精品解析：浙江省义乌市春晗中学2025-2026学年上学期九年级第三次月考数学试题

2025学年秋季六校第三次学情检测九年级数学 一、选择题（每题3分，共10题） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 2. 已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解题的关键．根据圆内弦的性质，弦的长度不超过直径，直径为8，因此的长度不能大于8． 【详解】解：由题意知，该圆的直径为8，  圆中最长的弦为直径， ， 选项A中，故的长不可能为9，符合题意， 故选：A． 3. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 4. 若，且对应高线比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质，三角形中对应线段的比等于相似比，即可得到答案． 【详解】解：，且对应高线比为， 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：C． 5. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 6. 观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图表法求一元二次方程的近似根，解此类题目的关键在于找代数式的值最接近0的未知数的值．根据图表数据找出一元二次方程最接近0的未知数的值，即为最精确的近似解． 【详解】解：∵时，的值0.09最小， ∴一元二次方程的最精确的一个近似解是1.7． 故选：D． 7. 如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接并延长交于点D，根据得出，，再根据三角形外角定理可得，，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 故选：B． 8. 如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的各种判定方法；判定三角形相似的方法有两组相等的角的三角形相似，两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似，三边对应成比例的三角形相似，根据判定方法一一判断即可； 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 9. 二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法： ①；②当时，；③；④；⑤． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据开口方向、与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④；再根据抛物线与x轴有两个交点，运用根的判别式可判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故②错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的有两个交点， ∴方程有两个不等的实数根， ∴，即，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：D． 10. 如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A. 4S1 B. 6S2 C. 4S2+3S3 D. 3S1+4S3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，用m、k表示出EH、FM、FK，由FK+MK=FM求出k2值，由面积比等于相似比得出S2+S3=S1，进而由矩形面积等于2（S1+S2+S3）求解即可． 【详解】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，并且A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3， ∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2， ∴EH=EF+FH=m(1+ k2)， ∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)， 由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk=， ∴k4+ k2－1=0， 解得：或（舍去）， ∴S2= k2S1=S1，S3= k2S2= k4S1=， ∴S2+S3=S1， ∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元二次方程，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键． 二、填空题（每题3分，共6题） 11. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米． 【答案】16 【解析】 【分析】实际距离=图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【详解】解：根据题意，1.6÷=1600000厘米=16千米． 即实际距离是16千米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 12. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为______． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2． 故答案为：2． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 14. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为______． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．先求出的度数，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，的长为， ∴，， ∴的长为； 故答案为：50． 15. 如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何图形折叠的问题以及圆内接四边形的性质，解题的关键是翻折，点落在处，得出．由已知条件先求出，再利用圆内接四边形的性质即可求出的度数，分别得到和，相减即可． 【详解】解：如图所示，翻折，点落在处， ， ，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴，轴相交于三点，是函数的顶点，是第四象限内一动点，且，连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】易得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆中的一段弧，连接，取的中点，连接易得，从而可得，故，再由E、D点的坐标即可求解． 【详解】解：由二次函数可得： A(0，2)， B(2，0) ，C(4，0)，D(3，) ∴OA=OB 又∵ ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆中的一段弧，连接，取的中点，则E(1，0)，连接，如图， 在与中，OE=1，OM=2，OC=4， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴，即CM=2EM ∵ED= ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是取OB的中点E，得出与相似． 三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12） 17. 已知二次函数经过点和点，求二次函数的解析式和最值． 【答案】，最小值，无最大值 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．将A、B坐标代入二次函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解方程组得到b、c的值，从而得到二次函数的解析式．将二次函数的解析式配方，根据二次函数图象的性质可求其最值． 【详解】解：将，代入，得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵，， ∴当时，二次函数有最小值，无最大值． 18. 四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． （1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求随机事件发生的概率， （1）直接列举出第一次摸出所有可能的结果利用概率公式即可求解； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：第一次摸到的球可能的结果有1、2、3、4共四种结果， ∴第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 依题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上数字之和为偶数的结果有4种， ∴两次摸到的球上数字之和为偶数的概率为． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积． 【答案】（1） 即为所求，如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理逆定理，勾股定理以及扇形面积计算． （1）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可； （2）先根据小正方形的特点用勾股定理求出各个边长，根据各个边长用勾股逆定理证明为等腰直角三角形，进而求出的面积，再用旋转的性质知道，再求出扇形的面积，最后的面积加上扇形的面积即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为∶． 20. 如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，． （1）求的度数； （2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案； （2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）连结， 是的直径， ， （2），， ∴ ，，且是直径 ． 【点睛】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解． 21. 已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； （2）小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】（1）32 （2）每件T恤衫的销售价应该定为80元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价金额计算销售量的增加量，从而求得总销售量； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【小问1详解】 解：降价6元， 每天多卖12件， 每天的销售量为件， 故答案为：32； 【小问2详解】 解：设每件T恤衫降价元， 由题意可得：， 解得：或， 又∵尽可能让利于顾客， ， ∴每件T恤衫的销售价应该定为80元． 23. 图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入函数解析式，求得y的值，与10作比较即可得解． 【小问1详解】 解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 点的坐标为， ， 解得： 抛物线的表达式为 【小问2详解】 当 时，，即石块能飞越防御墙 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． （1）求证：； （2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，弦 ∴ ∴； （2） 是等腰三角形，理由如下： 如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即是等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论； （3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 由（2）可得，又 ∴垂直平分， ∴， 又∵是的直径，弦，则垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年秋季六校第三次学情检测九年级数学 一、选择题（每题3分，共10题） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是半径为4的圆内的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 3. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 若，且对应高线比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是（　　） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 A. 0.09 B. 1.1 C. 1.6 D. 1.7 7. 如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法： ①；②当时，；③；④；⑤． 其中结论正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　） A. 4S1 B. 6S2 C. 4S2+3S3 D. 3S1+4S3 二、填空题（每题3分，共6题） 11. 如果在比例尺为1：1000000的地图上，，两地的图上距离是1.6厘米，那么、两地的实际距离是__________千米． 12. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为______． 13. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 14. 扇面画是中国传统书画中一种独具特色的艺术样式，将扇子的实用功能与书画的观赏功能巧妙结合．如图所示，已知，，的长为，则的长为______． 15. 如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴，轴相交于三点，是函数的顶点，是第四象限内一动点，且，连接，则的最小值是______． 三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12） 17. 已知二次函数经过点和点，求二次函数的解析式和最值． 18. 四个完全相同的乒乓球，分别标有数字1、2、3、4，将它们放入一个不透明的盒子中．从盒子中随机摸出一个球，再从剩下的3个球中随机摸出一个球，记下数字后将两个球都放回． （1）第一次摸到的球上数字为奇数的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球上数字之和为偶数的概率． 19. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到，画出； （2）在（1）的运动过程中请计算出扫过的面积． 20. 如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，． （1）求的度数； （2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长． 21. 已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 22. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； （2）小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 23. 图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 24. 如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． （1）求证：； （2）连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $