专题5.3 等腰三角形（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题5.3 等腰三角形 教学目标 1.掌握等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质及判定定理，了解等边三角形的推论。 2.通过操作、猜想、证明过程，发展合情推理与演绎推理能力，能运用性质解决几何计算和证明问题。 3.体会轴对称特征，培养空间意识，形成探究思维和转化思想，提升协作交流能力。 教学重难点 一、教学重点 1.等腰三角形核心性质（等边对等角、三线合一）和判定定理的理解与掌握。 2.等边三角形相关推论（如三内角均为 60°）的推导与应用。 3.运用等腰三角形的性质和判定进行基础的几何计算与证明。 二、教学难点 1.等腰三角形性质的验证与证明过程，尤其是辅助线的添加思路。 2.“三线合一” 性质的灵活运用，明确其在不同情境下的对应关系。 3.结合分类讨论、转化等思想，解决含等腰三角形的复杂几何问题 知识点01 等腰三角形的性质定理 1 1. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 . 2. 定理1：等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C. 3. 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60° . 【即学即练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和定理，熟练掌握其性质定理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，求得，由三角形内角和定理求得的度数，根据三角形外角和定理，求得的度数即可． 【详解】解：， 是的一个外角， ． 【即学即练2】如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明三角形全等是解题关键．由等边三角形的性质得出，再证明得出，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 知识点02 等腰三角形的性质定理 2 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合 . 简称“三线合一”. 几何语言：如图，在△ABC中， (1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC(或BD＝DC)； (2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC(或AD⊥BC). 【即学即练】如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 知识点03 等腰三角形的判定定理 1. 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B＝∠C，∴ AB＝AC. 2. 等腰三角形的性质与判定的异同 相同点 使用的前提都是“在同一个三角形中” 不同点 等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等； 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等 【即学即练】 如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．证明，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 知识点04 等腰三角形的判定定理的推论 1. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形. 2. 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ ABC 中， ∵ AB＝AC，∠A＝60° (或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等边三角形. 证明等边三角形的思维导图： 【即学即练】已知：如图，E为的边延长线上的一点，，．求证：是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质证明角相等是解题的关键．根据平行线的性质证明结合已知条件证明三角形的三个内角都相等即可． 【详解】证明：∵， ， ， ，， ， 是等边三角形． 知识点05 含30°角的直角三角形的性质定理 性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言：如图，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴ BC＝AB. 【即学即练】如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用知识是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质可求出，再由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得到，再等量代换即可得到结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 【例1-1】（遇角讨论）已知为等腰三角形，若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数． 【答案】和或和 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和内角和定理．分类讨论运用是解答两个问题的关键．应分两种情况考虑：角是顶角时和是底角时． 【详解】解：①当角为顶角时，另外两个内角的度数都为； ②当角为底角时，顶角为． 综上所述，这个等腰三角形另外两个角的度数分别为，或，． 【例1-2】（遇边讨论）（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长． 【答案】17或19 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质，三角形的三边关系，正确分情况讨论是解题关键．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案． 【详解】解∶∵， ∴，， 解得：，， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时，，此时符合题意， ∴等腰三角形的周长为：， 当b为腰长时，，此时符合题意， 等腰三角形的周长为：， 故此等腰三角形的周长为17或19． 【例1-3】（三角形形状不定需讨论）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为 度． 【答案】或 【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵BM是AC边上的高， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵EN是DF边上的高 ∴， ∴， ∴ 故答案为或 【变式1-1】等腰三角形中，如果一个角是30度，另外两个角是 ． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别根据30度的角是顶角和底角两种情况进行计算即可． 【详解】解：当30度的角为顶角时， 则两个底角相等，且两个底角的和为：, 此时，另外两个角为和； 当30度的角为底角时， 另外一个底角也为， 顶角为：， 此时另外两个角是和， 故答案为：和或和． 【变式1-2】在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质．分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， ； 如图，由题意得：，是的垂直平分线，， ， ， 综上：或． 故答案为：或． 【变式1-3】已知等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是．求此等腰三角形各边的长． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为，则底边长为，再根据两个三角形的周长差是，求出x的值即可． 【详解】解：如图所示，等腰中，，点D为的中点，设，    ∵点D为的中点， ∴，， 当的周长大于的周长时， ∴，即， 解得， ∴底边长为； 当的周长大于的周长时， ∴，即， 解得， ∴底边长为． 综上所述，这个等腰三角形的各边的长为或． 题型02 等腰（等边）三角形的性质应用 【例2-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若平分，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意易证得和都是直角三角形，进而证得，证得，根据全等三角形的性质证得； （2）在上截取，连接，证得，根据全等三角形的性质证得，，进而证得，由于三角形外角定理证得和，从而求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，，分别是边，上的高， ， 和都是直角三角形 ， 在和中 ； （2）解：在上截取，连接，如图所示： 平分 在和中， ， 是的外角， 在中， 即的度数为． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明的判定理由是_____：（填写“”或“”） (2)的取值范围是_____； (3)方法运用：如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理解答； （2）根据全等的性质及三角形的三边关系计算； （3）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】（1）解：是中线， ， 又，， ， 故答案为：； （2）， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接．    ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，点在的边上，连接． (1)如图1，为的中点， ①若，记的面积分别为，求的值； ②若，，求的度数．（用含的式子表示） (2)如图2，若与的周长相等，设．求的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查三角形的中线，三角形的外角的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）①根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积，推出，即可得出结果；②根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （2）根据三角形的周长公式列出等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵与的周长相等， ∴， ∴， ∴． 题型03 等腰（等边）三角形的判定应用 【例3-1】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【例3-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）（1）如图，点B，F，E，C共线，，，．求证：． （2）如图，在中，，，平分交于点D．求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2），， ， ， 由（1）可知是等边三角形， ， ． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【详解】（1）证明：， 是的平分线， ． 又， ， ． （2）解：由（1）得． ， ． ， ． 又， ， ， ． 【变式3-4】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在中，于点D，平分且交于点E． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 解得：， ， 平分， ， ， ， ． 【变式3-5】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）是等边三角形，点在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点作，分别交，于点，，连接，延长和交和于点和，在上取一点，使得． ①求证：； ②若，求的周长． 【详解】（1）证明：延长交于点， 是等边三角形， ． 又，， ． ． 平分． （等腰三角形三线合一）； （2）证明：①是顶角为的等腰三角形，， ． 是等边三角形， ． ． ，， ． 在和中， ． ． ，，， ； ②由①知， ，． ， ． ， ． ． ． ，， ． ． 的周长 ． 由①得：，． ， ． ． 的周长． 题型04 含30°角的直角三角形性质的实际应用 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向． (1)求从B岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， ， ； （2）解：过点C作，则， ，， ， 在中，，海里， ∴ （海里）． 答：B岛和C岛间的距离为25海里． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在同一地面上，有两个观测点，，从，两点观测大楼的楼顶点．已知，，三点在同一条直线上，两点间的距离为． (1)求的度数． (2)求两点之间的距离． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 答：两点之间的距离为． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）两个智能机器人在如图所示的等边三角形区域附近工作，，射线为生产流水线，点在的延长线上．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以相同的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为（单位：），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）．连接交于点．当机器人甲到达终点时，两个机器人停止运动． (1)机器人甲运动的路程是_____m，机器人乙运动的路程是_____m．（用含t的代数式表示） (2)若，求的值． (3)求证：． (4)在运动过程中，线段的长会发生变化吗？如果不会，求出的长；如果会，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得：机器人甲运动的路程是，机器人乙运动的路程是． 故答案为：；． （2）解：∵等边三角形， ∴， ， ， ∴ ． 在中，， ， 是直角三角形， ． ， ∴，解得：． （3）证明：， ． ∵点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）． ∴． 在和中， ， ， ，即． （4）解：的长不会发生变化． 由（3）可知， ． 在和中， ， ， ， ． 题型05 线段垂直平分线与等腰三角形的综合 【例5-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，进而得到，求出、的值，即可求解． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为， ， ， ，， ， 的周长为， 故选：D． 【例5-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 首先由垂直平分线的性质得到，然后得到，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】证明：点是的垂直平分线上的点， ． ． ， ． ． 是的角平分线． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理，关键是利用线段垂直平分线的性质进行角的转换； 根据可得，又根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可求出结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ；的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：． 【分析】先证明垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角得到，再利用等角的余角相等证得，然后利用等角对等边证得， 从而可得． 【详解】证明：是等边三角形，平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 题型06 与等腰（等边）三角形有关的动态问题 【例6-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，等边的边长是，动点M、N分别从点A，点C同时出发，沿、匀速运动，点M，点N的运动速度分别是，，当点M运动时，求点M，点N两点间的距离． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，，进而求出，证得是等边三角形，从而得出点M，点N两点间的距离即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ，， 点M，点N的运动速度分别是，，点M运动时 ， 是等边三角形 点M，点N两点间的距离是． 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点，， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，点，分别是等边的边，上的动点（端点除外），点，以相同的速度，同时从点，出发． (1)如图，连接，，求证：． (2)如图，当点，分别在，边上运动时，，相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (3)如图，当点，分别在，的延长线上运动时，直线，相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ∵点，的运动速度相同，且同时出发， ． ∵在和中 ， ∴． （2）解：点，分别在，边上运动时，的大小不变． 理由：， ． 是的外角， ， ∵在等边中，， ． （3）解：点，分别在，的延长线上运动时，的大小不变． 理由：同（1）可得， ， 是的外角， ． 即当点，分别在，的延长线上运动时，的度数为． 题型07 等腰（等边）三角形中的探究题 【例7】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当，，时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题综合考查了等腰三角形的面积问题，熟练掌握等积法是解题的关键． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴，即， ∵， ∴． （2）解： ∵，，， ∴，即， ∵， ∴． ∵，， ∴， 解得， ∴． 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）已知：等腰直角三角形的斜边长是直角边长的倍，在中，，． (1)如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，求的大小（用含的式子表示）； (2)如图2，点在线段的延长线上时，连接，过点作，垂足在线段上，连接．用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理以及全等三角形的性质与判定： （1）利用等腰三角形的内角特点求出的度数，因为和是对顶角，所以相等，利用三角形内角和定理得到； （2）过点作，如图所示，交的延长线于点，构造全等三角形，将线段以及的关系进行转化，结合等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）∵，， ， ， ， ，，， ． （2）当在边的延长线上时，． 过点作，如图所示，交的延长线于点，则， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形； （2）可证得，，从而得出； （3）分三种情形：当时，；当时，；当时，． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（1）知：， 同理可得，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图， 当时，； 如图， 当时，， ∴； 如图， 当时，， ∴， 综上所述：或． 题型08 等腰（等边）三角形中的拓展创新题 【例8】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出的值为_____； (2)请你利用海伦公式，求出的面积； (3)若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】本题考查完全平方非负性，绝对值非负性，二次根式非负性，有理数运算，等腰三角形性质等． （1）由题意得，再代入代数式即可得到本题答案； （2）由题意可知，，，，，再代入代数式即可得到本题答案； （3）过点作于点，得到，继而得到，然后得到，再代入数值即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：25； （2）解：由题意可知，，，，， ； （3）解：如图，过点作于点， ，， 为等腰三角形， 是边上的高线， ， ． 平分，，， ． ， ， 解得． 【变式8-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 (1)【情景一】中得到“”的理由是___________； (2)在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； (3)写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段垂直平分线的性质 (2)； (3)；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角． （1）利用线段垂直平分线的性质可得到； （2）利用，，可得答案； （3）证得，，结合，，，可得答案； 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， （线段垂直平分线的性质）． 故答案为：线段垂直平分线的性质； （2）解：由（1）知，， 同理可得，， ，， ； （3）解：； 理由：是的垂直平分线， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ， ． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） (2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 【详解】（1）∵为等边三角形， ∴． 又∵点D为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： 过点D作，交于点M． ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （3）当点Q在线段的延长线上时， 如图，作交于点M， 同（2）可知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为7或1． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 已知为等边三角形，，为上一点，，连接． 情景观察（1）如图1，与全等吗？请说明理由； 问题探究（2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，， ①的度数为___________；②求证：； 拓展延伸（3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为___________． 【答案】（1）全等，理由见解析；（2）①，见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：全等，理由如下， 是等边三角形，， ，， 又， ； （2）证明：， ， 又，， ， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形．以为圆心，长为半径画圆，看与网格格点有几个交点，再以为圆心长为半径画弧，看与网格格点有几个交点，可得答案． 【详解】解：如图所示：图中符合条件的点有个， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，先证明，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查线段垂直平分线，等腰三角形的定义及性质；连接，得到，根据面积公式求出，根据线段垂直平分线性质得到，得到，结合的长为的最小值，计算即可． 【详解】解：连接． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，将沿折叠，使点落在边上点处，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角、折叠的性质、三角形内角和定理、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由等边对等角可得，，则；由折叠的性质可得，，再结合三角形内角和定理可得，根据平角的定义可得以及三角形内角和可得，最后解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即①， ∵， ∴②， 把①代入②可得：， 解得：． 故选：C． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：A． 6．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）已知含有角的直角三角形内部两条直角边的关系为“所对直角边的长度所对直角边的长度．由上述信息完成下题．如图，，平分，且．若点，分别在，上，是等边三角形且，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理和轴对称的性质是解题的关键． 过点作于点、于点，证得为等边三角形及，根据等边三角形的面积，求得，分情况讨论，当在点靠近侧，在点靠近侧和当在点远离侧，在点远离侧时，在上取，使，在上取，则，根据勾股定理求得，进而得到在、上分别构造出两组对称点、，形成两个满足条件的等边即可． 【详解】解：根据题意得，，平分， 则 过点作于点、于点， 则 在中，， 同理得， 在四边形中， 为等边三角形，边长为， 其面积为 根据所对直角边的长度所对直角边的长度， 得 解得， 则等边三角形的边长为， 由于， 则， ①当在点靠近侧，在点靠近侧， 在上取，使，在上取，则， 、、， 是等边三角形， 根据勾股定理得， 即 解得或（舍去）， 则存在唯一解； ②当在点远离侧，在点远离侧， 同理，在上取，使，在上取，则， 此时， 根据勾股定理得， 即 解得，存在唯一解， 综上所述，可在、上分别构造出两组对称点、，形成两个满足条件的等边， 故选：B． 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列说法正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识．由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可得故①正确；通过证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，故②正确；由可证，可得，由线段垂直平分线的性质可得，可求得，故③正确；通过证明，可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 故①正确； ∵，， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ，， ， ，故③正确； 是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ，故④正确 综上所述①②③④正确， 故选：D 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 二、填空题 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是添加条件判断三角形全等，根据全等三角形的判定方法可得答案． 【详解】解：∵，， ∴添加或， ∴， 添加， ∴， ∴． 故答案为：（或，） 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是 内一定点，点，分别在边、上运动，若， ，则 的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，最短路线问题，解决本题的关键是根据轴对称的性质作出点关于，的对称点，，连接，，根据两点之间线段最短可知的周长最短值是线段的长度，根据可知是等边三角形且边长为，则的周长最小值为． 【详解】解：如下图所示， 作点关于，的对称点，，连接，，， 当，是与，的交点时，的周长最短，最短的值是的长． 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值． 11．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，是的中点，交于，点在上，且是等边三角形，，，求的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 连接，作于点，先根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质得到，，再求得，在中，求得，，在中，求得，，，即可求解． 【详解】解：连接，作于点， 是的中点，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在中，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：10． 12．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等，由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则； （2）根据含的直角三角形的性质即可证明，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 在与中， ， ∴． ， ， ． ． ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，在边上，，过点作的垂线，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 由垂直的定义可得，即；再说明，由等边对等角可得，运用等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ，      ， ，                    ， ． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰中，，点D是线段AC上一点，过点D作交BC于点E，且，，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，根据等腰三角形性质，由三角形内角和定理得，则，再根据平行线性质得，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用三角形内角和定理，三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∵， ，， ， ， 是的外角， ， ， ， 15．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知，如图，等边三角形中，，点P为边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合． 【答案】(1) (2)当时，点与点重合 【分析】本题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）由题意知：，利用图中边之间的关系和角的性质依次表示出的长，进而求出与之间的等量关系式； （2）再根据点与点重合时，即可解出的值． 【详解】（1）解：是等边三角形，， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ， 则． 在中，， ， ． 在中，， ， ． （2）解：当点与点重合时，， 即， 解得． 故当时，点与点重合． 16．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点B和这点作射线交AC于点D，即可作答； （2）先由等边对等角得出，再运用三角形内角和性质得，根据平分，得出，故，得出，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． (1)若，求的度数： (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解； （2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)此时点P的坐标为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）先求出直线与坐标轴交点坐标，再求出点坐标，再由待定系数法求解； （2）求出，则可得到，进而可求出．设，则，解方程即可答案． （3）当点在点下方时，过点作交直线于，过点作于，过点作直线于，过点作直线于，证明，设点，表示出，再代入，求解；当点在点上方时，构造同样辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意，令，得， ． 令，得，解得， ， ． ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：， ， ． ， ， ． 设， 则， 解得， ∴此时点P的坐标为． （3）解：如图，当点N在点B的下方时，过点M作交于点H，过点M作于点D，过点N作直线于点F，过点H作直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，， ． 设，则， ， ， 解得：， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，构造同样辅助线， 同理， ， ∵点是的中点，点，点， ， 设点． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 等腰三角形 教学目标 1.掌握等腰三角形 “等边对等角”“三线合一” 的性质及判定定理，了解等边三角形的推论。 2.通过操作、猜想、证明过程，发展合情推理与演绎推理能力，能运用性质解决几何计算和证明问题。 3.体会轴对称特征，培养空间意识，形成探究思维和转化思想，提升协作交流能力。 教学重难点 一、教学重点 1.等腰三角形核心性质（等边对等角、三线合一）和判定定理的理解与掌握。 2.等边三角形相关推论（如三内角均为 60°）的推导与应用。 3.运用等腰三角形的性质和判定进行基础的几何计算与证明。 二、教学难点 1.等腰三角形性质的验证与证明过程，尤其是辅助线的添加思路。 2.“三线合一” 性质的灵活运用，明确其在不同情境下的对应关系。 3.结合分类讨论、转化等思想，解决含等腰三角形的复杂几何问题 知识点01 等腰三角形的性质定理 1 1. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 . 2. 定理1：等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠C. 3. 推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60° . 【即学即练1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，直线分别交，和的延长线于点D，E，F，，求的度数． 【即学即练2】如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 知识点02 等腰三角形的性质定理 2 定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合 . 简称“三线合一”. 几何语言：如图，在△ABC中， (1)∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ AD平分∠BAC(或BD＝DC)； (2)∵ AB＝AC，BD＝DC，∴ AD⊥BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB＝AC，AD平分∠BAC，∴ BD＝DC(或AD⊥BC). 【即学即练】如图，点D，E在的边上，，，求证：． 知识点03 等腰三角形的判定定理 1. 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠B＝∠C，∴ AB＝AC. 2. 等腰三角形的性质与判定的异同 相同点 使用的前提都是“在同一个三角形中” 不同点 等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等； 等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等 【即学即练】 如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且，求证：是等腰三角形． 知识点04 等腰三角形的判定定理的推论 1. 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ABC中， ∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形. 2. 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言：如图，在△ ABC 中， ∵ AB＝AC，∠A＝60° (或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等边三角形. 证明等边三角形的思维导图： 【即学即练】已知：如图，E为的边延长线上的一点，，．求证：是等边三角形． 知识点05 含30°角的直角三角形的性质定理 性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言：如图，在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴ BC＝AB. 【即学即练】如图，，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：． 题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 【例1-1】（遇角讨论）已知为等腰三角形，若有一个内角为，求这个等腰三角形另外两个角的度数． 【例1-2】（遇边讨论）（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长． 【例1-3】（三角形形状不定需讨论）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为 度． 【变式1-1】等腰三角形中，如果一个角是30度，另外两个角是 ． 【变式1-2】在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角 ． 【变式1-3】已知等腰三角形的周长是，一腰上的中线把三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长的差是．求此等腰三角形各边的长． 题型02 等腰（等边）三角形的性质应用 【例2-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在中，，分别是边，上的高，，相交于点F，． (1)求证：； (2)连接，若平分，当时，求的度数． 【例2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)小明证明的判定理由是_____：（填写“”或“”） (2)的取值范围是_____； (3)方法运用：如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：； 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽滁州·期中）如图，点在的边上，连接． (1)如图1，为的中点， ①若，记的面积分别为，求的值； ②若，，求的度数．（用含的式子表示） (2)如图2，若与的周长相等，设．求的长（用含的式子表示）． 题型03 等腰（等边）三角形的判定应用 【例3-1】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，平分，，且，求证：是等边三角形． 【例3-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）（1）如图，点B，F，E，C共线，，，．求证：． （2）如图，在中，，，平分交于点D．求证：． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E，交于点F． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）我们已经学习了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． (1)请你根据给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，是的平分线，点在上，，垂足分别为，求证：． (2)如图2，是的平分线，点在上，，垂足分别是，．过点作交于点，在上取一点，使得，若，求线段的长． 【变式3-4】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）在中，于点D，平分且交于点E． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【变式3-5】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）是等边三角形，点在的内部，是顶角为的等腰三角形，． (1)如图（1），连接，求证：； (2)如图（2），过点作，分别交，于点，，连接，延长和交和于点和，在上取一点，使得． ①求证：； ②若，求的周长． 题型04 含30°角的直角三角形性质的实际应用 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东方向，B岛在A岛的北偏东方向，C岛在B岛的北偏西方向． (1)求从B岛看A，C两岛的视角是多少度？ (2)已知A岛和B岛间的距离为50海里，求B岛和C岛间的距离． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在同一地面上，有两个观测点，，从，两点观测大楼的楼顶点．已知，，三点在同一条直线上，两点间的距离为． (1)求的度数． (2)求两点之间的距离． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）两个智能机器人在如图所示的等边三角形区域附近工作，，射线为生产流水线，点在的延长线上．机器人甲从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，机器人乙从点出发，沿的方向以相同的速度匀速运动，其所在位置用点表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为（单位：），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m），点到的距离（垂线段的长）为（单位：m）．连接交于点．当机器人甲到达终点时，两个机器人停止运动． (1)机器人甲运动的路程是_____m，机器人乙运动的路程是_____m．（用含t的代数式表示） (2)若，求的值． (3)求证：． (4)在运动过程中，线段的长会发生变化吗？如果不会，求出的长；如果会，请说明理由． 题型05 线段垂直平分线与等腰三角形的综合 【例5-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点，是线段的垂直平分线上两点，延长，交的延长线于点，连接，若点在线段上，且．求证：是的角平分线． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，的度数为 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为 ；的度数为 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，，以为边在外作等边，作的平分线交于点，交于点求证：． 题型06 与等腰（等边）三角形有关的动态问题 【例6-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，等边的边长是，动点M、N分别从点A，点C同时出发，沿、匀速运动，点M，点N的运动速度分别是，，当点M运动时，求点M，点N两点间的距离． 【变式6-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，点，分别是等边的边，上的动点（端点除外），点，以相同的速度，同时从点，出发． (1)如图，连接，，求证：． (2)如图，当点，分别在，边上运动时，，相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (3)如图，当点，分别在，的延长线上运动时，直线，相交于点，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 题型07 等腰（等边）三角形中的探究题 【例7】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当，，时，求线段的长． 【变式7-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式7-2】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）已知：等腰直角三角形的斜边长是直角边长的倍，在中，，． (1)如图1，点是边上一点（不与点，重合），连接，过点作，交的延长线于点，连接．若，求的大小（用含的式子表示）； (2)如图2，点在线段的延长线上时，连接，过点作，垂足在线段上，连接．用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明． 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形． 在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究． 实验操作：已知在等边纸片中，点，分别是，边上的点，连接，将沿折叠得到，连接，． 【初步探究】当折痕时，完成下面探索任务： （1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形； （2）如图2，当点落在内部时，求证：； 【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务： （3）当是等腰直角三角形时，请求出的度数． 题型08 等腰（等边）三角形中的拓展创新题 【例8】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出的值为_____； (2)请你利用海伦公式，求出的面积； (3)若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【变式8-1】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 (1)【情景一】中得到“”的理由是___________； (2)在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； (3)写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 【变式8-2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知在等边中，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)【问题发现】如图1，当点D为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　．（填“”“”或“”） (2)【类比探究】如图2，当点D为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：　　　　（填“”“”或“”）．理由如下：过点D作，交于点M……请你完成后面的解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，已知点D是等边的边的中点，，点P，Q分别为射线上一动点，且，若，求的长． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）综合与实践 已知为等边三角形，，为上一点，，连接． 情景观察（1）如图1，与全等吗？请说明理由； 问题探究（2）如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，， ①的度数为___________；②求证：； 拓展延伸（3）如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为___________． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在的正方形网格中，点、在格点上，要找一个格点，使是等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）今，帆船运动受到越来越多年轻人的喜爱，它不仅能让人体验大自然的惊涛骇浪，还能锻炼人的胆量和体魄．如图，热爱帆船运动的聪聪同学用一副三角板拼成一幅“帆船图”，已知，，若，，连接，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，等腰三角形的边为4，面积为28，腰的垂直平分线分别交边，于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，将沿折叠，使点落在边上点处，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）已知含有角的直角三角形内部两条直角边的关系为“所对直角边的长度所对直角边的长度．由上述信息完成下题．如图，，平分，且．若点，分别在，上，是等边三角形且，则满足上述条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列说法正确的是（    ） ①，②，③，④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，点D，E，F分别是的边，，上的点，其中，，要使，可以添加的条件是 ． 10．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，点是 内一定点，点，分别在边、上运动，若， ，则 的周长的最小值为 ． 11．（25-26八年级上·安徽六安·月考）如图，在中，是的中点，交于，点在上，且是等边三角形，，，求的长为 ． 12．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，在边上，，过点作的垂线，交于点．求证：． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在等腰中，，点D是线段AC上一点，过点D作交BC于点E，且，，求的度数． 15．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知，如图，等边三角形中，，点P为边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合． 16．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断是否为等腰三角形，并说明理由． 17．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． (1)若，求的度数： (2)若，，求证：． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $