1.1.2 空间向量基本定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.1.2　空间向量基本定理 基础过关练 题组一　共线向量基本定理 1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　　) A.A,B,D　　　　B.A,B,C C.B,C,D　　　　D.A,C,D 2.设空间向量e1,e2不共线,若ke1+e2与e1+ke2共线,则实数k的值为　　　　.  3.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,请判断是否共线. 题组二　共面向量定理 4.(多选题)已知空间向量a,b,c不共面,则下列各选项中的三个向量共面的有(　　) A.a-b,b-c,c-a B.a+b,b+c,c+a C.a+b,a+c,b-c D.a-2b+c,-a+3b+2c,-3a+7b 5.(多选题)已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,则能确定点M,A,B,C共面的是(　　) A. B. C. D. 6.已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=　　　　.  7.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=DD1. (1)求证:A,E,C1,F四点共面; (2)若,求x+y+z的值. 题组三　对空间向量基本定理的理解 8.(多选题)给出下列命题,其中正确的有(　　) A.空间任意三个向量都可以作为一组基底 B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,则a,b共线 C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等 D.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间向量的一组基底 9.若{a,b,c}是空间向量的一组基底,则下列能构成空间向量的另一组基底的是(　　) A.b+c,a+c,a-b B.a+b+c,a+b,a+c C.a-b+c,a-b,a+c D.2b-2c,a+b,a+c 题组四　空间向量基本定理的应用 10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量为(　　) A.a-b+c B.a-b-c C.a-b+c D.a-b+c 11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M是棱CC1的中点,连接B1M、BC1交于点P,则=(　　) A. B. C. D. 12.如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若(x,y,z∈R),则x+y+z的值为　　　　.  13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则=　　　　.  14.如图,在正四面体A-BCD中, M,N分别为棱BC,AB的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示向量,则夹角的余弦值为　　　　.  15.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,M为BD的中点,P为BB1的中点,设=a,=b,=c. (1)用向量a,b,c表示向量; (2)求线段PM的长度. 能力提升练 题组一　共面向量定理的应用 1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1, P,M为空间中任意两点,如果,那么点M在(　　) A.平面BAD1内　　　　B.平面BA1D内 C.平面BA1D1内　　　　D.平面AB1C1内 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足 ,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设,则x+y+3z=(　　) A.2　　　　B. 3.已知圆锥PO(P为圆锥顶点,O为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q满足,则||的最小值为　　　　.  4.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,,AC1与平面EFG交于点M,则=　　　　.  题组二　空间向量基本定理的应用 5.如图,在四面体B-ACD中,平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角形,AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点,N在侧面BCD上(包含边界),若(x,y,z∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若x=,则MN∥平面ACD B.若z=0,则MN⊥CD C.当|MN|最小时,x= D.当|MN|最大时,x=0 6.如图,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交棱PA,PB,PC于D,E,F三点,若,求证:为定值. 答案与分层梯度式解析 1.1.2　空间向量基本定理 基础过关练 1.A 4.ACD 5.ABD 8.BD 9.C 10.C 11.B 1.A　因为=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线. 2.答案　±1 解析　∵ke1+e2与e1+ke2共线,∴ke1+e2=t(e1+ke2)(t∈R),则(k-t)e1+ (1-tk)e2=0. ∵向量e1,e2不共线,∴k-t=0,1-tk=0,∴k=±1. 3.解析　共线.理由如下: 取AC的中点G,连接EG,FG, ∵E,F分别为AB,CD的中点, ∴, ∴),即共线. 4.ACD　对于A,因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面; 对于B,假设a+b,b+c,c+a共面,则存在λ,μ∈R,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c,所以无解,所以a+b, b+c,c+a不共面; 对于C,因为b-c=(a+b)-(a+c),所以a+b,a+c,b-c共面; 对于D,因为a-2b+c=(-a+3b+2c)-(-3a+7b),所以a-2b+c,-a+3b+2c, -3a+7b共面. 故选ACD. 5.ABD　空间四点A,B,C,M共面的充要条件是,其中O为空间中不与A,B,C,M重合的点,x+y+z=1.故选ABD. 6.答案　1 解析　因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)·e2+(m-2n)e3,即 7.解析　(1)证明:连接AC1,AC,则, ∴A,E,C1,F四点共面. (2)) = =-, ∴x=-1,y=1,z=. 8.BD　空间中共面的三个向量不能作为一组基底,故A错误;两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间向量的一组基底,说明a,b与任何一个向量都共面,故a∥b,故B正确;空间向量的基底不唯一,只要是不共面的三个向量都可以作为一组基底,故C错误;{a,b,c}是空间向量的一组基底,即a,b,c不共面,由m=a+c知m,a,c共面,故b与m,a不共面,则{a,b,m}是空间向量的一组基底,故D正确.故选BD. 9.C　因为b+c=(a+c)-(a-b),所以b+c,a+c,a-b共面,所以b+c,a+c,a-b不能构成空间向量的一组基底. 因为a+b+c=+b++c,所以a+b+c,+b,+c共面,所以a+b+c,+b,+c不能构成空间向量的一组基底. 假设存在实数m,n,使得a-b+c=m(a-b)+n(a+c)=(m+n)a-mb+nc,则无解,所以a-b+c,a-b,a+c不共面,所以{a-b+c,a-b,a+c}是空间向量的一组基底. 因为2b-2c=2[a+b-(a+c)],所以2b-2c,a+b,a+c共面,所以2b-2c,a+b,a+c不能构成空间向量的一组基底.故选C. 方法归纳　判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是否共面,当从正面难以入手时,可用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断. 10.C　连接BD,∵E为PD的中点,∴(-b+++(a+c-2b)=-+.故选C. 11.B　在平行四边形BB1C1C中,因为M为CC1的中点,且BB1∥CC1,所以,所以),所以.故选B. 12.答案　 解析　+ ,所以x=,所以x+y+z=. 13.答案　-++ 解析　连接OG,则) = ++. 14.答案　+-c;- 解析　连接AM,则+-c,. 设正四面体的棱长为1. 易知|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=. 则cos<=. 15.解析　(1)(b-a-c). (2)由题意得|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=0,a·c=b·c=2×4×=4, 所以(b-a-c)2=(b2+a2+c2-2a·b-2b·c+2a·c)=×(4+4+16-0-8+8)=6, 所以|,即线段PM的长度为. 能力提升练 1.C 2.C 5.C 1.C　因为,所以M,B,A1,D1四点共面.故选C. 2.C　由题意可得y·. ∵O,A,C,M四点共面,O,H,N,B1四点共面, ∴, ∴x+y+3z=.故选C. 3.答案　 解析　因为, 所以Q,A,B,C四点共面. 易得PO⊥平面ABC,所以||≥||. 因为圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形, 所以|,所以||的最小值为. 4.答案　 解析　设(0<λ<1).易知 ,所以,又M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=. 5.C　连接BN.因为N在侧面BCD上(包含边界),所以可设,λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1,所以. 又,所以且λ,μ∈[0,1],λ+μ≤1. 对于A,若x=,则λ=μ=0,所以点N与点B重合,显然MN∩平面ACD=A,故A错误. 对于B,若z=μ=0,则,所以点N在线段BC上(包括端点). 因为AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD⊂平面ACD,所以CD⊥平面ABD, 所以当点N与点B重合时,MN⊥CD,故B错误. 对于C,D,过M作ME⊥BD,垂足为E,则|BE|=|BM|·cos∠ABD=|BD|, |ME|=|BM|·sin∠ABD=|BD|. 连接NE,因为CD⊥平面ABD,ME⊂平面ABD,所以ME⊥CD,又ME⊥BD, BD∩CD=D,BD,CD⊂平面BCD,所以ME⊥平面BCD,所以ME⊥NE,所以|MN|=,显然当点N与点E重合时,|MN|最小,此时λ=0,μ=,所以y=0,z=;当点N与点C重合时,|MN|最大,此时λ=1,μ=0,所以y=1,z=0,x=-,故C正确,D错误.故选C. 6.证明　连接AG并延长,交BC于点H,由题意,{}可作为空间向量的一组基底,.连接DM.因为点D,E,F,M共面,所以存在唯一的实数对(λ,μ),使,即),所以. 由空间向量基本定理,知=μt,所以=4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$