21.1 第1课时　二次根式 课件 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次根式概念、有意义条件及性质，通过回顾平方根与算术平方根旧知，结合正方形面积问题、代数式共同特点分析，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于以“外在特征+内在特征”定义二次根式，培养抽象能力（数学眼光）。通过典例辨析（如判断√32是否为二次根式）和取值范围问题，发展推理意识（数学思维）。结合因式分解实例（x²-3=(x-√3)(x+√3)）渗透模型意识（数学语言）。采用问题驱动、典例精析的方法，学生能夯实概念与应用能力，教师可直接用丰富练习题提升教学效率。

第21章　二次根式 21.1　二次根式 第2课时　二次根式的性质 4 2 0 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用 二 一般地，有 归纳 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱, 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 计算 解： （2）用到了 （ab）2=a2b2这个 结论. 练一练 类似地，计算： 再计算： 0.5 0 0.5 二次根式的性质2及应用 三 一般地，有 a -a (a≥0) (a＜0) 归纳 2.从取值范围来看, a≥0 a取任何实数 1.从运算顺序来看, 先开方,后平方 先平方,后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) -a(a＜0) = =∣a∣ 知识要点 化简 解： 练一练 （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 课堂小结 二次根式 定义 性质 （a≥0） （即 表示一个非负数） 一、 选择题= 1. 下列运算中，正确的是（　D　） A. ＝－3 B. － ＝3 C. ＝ a D. ＝3 2. 若 ＝－1，则 a 应是（　A　） A. 负数 B. 正数 C. 非负数 D. 非正数 D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知 m 为任意实数，则下列各式中，一定成立的是（　D　） A. （ ）2＝ m B. ＝ m ＋1 C. ＝ m D. （ ）2＝ m 2＋1 4. 若2、5、 m 是某三角形的三边长，则化简｜ m －3｜＋ 的结果是（　D　） A. 2 m －10 B. 10－2 m C. 10 D. 4 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. ☆已知 ＝1，（－ ）2＝ b ，则 的值为（　C　） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. －1或－3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 化简： （1） ＝ 　2－ 　； （2） ＝ ⁠. 7. （兴安盟中考）实数 m 在数轴上的位置如图所示，化简： ＝ ⁠. 第7题 2－ 　 π－3　 2－ m 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 若 ＝1－2 a ，则 a 的取值范围是 　 a ≤ 　. 9. ☆已知 y ＝ － x ＋6.当 x 的值分别为1、2、3、…、2024 时，对应的 y 值的总和是 ⁠. a ≤ 　 2044　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 计算： （1） － ＋（ ）2－（－ ）2； 解：－3 （2） ＋ － . 解： － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 有这样一道题目：当 a ＝●时，求（ ）2＋ 的值.其中，●被墨水污染了.若某同学求得的答案为 ，则该同学求 得的答案是否正确？请说明理由. 解：该同学求得的答案不正确　理由：∵ （ ）2＋ ＝ a ＋｜ a －1｜，∴ a ≥0.① 当 a ≥1时，原式＝ a ＋ a －1＝2 a － 1≥1；② 当0≤ a ＜1时，原式＝ a － a ＋1＝1.∴ 在满足条件的范围 内，无论 a 取何值，（ ）2＋ ≥1恒成立，即不可能 为 .∴ 该同学求得的答案不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出 有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的 题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信 息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等 才能发现，我们把这样的信息称为隐含条件.在做题时，我们要 注意发现题目中的隐含条件.阅读下面的解题过程，体会如何发 现隐含条件并解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 化简：（ ）2－｜1－ x ｜. 解：隐含条件1－3 x ≥0，解得 x ≤ . ∴ 1－ x ＞0. ∴ （ ）2－｜1－ x ｜＝（1－3 x ）－（1－ x ）＝1－3 x －1＋ x ＝－2 x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1） 化简： －（ ）2； 解：（1） 隐含条件2－ x ≥0，解得 x ≤2.∴ x －3＜0. ∴ －（ ）2＝3－ x －（2－ x ）＝3－ x －2 ＋ x ＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 已知 a 、 b 满足 ＝ a ＋3， ＝ a － b ＋ 1，求 ab 的值. 解：（2） ∵ ＝ a ＋3，∴ 若 a ≥2，则 a －2＝ a ＋3，不成立.∴ a ＜2.∴ 2－ a ＝ a ＋3，解得 a ＝－ . ∵ ＝ a － b ＋1，∴ a － b ＋1＝1或0.∴ b ＝－ 或 . ∴ ab ＝± 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 性质1.( EQ \R(,a) )2=a (a≥0) 性质2： 一般地，我们把形如 EQ \R(,a) (a≥0)的式子叫做二次根式.“ EQ \R(, ) ”称为二次根号，a叫做被开方数. $第21章　二次根式 21.1　二次根式 第1课时　二次根式的概念 学习目标 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 观察与思考 导入新课 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 . b-3 表示一些正数的算术平方根． 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 讲授新课 二次根式的定义及有意义的条件 一 二次根式的定义 理解要点： 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 知识归纳 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！ 例 下列各式是二次根式吗?    (m≤0), (x,y 异号) 解析： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0, （7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根. 典例精析 一、 选择题 1. 下列各式中，一定是二次根式的为（　D　） A. － B. C. D. 2. （江西中考）若 有意义，则 a 的值可以是（　D　） A. －1 B. 0 C. 2 D. 6 3. （济宁中考）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（　D　） A. x ≠2 B. x ≥0 C. x ≥2 D. x ≥0且 x ≠2 D D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 下列等式中，正确的是（　A　） A. （ ）2＝5 B. （－ ）2＝－5 C. （ ）2＝5 D. （－2 ）2＝10 5. ☆若实数 a 、 b 满足 a ＝ ＋ －1，则 a ＋ b 的值为（　A　） A. 1 B. 0 C. －1 D. 2 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6.若式子 有意义，则实数 x 的取值范围是 ⁠. 7. （丹东中考）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是 ⁠ ⁠. 8. 计算： （1） ＝ 　 　；　　（2） ＝ 　 　； （3） －2×（ ）2× ＝ ⁠. x ＞3　 x ≥－2 且 x ≠1　 　 　 －2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. ☆ x 2－3在有理数范围内不能进行因式分解，但是3＝（ ）2，所以 x 2－3＝ x 2－（ ）2＝（ x － ）（ x ＋ ），这就把 x 2－3在实数 范围内进行了因式分解.按照这个思路，2 a 2－14在实数范围内进行因 式分解的结果为 ⁠. 2（ a － ）（ a ＋ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. （10分）在 、 、 、 、 （ x ＞1）中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ 解： 、 （ x ＞1）是二次根式， 、 、 不是二次根式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 要使下列式子有意义， x 的取值必须满足什么条件？ （1） ； （2） ； （3） ＋（ x －2）0； （4） ＋ ；　 解： x ≤2　　 　解： x ≥0且 x ≠1　　 解： x ＞1且 x ≠2 解： x ＝3　　 （5） ；　 （6） . 解： x ＝2　　 解： x 为任意实数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 二次根式 的双重非负性是指被开方数 a ≥0，其化简的 结果 ≥0.利用 的双重非负性解决下列问题： （1） 已知实数 a 、 b 满足 ＋ ＝0，则2 ab ＝ ⁠； － 20 （2） 已知实数 m 、 n （ n ≠0）满足｜2 m －4｜＋ ＝0，求 m － n 的值； 解：（2） 由题意，得解得 ∴ m － n ＝2－（－3）＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3） 若 x 、 y 为实数，且 x 2＝ ＋ ＋64，求 x ＋ y 的值. 解：（3） 由题意，得 y －3≥0，3－ y ≥0.∴ y ＝3.∴ x 2＝ 64，解得 x ＝±8.∴ x ＋ y ＝11或－5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 EQ \R(,a) EQ \R(,a) 一般地，我们把形如 EQ \R(,a) (a≥0)的式子叫做二次根式.“ EQ \R(, ) ”称为二次根号，a叫做被开方数. EQ \R(, ) $