同一点发出的，光线是发散的、不平行的，投影上的点与物体上对应的点的连线所在的直线交于一点，即点光源处． （2）由形成影子的两条光线即可确定点光源的位置． 【设计意图】通过提问影子形成因素，归纳投影及相关概念，结合实例辨析，再讲解平行投影、中心投影的定义、性质与规律，突破新知． （四）典型例题 例1：如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是． (1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影； 解：（1）根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行投影． （2）作图如图，即为所求． 小结：平行投影的特征及画法 （1）特征：在太阳光下，同一地点、同一时刻，不同物体的影子是平行的（或在一条直线上的），并且影长与物体的高度成正比． （2）画法：连接物体 A 顶端与影子顶端得到形成影子的光线，过物体 B 顶端作所连光线的平行线可得到物体 B 的影子． 针对练习：如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 解：（1）如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子． （2）过作于， 设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为米． 例2：如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． (1)在图中画出光源的位置（用点P表示）； (2)此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； (3)在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 解：（1）如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）解：如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 小结：确定中心投影的点光源的方法 因为点光源、物体上的点及物体在影子上的对应点在同一条直线上，要确定点光源的位置，应先找出物体上的两个点及其影子上的对应点，再分别过物体上的点和影子上的对应点作直线，两条直线的交点即为点光源． 针对练习：如图，路灯下，一墙墩（用线段表示）的影子是，小明（用线段表示）的影子是，在处有一棵大树，它的影子是，在图中画出表示大树高的线段． 解：如图所示，线段即为所求． 【设计意图】通过平行投影和中心投影的典型例题，讲解特征、画法及点光源确定方法，搭配针对练习，巩固新知并提升应用能力． （五）当堂巩固 1．“明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 3．如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ． 【答案】8 解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：8． 4．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米． 【答案】增加 1 解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 【能力提升】 5．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于， 如图所示，就是的投影． （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 【设计意图】通过多样当堂巩固题，涵盖平行投影、中心投影的判断与计算，结合能力提升题，强化知识应用，检测学生对本课内容的掌握程度． （六）课堂总结 本节课你有哪些收获？还有没解决的问题吗？ 【设计意图】培养学生概括的能力.使知识形成体系，并渗透数学思想方法． 五、教学反思 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $