专题1.5-1.6 三角函数的应用与利用三角函数测高（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

专题1.5-1.6 三角函数的应用与利用三角函数测高 【知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：方向角 1 知识点梳理02：仰角与俯角 2 知识点梳理03：坡度坡角 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用同角三角函数关系求值 2 考点2：求证同角三角函数关系式 3 考点3：互余两角三角函数的关系 4 考点4：三角函数综合 4 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 6 考点6：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 7 考点7：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 9 考点8：其他问题(解直角三角形的应用) 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。 知识点梳理02：仰角与俯角 仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为俯角）。 俯角：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。也指从测 量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。 知识点梳理03：坡度坡角 1. 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． 2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系：i=h/l=tanα． 3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 考点1：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·学业考试）已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式训练2】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 考点2：求证同角三角函数关系式 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2】（2024·四川眉山·二模）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 考点3：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【变式训练2】（23-24九年级下·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 考点4：三角函数综合 【典例精讲】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【变式训练1】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）在中，，点D在过点A的直线m上运动，连接，在右侧作，使得． (1)如图1，连接，求证：； (2)当时，连接； （i）若时，交线段于点F，如图2，当时，求的度数； （ii）当时，射线交m于点N，连接，若，请直接用含x的代数式表示的面积． 【变式训练2】（2025·四川成都·三模）在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥的最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥， 可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知，．（结果精确到， 参考数据：，，） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【变式训练1】（2025·福建福州·模拟预测）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，；点在点北偏东方向，点在点正东方向，；点在点正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据：，，，） (1)求的长度；（结果精确到个位） (2)骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择： ； ．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【变式训练2】（2025·四川成都·二模）海岛P的周围20海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点A处测得海岛P位于北偏东，航行10海里后到达点B处，又测得海岛P位于北偏东．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由． 考点6：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖北·模拟预测）塔在古代扮演了多种重要角色，从防御、交通到通信，再到文化和教育的象征，展现了人类智慧和文化的多样性．如图，小明在某公园的处仰望一座塔的塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进5米至处，测得塔顶的仰角为．已知小明眼睛到地面的距离为1.5米，在同一平面内，求该塔的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【变式训练2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 考点7：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【变式训练1】（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【变式训练2】（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 考点8：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林长春·月考）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 【变式训练1】（2025·上海松江·二模）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【变式训练2】（2023·安徽宣城·二模）小马准备利用所学的解直角三角形知识来估算小区前道路上的某辆汽车速度，如图，小马站在距离公路的点处，这时公路上的点处驶来一辆汽车，此时测得，经过后汽车到达点处，此时测得，求这辆汽车的速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，，） 1．（2024·广东清远·中考真题）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为 米． 2．（2024·四川眉山·中考真题）阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底A处沿坡度的山坡走到达坡顶B处测得P处的仰角为；他又沿坡面走到达坡底C处，测得P处的仰角为（点A，B，C，P在同一平面内）风筝的飞行高度为 （即的长）． 3．（2024·山东临沂·中考真题）如图，在正方形纸片中，，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么 ． 4．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（   ）米 A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·中考真题）某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A． B． C． D． 基础夯实 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林长春·三模）伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为 ． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，向左走米到处再测得点仰角为，且、、三点在同一直线上，则新教学楼的高度是 米．(结果保留到整数，参考数据： ， ， ） 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 7．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 10．（2025·山西运城·一模）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 培优拔高 11．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，矩形台球桌，其中A、B、C、D处有球洞，已知，球从E点出发，与夹角为α，经过三次反弹后回到E点，则关于的说法下列正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·湖南长沙·三模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（     ） A． B． C． D． 13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 14．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 15．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 16．（2024·湖南·模拟预测）洪江市深入贯彻落实习近平总书记关于“三农”工作重要论述，推进农村人居环境升级；按照湖南省委、省政府“千万工程”部署，积极促进农村人居环境整治与乡村旅游深度融合，推动“美丽乡村”向“美丽经济”转变．如图是某地对A地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）． 17．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 18．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①所示的是某校安装的红外摄像机，图②为其抽象示意图．四边形中，，，在直线与水平地面所成的角为，． (1)求的长； (2)若点C离地面，求点A到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 20．（2024九年级下·广东·专题练习）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得，用高的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为，在B处测得仰角为，求该建筑物的高． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5-1.6 三角函数的应用与利用三角函数测高 【知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：方向角 1 知识点梳理02：仰角与俯角 2 知识点梳理03：坡度坡角 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：利用同角三角函数关系求值 2 考点2：求证同角三角函数关系式 3 考点3：互余两角三角函数的关系 6 考点4：三角函数综合 8 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 17 考点6：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 22 考点7：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 26 考点8：其他问题(解直角三角形的应用) 31 中考真题 实战演练 36 难度分层 拔尖冲刺 41 基础夯实 41 培优拔高 49 知识点梳理01：方向角 方向角的概念：是指采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。 知识点梳理02：仰角与俯角 仰角：在竖直面内的水平线与向上递升线段之间的角度（朝上看时，视线与水平面夹角为俯角）。 俯角：在竖直面内的水平线与向下递降线段之间的角度（朝下看时，视线与水平面夹角为俯角）。也指从测 量员的仪器到照准点所观测到的地平线以下的垂直角。另外，视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角也叫俯角。俯角范围0°到180°。 知识点梳理03：坡度坡角 1. 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． 2.坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系：i=h/l=tanα． 3.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 考点1：利用同角三角函数关系求值 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练1】（2025九年级下·全国·学业考试）已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【思路点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数，根据是关于x的方程的两根，可得，结合，可得答案． 【规范解答】解：根据题意，得， 又， ． 故选C． 【变式训练2】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：B ． 考点2：求证同角三角函数关系式 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【规范解答】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（2024·四川眉山·二模）如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【思路点拨】①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果； ②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论； ③由①求证即可得出结论； ④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； 【规范解答】∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点， ∴， ∴， ∵CG∥AE， ∴， ∴， ∴，即△CGF为直角三角形， ∵CG∥AE， ∴△BHE也是直角三角形， ∴． 故①正确； 由①得， ∴， ∴， 故②正确； 由①得， ∴BH=CG，而不是BH=FG， 故③错误； ∵， ∴， 即， 同理可得：， 可得， ∴， ∴④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案选D． 考点3：互余两角三角函数的关系 【典例精讲】（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查互余两角三角函数的关系，熟练掌握是解题关键．根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【规范解答】解：∵ ∴． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【规范解答】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 【变式训练2】（23-24九年级下·安徽六安·期末）下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知互余两角三角函数的关系是解答此题的关键．分别根据锐角三角函数的定义及互余两角三角函数的关系进行解答即可． 【规范解答】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． 故选：D． 考点4：三角函数综合 【典例精讲】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，．当点与点重合时，的长为 ；当点的位置变化时，长的最大值为 ．    【答案】 / 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形等知识点；①当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分，推出，求得；②连接，可知当长取得最小值时，长取得最大值；由折叠的性质知垂直平分，则，推出时，长取得最小值，此时长取得最大值；过点D作于点C，则四边形为矩形，推出，即可求解； 【规范解答】解：当点与点重合时，由折叠的性质知垂直平分， ∴； ； 连接，如图所示：    当长取得最小值时，长取得最大值； 由折叠的性质知垂直平分，则， ∴时，长取得最小值，此时长取得最大值， 过点D作于点G，则四边形为矩形， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴长的最大值为； 故答案为：①② 【变式训练1】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）在中，，点D在过点A的直线m上运动，连接，在右侧作，使得． (1)如图1，连接，求证：； (2)当时，连接； （i）若时，交线段于点F，如图2，当时，求的度数； （ii）当时，射线交m于点N，连接，若，请直接用含x的代数式表示的面积． 【答案】(1)见解析 (2)（i）（ii）或 【思路点拨】（1）利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； （2）（i）连接，先证明，再证明三点共线，证明，过点D作于点M，则，根据等腰直角三角形，等腰三角形的定义，三角函数解答即可； （ii）当时，过点E作于点V，过点B作于点W，过点D作于点X，还有的情况解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）（i）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （ii）解：当时，即， ∵， ∴， ∵， ∴，， 当时，过点E作于点V，过点B作于点W，过点D作于点X， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示，可得，， ， ∴； 综上所述，当时，面积为，当时，面积为：． 【变式训练2】（2025·四川成都·三模）在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)或或 【思路点拨】（1）证明，从而； （2）以为圆心，长为半径圆弧，交于，取的中点，连接，可证得，从而，从而，进而得出，从而，从而得出结果； （3）作的垂直平分线，交于，连接，可求得，分两种情形：当时，即点在上时，作于，可得出，设，则，可得出，进而根据得方程，求得的值，进一步得出结果；当时，构造＂一线三等角＂得出，从而，，设，则，从而 ，根据得出的方程，根据勾股定理得方程，从而求得的值，进一步得出结果． 【规范解答】（1）如图，连接， 由题意得， ； （2） ，理由如下： 以为圆心，长为半径画弧，交于，取的中点，连接， ； （3）如图， 作的垂直平分线，交于，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． （i）如图， 当时，即点在上时，作于， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由得，， ∴， ∴， ； （ii）当时， 作于，作于，作交于，作，交于， ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由得，①， 取的中点，作于， 则，四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，②， 由①②得，， 当时，， 当时，， 综上所述：或或． 考点5：方位角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）如图，乡镇在乡镇的正北方向，桥的最北端桥墩在乡镇的西南方向，最南端桥墩在乡镇的北偏西方向处．原来从乡镇到乡镇需要经过桥，沿折线到达，现在新建了桥， 可直接沿直线从乡镇到达乡镇，已知，．（结果精确到， 参考数据：，，） (1)求点到直线的距离； (2)求现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程． 【答案】(1)点到直线的距离为 (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，于，证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形得出的长即可得解； （2）解直角三角形得出的长，再求出的长，由勾股定理得出的长，最后由计算即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，作于，于， 则， ， ， 四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ， 点到直线的距离为； （2）在中，，， ， 由（1）得：，， ， ， ， ， ， 现在从乡镇到乡镇比原来少走的路程为： ． 【变式训练1】（2025·福建福州·模拟预测）随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，；点在点北偏东方向，点在点正东方向，；点在点正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据：，，，） (1)求的长度；（结果精确到个位） (2)骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择： ； ．请通过计算说明，在速度相同的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【答案】(1)的长为； (2)选择更快． 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，直角三角形的性质，矩形的性质和判定，线段的和差关系等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，，过作，过作，由题意和辅助线判定四边形、四边形都是矩形，利用矩形的性质、直角三角形的边角间关系、线段的和差关系先求出，再利用直角三角形的边角间关系得结论； （）先计算的长，再计算两条线路的长短，最后比较得结论． 【规范解答】（1）解：过作，，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，，，， ∵点在点北偏西方向，点在点北偏东方向， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 线路的路程长：； 线路的路程长：； ∵， ∴骑手选择送餐路线才能更快地将外卖送到小明家． 【变式训练2】（2025·四川成都·二模）海岛P的周围20海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在点A处测得海岛P位于北偏东，航行10海里后到达点B处，又测得海岛P位于北偏东．如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由． 【答案】没有触礁的危险．理由见解析 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点，由题意可知渔船航行至点位置时距离海岛最近，求出的长即可得出结论． 【规范解答】解：没有触礁的危险，理由如下： 如图，过点作于点，由题意可知渔船航行至点位置时距离海岛最近， 则，， ，， ， 海里， 得， 解得：， 海岛的周围20海里内有暗礁，海里海里， 没有触礁的危险． 考点6：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（2024·湖北·模拟预测）塔在古代扮演了多种重要角色，从防御、交通到通信，再到文化和教育的象征，展现了人类智慧和文化的多样性．如图，小明在某公园的处仰望一座塔的塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进5米至处，测得塔顶的仰角为．已知小明眼睛到地面的距离为1.5米，在同一平面内，求该塔的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：） 【答案】13.3米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，设的延长线与交于点，在中，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出，即可求解． 【规范解答】解：如图，设的延长线与交于点， 由题意可得，米，米， 在中， ， 在中，， 解得，经检验，符合题意， 米． 答：该塔的高度约为13.3米． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【规范解答】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 【变式训练2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为 m，楼房的高为 m． 【答案】 30 20 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【规范解答】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 考点7：坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【思路点拨】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【规范解答】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 【变式训练1】（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 【变式训练2】（2025·四川广元·模拟预测）如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 考点8：其他问题(解直角三角形的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林长春·月考）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ① ； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【规范解答】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 【变式训练1】（2025·上海松江·二模）图1是某商场入口处摆放的“楼层导购图”展板．图2是其横断面的示意图． 信息1：经过测量得到：，，，．（底座的高度忽略不计） 信息2：P为顾客看展板时眼睛所在的位置，，垂足在的延长线上，当视线与展板垂直时，称点为“最佳观察点”． (1)求：展板最低点B到地面的距离； (2)如果，当点为“最佳观测点”时，求点到的距离．（参考数据：） 【答案】(1)展板最低点到地面的距离为； (2)当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，作出辅助线． （1）过作于，过点作于，作于，解直角三角形求出，，最后求出结果即可； （2）过点作于点，作于点，设，则，根据，求出结果即可． 【规范解答】（1）解：如图2，过作于，过点作于，作于， 在中，，， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 答：展板最低点到地面的距离为； （2）如图，过点作于点，作于点， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， 设， ， ，，， ， 在中，， ， ， 答：当点为“最佳观测点”时，求点到的距离为． 【变式训练2】（2023·安徽宣城·二模）小马准备利用所学的解直角三角形知识来估算小区前道路上的某辆汽车速度，如图，小马站在距离公路的点处，这时公路上的点处驶来一辆汽车，此时测得，经过后汽车到达点处，此时测得，求这辆汽车的速度．（结果精确到0.1，参考数据：，，，） 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，过作于，根据，，求出、，再求出，最后根据计算速度即可． 【规范解答】解：过作于，由题意可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴这辆汽车的速度为． 1．（2024·广东清远·中考真题）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度约为 米． 【答案】600 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， ， ， 解得：， （米）． 2．（2024·四川眉山·中考真题）阳春三月，小明和好友到郊外去放风筝，由于天公作美，风筝快速飞至点P处（如图）．爱动脑的小明准备测量此时风筝的高度，他立即从坡底A处沿坡度的山坡走到达坡顶B处测得P处的仰角为；他又沿坡面走到达坡底C处，测得P处的仰角为（点A，B，C，P在同一平面内）风筝的飞行高度为 （即的长）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用；过作于，作于，由坡度得，设，，由勾股定理得，求出，即可求出，再由勾股定理得，设，由正切函数得，再由，即可求解；能熟练利用解直角三角形进行求解是解题的关键． 【规范解答】解：过作于，作于， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ， 设，， ， ， 解得：， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．（2024·山东临沂·中考真题）如图，在正方形纸片中，，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形，得到是解题的关键． 根据正方形的性质和翻折的性质得到，，再在中，根据勾股定理求出长，然后根据正切的定义得到解题即可． 【规范解答】解：∵是正方形，， ∴，， 又∵点E是边的中点， ∴， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：. 4．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查解直角三角形，根据题意可得为等腰三角形，因此作于C点，然后利用三角形函数表示，根据“三线合一”的性质即可得到的长度，从而得出结论． 【规范解答】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点， 则由“三线合一”知，，， ∴在中，米， ∴米， 故选：D． 5．（2024·广东深圳·中考真题）某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查菱形的性质，解直角三角形的应用，连接，相交于O，首先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可． 【规范解答】解：连接，相交于O， 所以 所以 所以， 所以校门关闭时，伸缩门的宽度为． 因为校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为， 所以， 所以校门部分打开时，伸缩门的宽度为， 所以校门打开了． 故选C． 基础夯实 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【思路点拨】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【规范解答】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 2．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．根据底部是边长为的正方形求出的长，再由锐角三角函数的定义求出的长即可． 【规范解答】解：如图， ∵底部是边长为的正方形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（2025·吉林长春·三模）伊通河作为长春市的“母亲河”全长约公里．某数学兴趣小组为测量伊通河某段河道的宽度，利用无人机在岸边点处垂直上升60米到达点处悬停，测得河对岸点的俯角为，则此处的河道宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意得到，，米，根据正切的定义即可求出答案． 【规范解答】解：由题意可知，在中，，，米， ∴ 故选：C 4．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得水平距离，再根据铅垂距离水平距离求解即可． 【规范解答】解：在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，向左走米到处再测得点仰角为，且、、三点在同一直线上，则新教学楼的高度是 米．(结果保留到整数，参考数据： ， ， ） 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：米，，设米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 【答案】 【思路点拨】先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键． 【规范解答】解：在中，，， ，， （）． 在中，， （）． 故答案为： ． 7．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期末）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为 海里． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 过点A作，根据方位角及三角函数即可求解． 【规范解答】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 8．（2025·安徽·模拟预测）已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 【答案】47厘米；453厘米 【思路点拨】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 连接，根据正切函数求解即可确定，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F，得出，确定结合图形求解即可． 【规范解答】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∴挡光板的宽度至少应是厘米； 由C进入的太阳光照进室内最远， 如图，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内厘米． 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点、处，选取河对岸的一块石头作为测量点（点在同一水平面内），小明同学在点处测得为，小军同学在点处测得为，两人之间的距离为60米，求此河流的宽度．（参考数据：） 【答案】此河流的宽度为米 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，解表示出，再解求出，即可求解． 【规范解答】解：过点作于点， 设，则由题意得， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此河流的宽度为米． 10．（2025·山西运城·一模）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图1是位于山西大同的应县木塔．如图2，小方站在点C处操纵无人机到与C水平距离为10米的D处，无人机在D处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点B的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为60米，点A，B，C，D在同一平面上，求应县木塔的高度．（参考数据，，，） 【答案】应县木塔的高度为米 【思路点拨】过点D作于点E，交的延长线于点F．根据仰角，俯角计算即可． 本题考查了仰角，俯角的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点D作于点E，交的延长线于点F． 根据题意得四边形是矩形，． 在中，， ∵， ∴（米）， ∵， ∴，， ∴（米）， ∴（米）． 答：应县木塔的高度为米． 培优拔高 11．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，矩形台球桌，其中A、B、C、D处有球洞，已知，球从E点出发，与夹角为α，经过三次反弹后回到E点，则关于的说法下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．根据球的运动轨迹易证四边形是平行四边形，，，推出，由，再根据正切的定义即可得到的值． 【规范解答】解：如图， 设G、H分别是球反弹到边上的位置，连接， ∵， ∵球从E点出发，与夹角为，经过三次反弹后回到E点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得； ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ，， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴在中，． 故选：C． 12．（2025·湖南长沙·三模）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． 利用锐角三角函数进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得， ， ∴， 故选：B． 13．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 14．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知某校博学楼层高5米，弘毅楼层高16米，此刻明明在距离博学楼不远的操场上，估计他自己的身高为米，此刻测得他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为．若楼宽忽略不计，则两栋教学楼之间相距 米．（保留根号） 【答案】 【思路点拨】过点C作，交于点F，根据题意得出四边形为矩形，，确定米，米，再由特殊角的三角函数求解即可． 题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 【规范解答】解：过点C作，交于点F， ∴， ∴四边形为矩形， ∵自己的身高为米， ∴， ∵博学楼层高5米，弘毅楼层高16米， ∴米，米， ∵他看博学楼顶部的仰角为，一无人机在弘毅楼顶部观察他的俯角为， ∴， ∴，， ∴米， 故答案为：． 15．（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】 【思路点拨】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及勾股定理．延长交于点D，由题意可知：，，米，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的长度． 【规范解答】解：延长交于点D， 由题意可知：，，米， 设，则， ， 米， ∴由勾股定理可知：米， ， 米， 米． 则二楼的层高米． 故答案为：． 16．（2024·湖南·模拟预测）洪江市深入贯彻落实习近平总书记关于“三农”工作重要论述，推进农村人居环境升级；按照湖南省委、省政府“千万工程”部署，积极促进农村人居环境整治与乡村旅游深度融合，推动“美丽乡村”向“美丽经济”转变．如图是某地对A地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点C作于D，解可得的长度，解可得的长，据此可得的长度． 【规范解答】解：如图所示，过点C作于D， ∴， 在中，千米，， ∴千米，千米， 在中，千米， ∴千米， 故答案为：． 17．（2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【规范解答】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 18．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 【答案】(1)①；②光斑E到水平地面的距离为． (2)投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【思路点拨】（1）①如图①，延长交水平地面于点K，则，通过三角函数即可得到与水平地面的夹角约为；②如图①，连接并延长交于点，先证明四边形是矩形，可求出、的长度，然后证明，通过相似三角形的性质可求出的长度，最后根据线段的和差关系即可求出光斑到水平地面的距离； （2）平移、调整投影仪前，平移、调整投影仪后，过点A作于点M，过点F作于点N，根据的正切值可求出其度数，即可判断投影仪与水平地面的夹角的改变． 【规范解答】（1）解：①如图①，延长交水平地面于点K，则， ， ， 与水平地面的夹角约为． ②如图①，连接并延长交于点． 由题意可知，， ，四边形是矩形， ， ． 由题意可知，， ， ，即， ． ， 光斑E到水平地面的距离为． （2）解：平移、调整投影仪前，如图①． 在中，， ． 平移、调整投影仪后，如图②，过点作于点，过点作于点，则． 易知四边形是矩形，． ， ， ． ， 投影仪与水平地面的夹角减小了约． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图①所示的是某校安装的红外摄像机，图②为其抽象示意图．四边形中，，，在直线与水平地面所成的角为，． (1)求的长； (2)若点C离地面，求点A到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质及三角函数的实际应用，熟练运用其性质是解决问题的关键． （1）通过作辅助线，构造直角三角形，利用平行线的性质和三角形内角和求出角度，再结合矩形的性质求解的长； （2）通过作辅助线，将点到地面的距离转化为几个线段长度之和，利用三角函数求解各线段长度，进而得出结果． 【规范解答】（1）解：如图，过点C作，垂足为E． ， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． （2）解：如图，过点B作垂直于点C所在的水平线于点G，过点A作垂直于点B所在的水平线于点F， 则 ． 所在直线与水平地面所成的角为， ， ， ． 点C离地面， ∴点A到地面的距离为． 20．（2024九年级下·广东·专题练习）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得，用高的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为，在B处测得仰角为，求该建筑物的高． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等角对等边，三角形外角的性质，设直线与直线交于G，根据矩形的性质与判定定理可得的长，再证明得到，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示，设直线与直线交于G， 由题意可得：四边形，四边形，四边形均为矩形，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：该建筑物的高为． 学科网（北京）股份有限公司 $