专项突破08 多边形和圆的初步认识（期末复习讲义-知识回顾+7个重难点培优题型+真题演练 共36题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册精讲练

专项突破08 多边形和圆的初步认识 （知识回顾+7个重难点培优题型+真题演练 共36题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：多边形 1 知识点梳理02：多边形的对角线 2 知识点梳理03：圆及扇形 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 多边形截角后的边数问题 3 题型2 多边形的周长 5 题型3 网格中多边形面积比较 6 题型4 多边形对角线的条数问题 8 题型5 对角线分成的三角形个数问题 11 题型6 圆的周长和面积问题 12 题型7 圆心角概念辨析及简单运算 14 期末真题 实战演练 16 知识点梳理01：多边形 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形. 【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. （2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. （4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质. 知识点梳理02：多边形的对角线 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 图示 顶点 3 4 5 6 n 从一个顶点出发的对角线的条数 0 1 2 3 n-3 对角线的总条数 0 2 5 9 分割成三角形的个数 0 2 3 4 n-3 知识点梳理03：圆及扇形 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. 　②圆是一条封闭曲线. 2.与圆有关的计算：圆的周长公式：；圆的面积公式：. 3.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 注意：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角. 题型1 多边形截角后的边数问题 【精讲】（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【思路引导】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【规范解答】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【考点剖析】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 【变式1】（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【思路引导】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【规范解答】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【考点剖析】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【思路引导】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【规范解答】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【考点剖析】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 题型2 多边形的周长 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【答案】 【思路引导】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【规范解答】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【思路引导】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【规范解答】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ． 【答案】4 【思路引导】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，进而可求解． 【规范解答】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC． ∵AD+AE＝2， ∴BD+CE+BC＝2． ∴C△ABC＝AB+AC+BC ＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC ＝（AD+AE）+（BD+CD+BC） ＝2+2 ＝4． 故答案为：4． 【考点剖析】本题考查了三角形的周长，解题的关键是正确理解题干中直线DE将△ABC分成等周长的两部分． 题型3 网格中多边形面积比较 【精讲】（23-24九年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【思路引导】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【规范解答】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【变式1】（2021·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【思路引导】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【规范解答】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【考点剖析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·贵州黔东南·月考）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【规范解答】解：由图形可知，， ． 题型4 多边形对角线的条数问题 【精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．的系数是 C．一个五边形共有3条对角线 D．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数、系数、多边形对角线和圆弧的概念，逐项判断每个选项的正确性； 【规范解答】解：∵ 有理数包括正数、负数和零，零既不是正数也不是负数， ∴ A错误； ∵ 单项式的系数是，而不是， ∴ B错误； ∵ 五边形的对角线数量公式为，当时，对角线数量为，不是3， ∴ C错误； ∵ 圆上任意两点间的部分称为圆弧， ∴ D正确； 故选：D 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【规范解答】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【规范解答】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 题型5 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】（25-26八年级上·青海西宁·期中）将一个六边形进行三角剖分可以剖成 个三角形． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，多边形三角剖分后三角形的个数与边数有关．根据n边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数为解答即可． 【规范解答】解：对于一个n边形，进行三角剖分后，得到的三角形个数为． 六边形的边数， 因此三角剖分后得到的三角形个数为． 故答案为：4． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【思路引导】本题考查了多边形的对角线问题． 过n边形一个顶点的所有对角线将n边形分成个三角形，根据题意分成6个三角形，因此，解得． 【规范解答】解：从n边形一个顶点出发的对角线将n边形分成个三角形， ∵分成了6个三角形， ∴， ∴， 因此，这个n边形是八边形． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【思路引导】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键， 根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 故选：C． 题型6 圆的周长和面积问题 【精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 【答案】(1) (2)符合规定，理由见解析 【思路引导】本题考查了代数式运算与几何图形面积的计算，解题的关键是通过总面积减去水池、休息区的面积得到绿地面积；通过比较绿地面积与总面积的一半判断是否符合规定． （1）先求长方形广场总面积，再求正方形水池面积与四个四分之一圆组成的整圆面积，用总面积减去这两部分得绿地面积； （2）计算总面积的一半，比较绿地面积与该值的大小． 【规范解答】（1）解：长方形总面积：； 水池面积：； 四个圆形休息区面积和：； 绿地面积：． （2）解：总面积的一半：； 绿地面积； 因，故符合规定． 答：（1）绿地面积为； （2）这个设计图符合规定． 【变式1】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了扇形面积的计算，解决此题的关键是正确的计算；根据图形的规则先设空白部分的面积，再根据扇形的面积公式得到答案即可； 【规范解答】解：如图，两空白的面积相等， 设每一空白部分面积为，圆的半径为r， ∵扇形的圆心角为， ∴扇形的面积为：，半圆的面积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求圆的面积，根据：，可先求出圆的半径，进而求出圆的面积即是长方形的面积，圆的面积×就是阴影部分的面积，再分别算出圆面积和阴影部分的面积，再求出它们的比． 【规范解答】解：半径：（厘米) 圆面积为（平方厘米） 阴影部分的面积为 （平方厘米) 则． 故答案为： 题型7 圆心角概念辨析及简单运算 【精讲】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【思路引导】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【规范解答】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 【变式1】（22-23七年级上·四川达州·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．顶点在圆心的角叫做圆心角 B．等于 C．各边相等的多边形叫做正多边形 D．在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和． 【答案】C 【思路引导】分别利用圆心角的定义以及正多边形的定义和角度的换算、数轴上的点的特征，分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、顶点在圆心上的角叫圆心角，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，故不正确，符合题意； D、在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和，正确，不符合题意． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了正多边形的定义和圆周角定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 【变式2】（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 【答案】 【思路引导】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小． 【规范解答】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作， 当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径， 圆心角所对的弧长比半径大， ， 故答案是：． 【考点剖析】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断． 1．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）下列说法①线段，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点之间的距离；③用度、分、秒表示为；④过八边形的一个顶点可作5条对角线．正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查线段中点、两点间距离的定义、角度换算及多边形对角线的计算，根据这些知识进行判断即可． 【规范解答】解：①线段，但未说明C在线段上，若C不在上则不是中点，故①错误． ②两点间距离是线段的长度而非线段本身，故②错误． ③，，故，故③正确． ④八边形一个顶点的对角线数为（条），故④正确． 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】D 【思路引导】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【规范解答】解：①直径是弦，说法正确； ②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误； ③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误． 综上，正确的只是①， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【思路引导】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【规范解答】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【思路引导】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 【规范解答】解：由题可得． 故选D． 5．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（    ） A．正六边形和正三角形 B．正六边形和正方形 C．正八边形和正五边形 D．正十二边形和正五边形 【答案】A 【思路引导】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【规范解答】解：A、正六边形和正三角形内角分别为、，由，能构成周角，故能铺满，符合题意； B、正六边形和正方形内角分别为、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意； C、正八边形和正五边形内角分别为、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意； D、正十二边形正五边形内角分别为、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意． 故选：A． 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多边形的外角和定理，首先利用多边形的每一个外角的度数求得多边形的边数，再求出此多边形的对角线的条数即可，解题的关键是熟悉边形对角线的条数的规律． 【规范解答】解：由题意得：， ∴对角线总条数为（条）， 故选：． 7．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2个三角形，图②中的四边形可分割出3个三角形，图③中的五边形可分割出4个三角形，……．以此类推，n边形可分割出 个三角形． 【答案】 【思路引导】通过观察三角形、四边形、五边形分割成三角形的个数，分析多边形的边数与分割出的三角形个数之间的数量关系，进而归纳出一般规律． 【规范解答】解：观察图形可知： 当多边形为三角形时，可分割出个三角形，此时； 当多边形为四边形时，可分割出个三角形，此时； 当多边形为五边形时，可分割出个三角形，此时； 以此类推，对于边形，分割出的三角形个数为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了图形的规律探索，解题关键是通过观察特殊多边形的分割结果，归纳出边形的一般规律． 8．（23-24七年级上·山西运城·期末）从多边形的一个顶点出发的对角线，把这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形的对角线分成的三角形的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【规范解答】解：设多边形有n条边， 则， 解得：． 所以这个多边形的边数是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 【答案】十二 【思路引导】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从一个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点可以引出条对角线即可求解． 【规范解答】解：∵从多边形的一个顶点可以引出九条对角线， ∴，则这个多边形是十二边形， 故答案为：十二． 10．（21-22七年级上·江苏连云港·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    【答案】/ 【思路引导】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积以为小三角形的面积的2倍，即可求解． 【规范解答】∵图2是由边长为的正方形分割制作的七巧板拼摆成的， ∴大正方形面积， 由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和，即 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了七巧板，正方形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系是解题的关键． 11．（22-23九年级下·江西鹰潭·阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    【答案】 【思路引导】利用七巧板的各边之间的关系即可求出，，，的长，观察图形即可求出阴影部分面积． 【规范解答】由图可知“小狐狸”图案中阴影部分面积为图形①②③④的面积和，    ∵正方形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】此题考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各边的关系是解题的关键． 12．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和 个正方形． 【答案】 【思路引导】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为如果设用个正三角形，个正四边形，则有，求出此方程的正整数解即可． 【规范解答】解：设用个正三角形，个正四边形能进行平面镶嵌． 由题意，有， 解得， 当时，． 故在它的每个顶点周围，有个正三角形和个正方形． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平面镶嵌密铺几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 13．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【规范解答】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 14．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n 从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 … ________ 多边形对角线 的总条数 2 5 9 14 20 … ________ (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整； (2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ (3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现． 【答案】(1)n－3，n(n－3)；(2) 135个；(3) 每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点. 【思路引导】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论； （2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量； （3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n-3）个电话，据此进行判断． 【规范解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为n（n-3）； 故答案为n-3，n（n-3）； （2）∵3×6=18， ∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18-3）=135（个）； (3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点； 每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n－3)个电话； 两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n(n－3)； 数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×(18－3)＝135. 【考点剖析】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数）． 15.（24-25七年级下·河南南阳·期末）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 【答案】[知识储备] 1．；2．；[任务一：寻找密铺] 1．；2．；[任务二：创作密铺] 1．，；2．，无；结论：“智慧小组”方案；[任务三：应用密铺]方案1：见解析；方案2：见解析 【思路引导】本题考查多边形的内角和、正多边形的性质、平面镶嵌、二（三）元一次方程的解，熟练掌握相关知识并灵活运用是解答的关键． [知识储备] 1．根据正多边形的性质及内角和公式求解即可；2．根据周角为可得答案； [任务一：寻找密铺] 1．根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可；2．根据五边形的内角和求解即可； [任务二：创作密铺]1．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而可得解为；2．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而分析方程无解；进而可得结论； [任务三：应用密铺]方案1：分正三角形和正方形、正三角形和正六边形讨论求解即可；方案2：根据镶嵌原理和三个正多边形的内角度数列方程讨论求解即可． 【规范解答】解：[知识储备] 1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． [任务一：寻找密铺] 1．A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； 故答案为：ABD； 2．∵五边形的内角和为，， ∴； [任务二：创作密铺] 由于正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程无正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：“智慧小组”方案； [任务三：应用密铺] 方案1：①设正三角形x个，正方形y个，则， ∵x、y为正整数， ∴， 故可由3个正三角形和2个正方形组合密铺，如图： ②设正三角形m个，正六边形n个，则， ∵m、n为正整数， ∴或， 故可由2个正三角形和2个正六边形组合密铺或4个正三角形和1个正六边形组合密铺； 方案二：设正三角形a个，正方形b个，正六边形c个，则， ∵a、b、c为正整数， ∴， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图： 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破08 多边形和圆的初步认识 （知识回顾+7个重难点培优题型+真题演练 共36题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：多边形 1 知识点梳理02：多边形的对角线 2 知识点梳理03：圆及扇形 2 重点难点 培优讲练 3 题型1 多边形截角后的边数问题 3 题型2 多边形的周长 3 题型3 网格中多边形面积比较 3 题型4 多边形对角线的条数问题 4 题型5 对角线分成的三角形个数问题 5 题型6 圆的周长和面积问题 6 题型7 圆心角概念辨析及简单运算 7 期末真题 实战演练 7 知识点梳理01：多边形 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形. 【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. （2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. （4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质. 知识点梳理02：多边形的对角线 名称 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 图示 顶点 3 4 5 6 n 从一个顶点出发的对角线的条数 0 1 2 3 n-3 对角线的总条数 0 2 5 9 分割成三角形的个数 0 2 3 4 n-3 知识点梳理03：圆及扇形 1. 圆的定义 如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. 　②圆是一条封闭曲线. 2.与圆有关的计算：圆的周长公式：；圆的面积公式：. 3.扇形 （1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图： （2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 注意：圆可以分割成若干个扇形. （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角. 题型1 多边形截角后的边数问题 【精讲】（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【变式1】（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 题型2 多边形的周长 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是 cm． 【变式1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式2】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为 ． 题型3 网格中多边形面积比较 【精讲】（23-24九年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【变式1】（2021·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为： （填“＞”“＝”或“＜”）， 【变式2】（24-25七年级上·贵州黔东南·月考）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型4 多边形对角线的条数问题 【精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．的系数是 C．一个五边形共有3条对角线 D．圆上任意两点间的部分叫做圆弧 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期中）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 题型5 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】（25-26八年级上·青海西宁·期中）将一个六边形进行三角剖分可以剖成 个三角形． 【变式1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）过边形一个顶点的所有对角线，把这个边形分成了6个三角形，则这个边形是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【变式2】（25-26八年级上·山西大同·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（    ） A．16 B．15 C．14 D．13 题型6 圆的周长和面积问题 【精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图是一个长为，宽为的长方形市民广场的设计图，其中，有一个边长为的正方形水池和四个半径为的圆形休息区，其余的地方都是绿地． (1)用代数式表示绿地的面积（结果保留）； (2)根据规定，市民广场的绿地面积要占市民广场总面积的一半以上，请通过计算说明这个设计图是否符合规定． 【变式1】（25-26七年级上·广东揭阳·期中）如图，、是表示两个曲边形的面积，那么M、N的大小关系是 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，周长为12.56厘米的圆的面积与长方形的面积相等，则阴影部分的面积与圆面积的比是 ． 题型7 圆心角概念辨析及简单运算 【精讲】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【变式1】（22-23七年级上·四川达州·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．顶点在圆心的角叫做圆心角 B．等于 C．各边相等的多边形叫做正多边形 D．在数轴上，与表示的点的距离为3的数有2和． 【变式2】（2021·湖南娄底·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是 ． 1．（24-25七年级上·山东枣庄·月考）下列说法①线段，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点之间的距离；③用度、分、秒表示为；④过八边形的一个顶点可作5条对角线．正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．① 3．（24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 5．（23-24七年级下·吉林长春·期末）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（    ） A．正六边形和正三角形 B．正六边形和正方形 C．正八边形和正五边形 D．正十二边形和正五边形 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若边形的每一个外角都是，则此边形的对角线总共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 7．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2个三角形，图②中的四边形可分割出3个三角形，图③中的五边形可分割出4个三角形，……．以此类推，n边形可分割出 个三角形． 8．（23-24七年级上·山西运城·期末）从多边形的一个顶点出发的对角线，把这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数是 ． 形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是 边形． 10．（21-22七年级上·江苏连云港·期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．    11．（22-23九年级下·江西鹰潭·阶段练习）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图所示的两幅图是由同一个七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如图）的边长为，若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为．则 ．    12．（21-22七年级下·湖南衡阳·期末）用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和 个正方形． 13．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 14．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数 4 5 6 7 8 … n 从一个顶点出发 的对角线的条数 1 2 3 4 5 … ________ 多边形对角线 的总条数 2 5 9 14 20 … ________ (1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整； (2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ (3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现． 15.（24-25七年级下·河南南阳·期末）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $