1.1.2 空间向量基本定理（五大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量基本定理 题型一 空间向量基底概念及辨析 1．已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B 2．（多选）下列关于空间向量的说法，正确的有（   ） A．若空间向量，与任意空间向量都不能构成一组基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．若构成空间的一个基底，点D满足，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念判断A、D，根据向量垂直及共线的定义判断B，根据空间向量共面定理的推论判断C. 【详解】对于A：若向量，与任意空间向量都不能构成基底， 则只能这两个向量为共线向量，即，故A正确； 对于B：若非零向量，，满足，则，又，所以， 所以，即，所以，故B正确； 对于C：若是空间的一组基底，且， 又，所以，，，四点不共面，故C错误； 对于D：若、、共面，设， 即， 又是空间的一个基底，所以，方程组无解， 所以、、不共面，即也是空间的一个基底，故D正确. 故选：ABD. 3．已知为空间的一组基底，且，，若，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用共线向量基本定理得存在实数，使得，进而求解. 【详解】由题意有：存在实数，使得，所以， 所以， 故答案为：1. 4．已知为空间的一个基底，且，，，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面 (2)能， 【分析】（1）求出、、，假设、、、四点共面，则存在、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解方程组可得出结论； （2）若、、共面，则存在实数、，使，根据空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解方程组可得出结论；设，、、，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】（1）解：因为，，，， 则，， ，显然、不共线， 假设、、、四点共面，则存在、使得， 即， 所以，，该方程组无解， 假设不成立，故、、、四点不共面. （2）解：若、、共面，则存在实数、，使， 所以， 所以，，该方程组无解，所以，、、不共面， 所以，可以作为空间的一组基底， 设，、、， 即， 所以，，解得， 因此，. 题型二 用空间基底表示向量 5．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图像，可得答案. 【详解】由，则，由为的中点，则. 所以 . 故选：A. 6．（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】以为一组基底，对于A：根据空间向量的线性运算求解即可；对于B：根据，利用数量积的运算即可求解；对于C：先求，利用向量的夹角公式即可判断；对于D：先求，再利用数量积的运算求得即可判断. 【详解】由题意可知：，，， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以长为，故B正确； 对于选项C：因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于选项D：因为， 且， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 7．如图所示，在棱长均为1的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为 . 【答案】 【分析】利用图形关系和向量的线性运算得到，再由模长和数量积的运算律计算可得. 【详解】由图可得， 所以 . 故答案为：. 8．如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，； （2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可. 【详解】（1）已知，，， 得：，，． （2）设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 题型三 空间向量基本定理及其应用 9．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜坐标的定义直接计算可得. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为， 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体OABC的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量（其中，，是三个不共面的向量，），则称在基底下的坐标为．若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【分析】A选项，若为零向量，与不一定共线；B选项利用向量的运算法则进行化简；C选项利用四点共面公式即可进行判断；D选项设在基底下的坐标为，利用题目所给的概念，将用两种方式表示出来，利用系数相等解出. 【详解】对于A，若为零向量，则满足与共线，与共线，但是与不一定共线，故A错误； 对于B，由于为四面体的底面的重心，设为的中点，故， 所以，故，故B正确； 对于C，由于，故四点不共面，故C错误； 对于D，在单位正交基底下的坐标为，即， 设在基底下的坐标为， 则满足， 所以，解得，则在基底下的坐标为，故D正确. 故选：BD. 11．已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则 . 【答案】 【分析】可将、、当作空间中一组基底，从而可表示出向量、，再利用投影向量定义计算得到，最后利用模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则， 设，由在上的投影向量的模为， 则 ， 化简得，即， 整理得，即或， 又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 12．已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，，且，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 取的中点，则 . （2）因为是底面的中心，则， 因为是侧面对角线上靠近的四等分点， 所以， 则， 又，则， 所以. 题型四 空间向量的坐标表示 13．已知，，求=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用点坐标减去点坐标可得． 【详解】因为，，所以, 故选：D． 14．（多选）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示 【答案】BCD 【分析】根据直线方向向量的定义，空间向量基本定理，以及空间向量、空间点的坐标定义逐一判断可得. 【详解】当时，不能作为直线方向向量，A错误； 由确定直线的条件可知，B正确； 根据空间向量基本定理可知，C正确； 由空间向量的坐标定义和空间点的坐标定义可知，D正确. 故选：BCD 15．已知向量，若共面，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意，由空间向量共面列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 三个向量共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，所以，解得． 故答案为： 16．如图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且，求向量的坐标. 【答案】 【分析】方法一：根据空间向量的线性运算表示出，然后结合坐标轴正向的单位向量可求向量的坐标；方法二：先表示出坐标，然后根据中点求解出的坐标，结合的坐标可求结果. 【详解】设正方形的边长为a，∵，且PA，AD，AB两两互相垂直， 故可设， 以为坐标轴正向的单位向量，建立如图所示的空间直角坐标系. 方法一：∵ ， ∴. 方法二：∵， ∴N点的坐标为， ∵M点的坐标为， ∴. 题型五 用空间向量求点的坐标 17．如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，分析可得，利用空间向量的坐标运算可求得点的坐标. 【详解】由题意，点、， 是线段上的点，且，则， 设点，则，即，解得， 故点的坐标为. 故选：A. 18．（多选）向量，，其中O为坐标原点，点C为线段的中点，则点C的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】首先表示、点的坐标，再根据中点坐标公式计算可得； 【详解】解：因为向量，，其中O为坐标原点，所以，，所以的中点的坐标为 故答案为： 19．在正方体中，棱长是1，E，F分别是AB，BC的中点，H是的中点. （1）求证： 平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）建立直角坐标系，通过向量数量积得出向量垂直，所以线面垂直． （2）求出平面的法向量代入线面角的计算公式即可． 【详解】在正方体中，DA，DC，两两垂直，如图，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，， （1）又，，所以, 易得，. 故 所以, 又,所以平面. （2）由（1）知是平面的一个法向量. 又， 设直线与平面所成的角为， 故 所以直线与平面所成角的正弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量基本定理 题型一 空间向量基底概念及辨析 1．已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列关于空间向量的说法，正确的有（   ） A．若空间向量，与任意空间向量都不能构成一组基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．若构成空间的一个基底，点D满足，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 3．已知为空间的一组基底，且，，若，则实数 ． 4．已知为空间的一个基底，且，，，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由． 题型二 用空间基底表示向量 5．如图，在三棱锥中，，，，点在上，且，为中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 7．如图所示，在棱长均为1的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为 . 8．如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 题型三 空间向量基本定理及其应用 9．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若G是四面体OABC的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量（其中，，是三个不共面的向量，），则称在基底下的坐标为．若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 11．已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则 . 12．已知是平行六面体，、分别为棱和的中点． (1)化简，并在图中标出化简结果 (2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值． 题型四 空间向量的坐标表示 13．已知，，求=（ ） A． B． C． D． 14．（多选）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 B．空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定 C．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 D．在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示 15．已知向量，若共面，则 ． 16．如图所示，已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且，求向量的坐标. 题型五 用空间向量求点的坐标 17．如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 18．（多选）向量，，其中O为坐标原点，点C为线段的中点，则点C的坐标为 ． 19．在正方体中，棱长是1，E，F分别是AB，BC的中点，H是的中点. （1）求证： 平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $