3.3 圆周角 教学设计 2025-2026学年青岛版数学九年级上册

《圆周角》教学设计 课题 3.3　圆周角（第一课时） 课时 第1课时 授课人 教学目标 1.理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，并能进行简单推理和计算. 2.探索圆周角与其所对弧上的圆心角的关系，经历由特殊到一般的认识过程，体会转化、分类、归纳的数学思想.发展几何直观. 3.经历圆周角定理的证明，了解分情况证明命题的思想和方法，提高推理能力. 教学重难点 教学重点:圆周角定理及推论1. 教学难点:圆周角定理的证明. 教学准备 学生准备：圆规、直尺、量角器. 教学过程设计 教师活动 学生活动 设计意图 复习导入 请学生口答下面两个问题. 1.圆心角的定义? 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? 学生回顾旧知. （1）顶点在圆心的角叫圆心角. （2）圆心角的度数等于它所对弧的度数. 复习圆心角的定义与它所对的弧的度数的关系,为学习圆周角提供准备. 一、观察思考 如图,点A,B,C是☉O上的三个点.以A为端点作射线AB,AC,得到了一个怎样的角? 问题1：∠BAC的顶点与两边与圆有什么关联？ 概括得出： 圆周角的概念： 顶点在圆上,两边在圆内的部分是圆的两条弦,这样的角叫做圆周角. 追问：为什么圆心角的概念只有一个限制条件，而圆周角的概念却有两个限制条件？ 小练1：判断下图中的角是不是圆周角? 学生观察、分析，并说出自己的发现. 学生朗读，初步记忆圆周角的概念. 学生思考、发现，并回答问题. 一个角的顶点在圆上时，它的边有可能不经过圆. 学生一起回答问题 体验圆周角是如何画出的，形成对圆周角的初步认识. 追问通过比较,认识到圆周角与圆心角的区别.加强学生对圆周角概念的理解. 小练1根据学生答题情况进行学习评价 二、活动探究 探究:同圆中，圆心与圆周角的位置关系 活动1：在☉O上任意取三个点A,B,C,连接AB,AC. 问题1：圆心O在你所画∠BAC的哪里? 追问：圆心O与∠BAC有几种可能的位置关系? 通过几何画板演示，变化圆周角的位置 总结:有三种位置关系,如图. 1 ② ③ 探究：圆周角与其所对弧上圆心角的关系 活动2：连接OB、OC；测量∠BAC和∠BOC的度数. 问题2：∠BAC与∠BOC的数量关系？ 学生在导学案中画出圆周角∠BAC. 学生回答后，不同答案的同学组内互相交换导学案观察. 学生观察并确定圆心与圆周角的位置有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部. 学生在导学案上找出圆周角∠BAC所对的弧，并画出其所对弧上的圆心角.测量出同弧所对圆周角与圆心角的度数. 学生提出猜想：∠BAC＝∠BOC 通过学生亲自画出圆周角，交流发现圆心与圆周角有不同的位置关系 动画展示更直观的展现圆心与圆周角的位置变化，发展几何直观. 活动1、2，使学生经历画图、观察、度量、猜想等几何研究的一般过程.培养学生发现问题的能力，发展几何直观. 三、分类证明 问题1：确定命题后要由题意画出具有一般性的图形，我们选择那种情况进行证明呢？ 问题2：那我们先证明哪种情况呢？ 请学生发言，师生共同整理情况①的证明过程 证明：(1) 当圆心O在∠BAC的一条边上时，如图① 在△OAB中，∵ OA＝OB， ∴ ∠BAO＝∠OBA. ∵∠BOC＝∠BAO＋∠OBA. ∴∠BOC＝2∠BAO. ∴∠BAC＝∠BOC. 问题3：能否用刚才的方法证明情况②？为什么？ 追问：怎样将情况②转化成情况①？ 提醒：我们不妨也过圆周角顶点做一条直径. (2)当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD，如图②. 由(1)的结论，得 ∠BAD＝∠BOD，∠DAC＝∠DOC， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠BOD＋∠DOC. ∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC ∠BOD＋∠DOC＝ (∠BOD＋∠DOC) ＝∠BOC ∴∠BAC＝∠BOC. 提示：通过转化，情况②也出现了与情况①类似的情形，对此可以直接利用情况①得出结论. 问题4：情况③又该怎样证明？刚才的思路有没有给你一些启发？ 请学生思考并整理情况③的证明过程，教师巡回引导.学生回答后，教师点评. 总结归纳，得出定理. 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上圆心角的一半. 小练2：如图，在⊙O中，∠AOB＝80°， ∠BCA=________. 变式练习：如图，在⊙O中，弧AB的度数为80°，∠BCA=________. 引导学生思考圆周角度数与其所对弧度数的关系. 提醒学生有关推论1的注意事项. 学生表达自己的想法，共同讨论，确定要分三种情况进行证明。 学生发言、交流，发现可以通过等腰三角形和外角证明情况①,并和老师共同整理证明过程. 根据问题3，结合老师的追问与提示思考后，学生发言，交流证明思路并展示。 学生与老师共同整理情况②证明过程. 学生独立思考，解决问题，整理情况③的证明过程后，组内校对并展示. 学生口答 得出结论： 圆周角定理的推论1： 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 问题1引导学生发现三种情况是不同的，且都不具有一般性,体会分类的数学思想. 问题2引导学生初步观察三种情况的特点，熟悉由简单到复杂、由特殊到一般的解题思路，提高推理能力. 整理证明过程，规范学生书写. 学生发言，锻炼了学生的语言表达能力和说理能力. 问题3及追问引导学生思考、探究，通过解决问题体会转化的数学思想. 整理情况②证明过程，进一步体验利用转化思想解题的便利. 问题4巩固学生对数学思想的感悟，培养学生分析问题、解决问题的意识与能力. 通过学生答题的情况，评价学生对圆周角定理的掌握. 让学生通过逻辑推理得出圆周角定理的推论1，增强学生自信心、激发学生对几何探究的兴趣. 四、新知应用 教师出示例1的内容. 引导学生分两种情况计算 学生独立完成证明过程. 再次感悟分类的数学思想,巩固所学知识. 五、课堂小结 让学生归纳学习内容，对学生的归纳给予合理的评价并进一步完善. 表述自己本节课的收获. 梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果. 课堂检测 1.如图下列角中，是圆周角的是（ ） 2.如图，点A, B, C在⊙O上， （1）若∠AOB =100°，则∠ACB =_______. （2）若∠BAC =70°，则∠OBC =_______. 3.如图，在⊙O中，弧AB的度数为70°，OB⊥AC，垂足为点D，∠BCA =______,∠OBC =_______. 4.如图，A, B, C三点在⊙O上，∠AOC=100°， 则∠ABC等于（ ） A.140° B.110° C.120° D.130° 布置作业 教师布置分层作业 必做题：课本89页习题3.3 第1题、第2题 选做题：课本89页习题3.3 第5题 板书设计 圆周角 1.概念：①② 2.圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 3.推论1:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $