3.3 第3课时 圆周角定理的推论4-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(青岛版2012)

第2课时 圆周角定理的推论2,3（答案P20) 通基仙>22沙% 知识点2圆周角定理的推论3 4.(2023·泰安新泰二模)如图所示，AB是⊙O 知识点1圆周角定理的推论2 的直径，C,D是圆上的点，若∠D=20°，则 1.运算能力》如图所示，在⊙O中，弦AB,CD ∠BAC的值是() 相交于点P.若∠A=48°，∠APD=80°，则 A.20° B.60° C.70° D.80° ∠B的度数为() 第4题图 第5题图 A.32° B.42° 5.(2023·聊城一模)如图所示，在△ABC中， C.48° D.52 AB=AC,三个顶点A,B,C均在⊙O上，BD 2.(2023·聊城东昌府区模拟)如图所示，AB为 ⊙O的直径，点C,D,E在⊙O上，且AD= 过圆心O,连接AD.当∠OBC=40°时， ∠ADB的度数是() CD,∠E=70°，则∠ABC的度数为( A.45° B.55°C.65° D.75° 6.运算能力》如图所示，在⊙O中，AB为直径， C为圆上一点，∠BAC的平分线与⊙O交于 点D,若∠ADC=20°，则∠BAD= B A.30° B.40° C.35°D.50 3.推理能力》如图所示，点A,B,C在⊙O上， AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥ AC,垂足为E,连接BD, 7.如图所示，⊙O的弦AB=16,点C在⊙O上， (1)求证：BD平分∠ABC. (2)当∠ODB=30时，求证：BC=OD, 且如C=号求⊙0的半径 00 71 优十学案·课时通 通能力》 (不与A,B重合)，过点C作CP的垂线，与 PB的延长线交于点Q 8.如图所示，C,D是以线段AB为直径的⊙O上 (1)试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？ 两点，若CA=CD,且∠ACD=40°，则∠CAB (不要求证明) 的度数为() (2)当点P运动到什么位置时，△ABC≌ A.10° B.20° C.30° D.40° △PCB?并给出证明. 第8题图 第9题图 9.如图所示，AB是⊙O的直径，点C,D,E在 ⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数 为() A.100°B.110°C.115°D.120 通素养 >》>>>>>>>》>>>>>》 10.(多选题)(2023·潍坊昌乐模拟)如图所示， 13.推理能力》如图所示，在△ABC中，∠BAC= 已知锐角∠AOB,按如下步骤作图：①在射线 90°，点E在BC边上，且CA=CE,过A,C, OA上取一点C,以点O为圆心，OC长为半 E三点的⊙O交AB于另一点F,作直径 径作PQ,交射线OB于点D,连接CD;②分 AD,连接DE并延长交AB于点G,连接 别以点C,D为圆心，CD长为半径作弧，交 CD,CF. PQ于点M,N;③连接OM,MN,ND.根据 (1)求证：四边形DCFG是平行四边形 以上作图过程及所作图形，下列结论正确的 是() (2)当BE=4,CD=8AB时，求⊙0的直径 A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20 C.MN∥CD D.∠COD=3∠MND P、 第10题图 第11题图 11.如图所示，半径为3的⊙A经过原点O和点 C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则 tan∠OBC的值为 12.探究拓展》如图所示，在⊙O中，直径AB的 两侧有定点C和动点P,点P在AB上运动 一九年级上册·数学Q 72第2课时圆周角定理的推论2,3 .AB=√102-62=8=8x,.x=1. 1.A2.B 在Rt△ACF中，AF=3,AC=6, 3.证明：(1)OD是⊙O的半径且OD LAC, .CF=√32+62=3√5， ∴.CD=AD,.∠CBD=∠ABD, 即⊙0的直径为3√5. .BD平分∠ABC 第3课时圆周角定理的推论4 (2)连接OC,如图所示. .OB=OC, 1.C2.无数0或13.C4.B5.C6.155 ∴.△OBC是等腰三角形. 7.证明：(1)四边形ABED是圆内接四边形， ∠B+∠ADE=180. .OB=OD, ∴.∠OBD=∠ODB=30°， ,∠EDC+∠ADE=180°， .∠EDC=∠B. ∴.∠CBO=60°， ∠EDC=∠C,.∠B=∠C, ∴.△OBC是等边三角形， .'.AB=AC ∴.BC=OB,.BC=OD (2)连接AE,如图所示. ,AB是圆的直径， .∴.∠AEB=90°. 又.AB=AC, ∴.AE平分∠BAC, ∴∠BAE=∠EAD, ∴BE=ED 4.C5.C6.35 8.解：(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四 7.解：作直径AD,连接BD,如图所示 边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180° 则∠ABD=90°，∠D=∠C. ∠ADE+∠ADC=180°，.∠ABC=∠ADE. :sinC-告simD-青 4 AB=AC,.∠ABC=∠ACB .∠ADB=∠ACB,∴.∠ADB=∠ADE, 在Rt△ABD中， ∴.DA平分∠BDE sin D=AB_4 AD=5,且AB=16, (2)如图所示，连接CO并延长交⊙O于点F,连 D 接BF. ∴AD=20.0A-=号AD=10.放⊙0的半径 是10. 8.B 9.B 10.ABC 11.V 09 12.解：(1)△PCQ△ACB. (2)当CP为半圆时，△ABC≌△PCB. 证明：.AB是⊙O的直径， CF是⊙O的直径，∴.∠CBF=90° .∠ACB=90. 在Rt△BCF中，BC=4,CF=12, CP为半圆，CP是⊙O的直径. .BF=√CF2-BC=√122-4=8√2， ∴.∠PBC=90°.AB=CP. ,CB是公共边， ∴.cos∠BFC= BF8√22√2 CF123 .Rt△ABC≌Rt△PCB(HL). ,∠BAC=∠BFC, 13.解：(1)连接AE,如图所示. ∠BAC=90°， cos∠BAC=cos∠BFC=2V2 1 ∴.CF是⊙O的直径. .AC=EC, cos∠BAC的值为. .CF⊥AE AD是⊙O的直径， 9.D10.C11.25°12.8 .∠AED=90°，即GD⊥AE,.CF∥DG. 13.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： ,AD是⊙O的直径，∴.∠ACD=90°， .DE=BE,..DE=BE. ,∴.∠ACD+∠BAC=180°，∴.AB∥CD, ∴·∠EBD=∠EDB .四边形DCFG是平行四边形. AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90 2)由cD-2AB, .∴.∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90° ∠CDE=∠C 设CD=3x(x>0),则AB=8x, ,四边形ABED内接于⊙O, ..CD=FG=3x. ∠CDE=∠CBA. :∠AOF=∠COD,∴.AF=CD=3x, ∴.∠C=∠CBA. ..BG=8x-3x-3x=2x. .△ABC是等腰三角形 6EcF器-8C (2)∠CDE=∠C,∴.CE=DE. DE=BE,∴DE=EB .BE=4,∴.AC=CE=6, ∴.BC=6+4=10, CE=EB=号BC=2×12=6. 20 .⊙0的半径是5，.AC=AB=10. 13.证明：：AB∥CD,∠BAC=∠ACD. ∠CDE=∠CBA,∠C=∠C, AD=DE,∴.AD=DE ∴.△CDE∽△CBA. .∠DAE=∠AED=∠ACD=∠BAC. 8品-货即g-品解得CD=72 .∠ADF=∠ACB,∠DAE=∠BAC, .△AFD∽△ABC. ∴.AD=AC-CD=10-7.2=2.8. 14.解：(1)作AM⊥BC,交BC于点M,如图所示. 在R△ADB中，aABD船-8-磊 ,AB=AC,AM⊥BC,BC=2,∴.BM=CM= 14.解：，四边形ABCD内接于⊙O,∠A=90°， 3Bc=1 .∠C=180°-∠A=90°，∠ABC+∠ADC= 180°. :coS∠ABC= BM√10 如图所示，连接BD,作AE⊥BC于点E,DF⊥AE AB10 于点F,则四边形CDFE是矩形，EF=CD=10. 在Rt△AMB中，BM=1, 在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=17, ..AB= BM cos∠ABC=3 cos B=10. (2).AB=AC, BE=AB·cOS∠ABE=5 .∠ACB=∠ABC 四边形ABCD内接于⊙O, ·AE=VAB-BE-68 .∠ADC+∠ABC=180°. · ∠ACE+∠ACB=180°， .AF =AE-EF 68 .∠ADC=∠ACE. 6 ,∠CAE为公共角， 108 △EACn△CAD.AC-AE AD AC :∠ABC+∠ADC=180°， .AD·AE=AC2..AC=AB=√/10， ∠CDF=90°， ..AD·AE=10. ∴.∠ABC+∠ADF=90°. (3)证明：如图所示，在BD上取一点N,使得 ∴.∠DAF=∠ABC BN=CD,连接AN. cos∠ABC日： 在△ABN和△ACD中， (AB=AC, coS∠DAF=coS∠ABC=3 ∠ABN=∠ACD, BN=CD, 在Rt△ADF中，，∠AFD=90°， .△ABN≌△ACD(SAS). cos∠DAF=3 .AN=AD.AN=AD,AH⊥BD, ..NH=HD..BN=CD,NH=HD, 18 ..BN+NH=CD+HD. AF 5 ∴.AD= ..BH=CD+DH. cos∠DAF=3=6, 6 阶段检测三（3.1~3.3) 1.C2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.D 9.√210.(5,2)11.120 2. 2解析：作直径AE,连接CE,如图所示.∠ACE= 3.4直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 90°.：AH⊥BC,.∠AHB=90.∠ACE=1B2.B3.C4.相离 ∠AHB.'∠B=∠E,.△ABHD△AEC, 5.解：过点C作CD⊥AB,垂足为D. .ABAH -A是AB-AH CAE.:AC=24, 在Rt△ACD中，∠A=45°， AC .∠ACD=∠A,CD=AD. AH=18,AE=20C=26,AB=18×26_39 又.CD2+AD2=AC2,AC=4, 24 2 .2CD2=16,CD=2√2. 即圆心C到直线AB的距离d=2√2， (1)当r=2时，d>r,∴.⊙C与直线AB相离. (2)当r=2√2时，d=r,∴.⊙C与直线AB相切. (3)当r=3时，d<r,∴.⊙C与直线AB相交. 6.D 21