专题1.4 解直角三角形（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题）-2025-2026学年北师大版数学九年级下册同步培优讲义

专题1.4 解直角三角形 【知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题】 （解析版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：解直角三角形 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解直角三角形的相关计算 3 考点2：解非直角三角形 10 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 13 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 31 基础夯实 31 培优拔高 39 知识点梳理01：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 【易错点拨】 　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【易错点拨】 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 考点1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【变式训练1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，四边形的面积是菱形面积的，理由见解析 (3)当时， 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据菱形的性质，勾股定理求得的长，根据题意得出，根据，可得，当时，四边形是平行四边形，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）过点作于点，根据题意可得四边形是梯形，，进而表示出，根据四边形的面积是菱形面积的建立方程，解方程，得出的值，结合题目条件，即可求解； （3）当时得出，根据得出方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵菱形中，对角线、相交于点，，， ∴，，， 在中，， 依题意，， ∴， ∵， ∴， ∴ 当时，四边形是平行四边形 ∴ 解得： （2）解：存在时，四边形的面积是菱形面积的，理由如下， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又， 则， ∴． ∵， ∴四边形是梯形，， ∴，即． ∵四边形的面积是菱形面积的． ∴． ∴． 解得：或． ∵． ∴存在时，使得四边形的面积是菱形面积的． （3）当时， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又， 则， 解得：． ∴当时，． 【变式训练2】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P． (1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E． ①求证：； ②的长为 ．（直接写出答案） (2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长． 【答案】(1)①见解析；②； (2)7或7 【思路点拨】（1）①延长、交于点，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，易得点为中点，再结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可得，可推导，进而推导，即可证明；②设，则，，，在中，由勾股定理可解得，即可获得答案； （2）分两种情况讨论：①当点在线段上时，如下图，过点作，交于点，交于点，易知四边形为矩形，设，，则，，证明，由相似三角形的性质可求得；再证明，由三角函数可得，进而可知，由，同理可得，故，即有，进而可知，即可求得，，，结合可求得；②当点在延长线上时，同理可得，即可获得答案． 【规范解答】（1）①证明：延长、交于点，如下图， ∵点为边中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：设， 由①可知，，， ∴，，， ∴在中，可有， ∴，解得， ∴ 故答案为：； （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如下图，过点作，交于点，交于点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由，同理可得， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在延长线上时，如下图， 同理可得． 综上所述，的长为或． 考点2：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【规范解答】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【规范解答】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式训练2】（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【规范解答】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又 ， ， 故答案为：． 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（2023·吉林·一模）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以的速度沿线段向终点A运动，当点P不与点B重合时，将线段绕点P旋转得到线段，使，点M始终在的下方，过点M作于点N，设点P的运动时间为，与重叠部分的图形面积为．    (1)当点M落在线段上时，x的值为 ； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出在整个运动过程中，点M运动的路程． 【答案】(1)1 (2)当时，；当时，；当时， (3) 【思路点拨】（1）根据题意，M落在线段，得，可得，即可求得x的值； （2）因为，动点P从点B出发，以的速度沿线段向终点A运动，所以，依次分类讨论根据题意列式y关于x的函数关系式并进行化简即可； （3）在整个运动过程中，点M运动的路程作出图形并列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵线段绕点P旋转得到线段， ∴，， ∵，且点M落在线段上， ∴，可得， ∴，解得：， 故答案为：1； （2）解：因为，动点P从点B出发，以的速度沿线段向终点A运动，所以， 当时，如图①， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，则， ∴， 则； 当时，如图②， ∵，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 则在中，， ∴，， 则， ∴； 当时，如图③， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； 综上所述：当时，；当时，；当时，．    （3）解：如④图所示：即为整个运动过程中，点M运动的路程， 此时P与A重合，过P作于E，    则， ∵，， ∴， ∴，， 则． 【变式训练1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【规范解答】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 【答案】 2 【思路点拨】①过点O作，垂足为H，根据题意可得，利用平行四边形的性质可得，然后在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，在中，用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出、的长，进行计算即可求出的长；②根据题意可得点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接OQ，根据轴对称的性质可得，，，从而可得 ，，进而求出，然后利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得，最后设，则，，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：①过点O作，垂足为H， 由题意得： ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q落在上时，则， ②∵， ∴点Q的轨迹为：以点A为圆心，长为半径的圆弧上， 当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接，过点Q作，垂足为G，连接， ∵点B关于直线AP的对称点为Q， ∴，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为2． 故答案为：；2 1．（2024·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是斜边上的高，将沿直线翻折得到，翻折后和在同一平面内，延长，交于点F．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接交于点T，作于点P，由翻折得垂直平分，则，，由，得，由，且，求得，，由于点D，得，由，得，则，由勾股定理得，求得，因为，所以，代值计算即可得答案． 【规范解答】解：连接交于点T，作于点P，则， ∵将沿直线翻折得到， ∴点E与点D关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是斜边上的高， ∴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（2024·上海徐汇·中考真题）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】先根据旋转以及矩形的性质求出，然后由勾股定理求出，解，求出，由旋转可知：，，则，那么，然后由角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求函数解析式即可． 【规范解答】解：过点作轴于点，连接， 四边形是矩形， ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，， ， 的对应点恰好落在对角线的中点， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转可知：，， ， 又轴， ， ， 在中，，， ， ， 反比例函数经过点， ． 故答案为：． 3．（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质以及解直角三角形．利用的正弦值得到的长，的正切值得到菱形对角线的一半的长是解决本题的难点．当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，即可得到的长，易得，则，当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，进而可得的长，则可得的长，根据的正切值可得和的长，则可菱形对角线的长，那么可得菱形的面积． 【规范解答】解：当时，，，如图： 作于点，则， ， ， ， 解得：， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 当时，点在上，运动的路程长，，如图： 作于点，则， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 设为 ，则， ， 解得：， ， ，， ，， 菱形的面积为， 故选：B． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．由矩形的性质可得、，再根据折叠的性质可得、，即，；由勾股定理可得 ，易证可得，最后根据正切的定义求解即可． 【规范解答】解：矩形中，， ∴、， ∵将沿折叠到的位置， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 在，和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）如图1，四边形中，，，且四边形的周长为48．O是上一点，．动点P从点O出发，沿折线运动到顶点D停止，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的长； (2)如图2，当点P在折线上运动的过程中，当点Q到的距离时，求此时点P在折线上运动的路径长； (3)连接，当点P在折线上运动过程中，时，求的长． 【答案】(1)10 (2)点P在上时，点P在折线上运动的路径长；点P在上时，点P在折线上运动的路径长 (3)点P在上时，；点P在上时， 【思路点拨】（1）先根据，得出，结合，证明四边形是平行四边形，根据已知条件即可求解； （2）当点P在折线上运动的过程中，当点Q到的距离时，分两种情况： ①点P在上时，作于，延长，交于，证明四边形是矩形，结合，求得，根据勾股定理求得，进而可得点P在折线上运动的路径长； ②点P在上时，作于，交于，作于，证明，得，进而可得，结合，求得，即可求得点P在折线上运动的路径长； （3）当点P在折线上运动过程中，时，分两种情况： ①点P在上时，根据，求得，进而证明点在直线上，根据，由勾股定理得求得； ②点P在上时，作，与的延长线交于点，作于，证明三点在同一直线上，由勾股定理求得，得，设，则，根据，得，进而得，根据，， 得 ，解方程求得，进而可求得，，，由勾股定理可求得． 【规范解答】（1）解：四边形中，， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ∵四边形的周长为48， 即， ； （2）解：当点P在折线上运动的过程中，当点Q到的距离时，分两种情况： ①点P在上时，如图， 作于，延长，交于， 由题意，将线段绕点O顺时针旋转得到线段， 即，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ∵， 即， ， 中，， ， ， ， 即点P在折线上运动的路径长； ②点P在上时，如图， 作于，交于，作于， ， ， ， ， ， ， ， 同①可得，，， ， ， ，， ， ， ， ， 点P在折线上运动的路径长； 综上所述，点P在折线上运动的路径长为5或13； （3）解：，， ， 当点P在折线上运动过程中，时，分两种情况： ①点P在上时，如图， ，即， ， ， ， ， 点在直线上， 如图， 由前题可得， ， ； ②点P在上时，如图， 作，与的延长线交于点，作于， ，， ， 此时三点在同一直线上， ，， ， ， 同上可得， 中，， ， 设，则， 中，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，当点P在折线上运动过程中，时，的长为或． 基础夯实 1．（2025·四川内江·一模）如图，已知在中，，过点C作于，过点作于D2，过点作于，过点作于，…按此方法得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解直角三角形，图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由，，，，可得，由，可得，由，，，可得，由，可得，由题意知，，，则，，，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【规范解答】解：由题意知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴，， ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：C． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，将直角边绕点C逆时针旋转至，连接，且A、B、D三点共线，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，先结合将直角边绕点C逆时针旋转至，得，根据，把数值代入进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵将直角边绕点C逆时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 故选：D． 3．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【思路点拨】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【规范解答】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）顺次连接正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形面积的比值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，求出两正六边形的边长的比是解题的关键． 根据正六边形的性质，求出原正六边形的边长与新正六边形的边长的关系，然后根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方进行求解即可． 【规范解答】解：如图所示，为等边三角形， 设原正六边形的边长为a，则，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴新正六边形的边长为， ∴新正六边形面积与原六边形面积的比值为， 故答案为：． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，尺规作图作线段的垂直平分线，解直角三角形，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由，，可得出,可知垂直平分，在中，解直角三角形即可求出． 【规范解答】解：，， ， 由作法得垂直平分， 在中， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交，于点D，E．若，，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，解直角三角形求出，，设，利用勾股定理构建方程求解． 【规范解答】解：如图，连接． 在中，，，， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 7．（2025·宁夏吴忠·三模）如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了正方形的性质，平移的性质，解直角三角形．由平移的性质求得，作于点，解直角三角形求得即可． 【规范解答】解：设边的中点为， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时， ∴平移的距离为， ∴， 作于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）（1）计算：； （2）在中，，解这个直角三角形． 【答案】（1）2；（2） 【思路点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算及解直角三角形， （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）先求出，再根据三角函数值求出角度即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：在中，， ∴ ∴，， ∴． 9．（2025·广东广州·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，点为所作； （2）解：交于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， △△， ， 设，则， △△， ，即， 解得， ． 10．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路点拨】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 培优拔高 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】连接，根据三角函数可得，由旋转的性质可得，，进而可证是的垂直平分线，再证明，延长交x轴于点， 则是的垂直平分线，则点C与点重合，再根据三角函数即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， 点， ， ， 在中，， ， ， ， 将绕点A逆时针旋转得到， ，， ∴点D在上，且D是 的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 延长交x轴于点， 则是的垂直平分线， ， 点C与点重合， ， ， ， 当时，点C的坐标为． 故选：． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点O是对角线，的交点，点E在上，且，过点C作，垂足为F，连接，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解三角形，勾股定理，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据直角所对的弦是直径可知：点、在以为直径的圆上，再根据圆周角定理和正方形的性质，可得，故结论①正确；证明，可得，由可得，再解三角形可得，故结论③正确，进而求出，，即，由此可得，故结论②正确，解三角形求出，可得，故结论④正确． 【规范解答】（1）解：以为直径作圆，过点作于点，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴点、在以为直径的圆上， 又∵， ∴，故结论①正确； ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵，， ∴； ∵四边形是正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ∴ ∵，， ∴，故结论②正确， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴，故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②③④， 故选：C． 13．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了坐标与平移，点的平移，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，再根据菱形的性质以及解直角三角形求出，然后再根据点的平移方式求解即可． 【规范解答】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，两点的坐标分别为，， ∴点向右平移3个单位，向下平移到点， ∴点向右平移3个单位，向下平移得到， 故选：C． 14．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，中，，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角函数. 证出是等腰直角三角形，得出，证出，由题意得出，解得，即可得出答案． 【规范解答】解：，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：． 15．（2024·山东·二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是 ．    【答案】 【思路点拨】如图，以为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，以为圆心，为半径作 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个， 即把绕点O顺时针旋转i个， 旋转后的对应点依次记为， 周角 绕点O顺时针旋转次回到原位置， 与重合， 连接 正六边形， ∴ 由正六边形的对称性可知： 由图可知：关于原点成中心对称， ∴ 故答案为：．    16．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【规范解答】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 ．    【答案】/0.5 【思路点拨】在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，利用等边三角形性质证明出，得出当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动，再证明，得出，利用解直角三角形求出，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图所示，在的右侧作等边三角形，连接，与交于点H，    又是等边三角形， ， ， ， ， 当点E运动时，点F在过点G且与垂直的垂线上运动， 当时，最短，此时， ， ， ， 又中，， ， ， ，即， 线段长度的最小值为． 故答案为：． 18．（2024·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等的线段和垂线，利用线段中点的性质得出相等的线段，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形即可得出结论； （2）令，则，根据条件证明，得出，然后利用锐角三角函数得出，再利用菱形的性质和锐角三角函数求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，令，则， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（负值已舍去） ∴， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∴． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路点拨】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图：中，，为上一点且，，，求的长． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解直角三角形．先求得，在中，利用正切函数求得，再在中，求得，根据，列式计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 解直角三角形 【知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共34题】 （原卷版） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：解直角三角形 1 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：解直角三角形的相关计算 3 考点2：解非直角三角形 4 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 5 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 8 基础夯实 8 培优拔高 10 知识点梳理01：解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 【易错点拨】 　(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值. 　(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). 　(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 知识点梳理02：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【易错点拨】 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边. 考点1：解直角三角形的相关计算 【典例精讲】（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为；动点从点出发沿方向匀速运动，速度为．连接交于点，过点作，交于，在运动过程中始终保持与平行，若点和点同时出发．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，四边形是平行四边形． (2)是否存在某一时刻，使得四边形的面积是菱形面积的．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，，点M是射线的一个动点，连接，过作于点P． (1)如图①．当点M为边中点时，连接并延长交于点E． ①求证：； ②的长为 ．（直接写出答案） (2)如图②，点Q在边上，且，当时，求的长． 考点2：解非直角三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式训练2】（2024·四川资阳·中考真题）在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是 ． 考点3：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【典例精讲】（2023·吉林·一模）如图，在中，，，，动点P从点B出发，以的速度沿线段向终点A运动，当点P不与点B重合时，将线段绕点P旋转得到线段，使，点M始终在的下方，过点M作于点N，设点P的运动时间为，与重叠部分的图形面积为．    (1)当点M落在线段上时，x的值为 ； (2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)直接写出在整个运动过程中，点M运动的路程． 【变式训练1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，与交于点O，，，．点P从B点出发沿着方向运动，到达点O停止运动．连接，点B关于直线的对称点为Q．当点Q落在上时，则= ，在运动过程中，点Q到直线的距离的最大值为 ． 1．（2024·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，是斜边上的高，将沿直线翻折得到，翻折后和在同一平面内，延长，交于点F．若，，则的长为 ． 2．（2024·上海徐汇·中考真题）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为 ． 3．（2024·辽宁沈阳·中考真题）如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）如图1，四边形中，，，且四边形的周长为48．O是上一点，．动点P从点O出发，沿折线运动到顶点D停止，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的长； (2)如图2，当点P在折线上运动的过程中，当点Q到的距离时，求此时点P在折线上运动的路径长； (3)连接，当点P在折线上运动过程中，时，求的长． 基础夯实 1．（2025·四川内江·一模）如图，已知在中，，过点C作于，过点作于D2，过点作于，过点作于，…按此方法得到的的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，将直角边绕点C逆时针旋转至，连接，且A、B、D三点共线，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．2 3．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）顺次连接正六边形各边中点得到的六边形面积与原六边形面积的比值为 ． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E，若，则的长为 ． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交，于点D，E．若，，则线段的长为 ． 7．（2025·宁夏吴忠·三模）如图， 在正方形中，， 点P在上，， 将沿方向平移， 当点P位于边的中点处时，点A 的对应点到的距离为 ． 8．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）（1）计算：； （2）在中，，解这个直角三角形． 9．（2025·广东广州·三模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 10．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 培优拔高 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，C 是x轴正半轴上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 12．（2024·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为6，点O是对角线，的交点，点E在上，且，过点C作，垂足为F，连接，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 13．（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，中，，，，，则 ． 15．（2024·山东·二模）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是 ．    16．（2025·山东淄博·中考真题）已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为 ． 17．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E在线段上运动（不含B．C两点），连接，以为一边在的右上方作等边三角形，连接，则线段长度的最小值为 ．    18．（2024·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 20．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图：中，，为上一点且，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $