4.4整式的加减（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

4.4整式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 去括号法则 · 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。例如：。 · 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。例如：。 整式的加减运算法则 · 一般地，整式的加减运算，有括号先去括号，然后再合并同类项。例如：计算，先去括号得，再合并同类项得。 型 习 练 题 数字类规律探索 1．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．5 C．25 D．625 2．在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，则第2025次输出的结果为（   ） A．3 B．6 C．1014 D．2028 3．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示. 即： ， ，， ， …， 请你推算的个位数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图是某个月份的月历表，任意圈出月历表中一竖列或一斜排中相邻的三个数，这三个数的和不可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A．72 B．30 C．27 D．50 5．聪明的王明用计算机自己设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表 输入 …                               … 输出 …                               … 那么，当输入数据时，输出的数据是（    ） A． B． C． D． 图形类规律探索 6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，．．．按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（    ） A．22个 B．32个 C．34个 D．36个 7．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，其中第1个图形中有6个圆点，第2个图形中有9个圆点，第3个图形中有12个圆点，…依照此规律，第7个图形中圆点的个数是（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 8．如图，将一张边长为的正方形纸片分割成个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，请你利用这个几何图形求的值为（   ）（结果用表示） A． B． C． D． 9．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物，如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒根数是（   ） A．45 B．48 C．49 D．54 10．如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第15个图形用的火柴棒的根数是（   ） A．29 B．31 C．33 D．35 整式的加减运算 11．计算：． 12．化简：． 13．化简下列各式： (1)； (2)． 14．化简： (1) (2) 15．化简： (1) (2) 整式的加减中的化简求值 16．先化简，再求值：，其中 17．已知，求的值． 18．已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值． 19．解决下列问题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 20．先化简，再求值：，其中，． 整式加减的应用 21．已知参加甲、乙两地植树的同学分别为人和人，现从甲、乙两地共抽调人到丙地植树．如果从甲地抽调人，请用含的代数式分别表示甲、乙两地剩下的人数． 22．某超市9月份购进200件某品牌秋季服装，每件以a元出售，售出了120件．进入11月后开始促销，按八折出售，售出了50件．余下的服装全部以每件100元售出．求该超市销售这批服装的销售额． 23．试说明：一个三位数减去它各个数位上的数的和，差必能被9整除． 24．将边长为a的正方形的一组对边的长度各增加1，另一组对边的长度不变．那么，所得到的长方形的周长是多少？长方形与原正方形的面积之差是多少？ 25．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时 (1)甲船顺水的速度是________千米/时；乙船逆水的速度是________千米/时； (2)若，3小时后甲船比乙船多航行多少千米？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4整式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 去括号法则 · 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。例如：。 · 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。例如：。 整式的加减运算法则 · 一般地，整式的加减运算，有括号先去括号，然后再合并同类项。例如：计算，先去括号得，再合并同类项得。 型 习 练 题 数字类规律探索 1．如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2026次输出的结果为（   ） A．1 B．5 C．25 D．625 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化规律，求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解决此题的关键．依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，然后再计算出第2026次输出的结果，即可得出答案． 【详解】解：当时，，即第1次输出的结果为； 当时，，即第2次输出的结果为； 当时，，即第3次输出的结果为； 当时，，即第4次输出的结果为； 当时，，即第5次输出的结果为； 当时，，即第6次输出的结果为； 依此类推，以5，1循环， ， ∴输出的结果是． 故选：A． 2．在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，则第2025次输出的结果为（   ） A．3 B．6 C．1014 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值与程序运算问题，数字类规律，从程序中找到规律是解题的关键．根据流程图进行计算，再发现规律从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3， 是奇数， 第2025次输出的结果为6． 故选：B． 3．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示. 即： ， ，， ， …， 请你推算的个位数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的个位数字循环规律，解题的关键是找出2的幂次个位数字的循环周期，再通过周期计算确定结果． 【详解】解：2的幂的个位数字依次为：（个位2），（个位4），（个位8），（个位6），（个位2），可见个位数字以“2、4、8、6”为周期循环，周期为4． ，余数为1，对应周期中第1个数字2． 故选：A． 4．如图是某个月份的月历表，任意圈出月历表中一竖列或一斜排中相邻的三个数，这三个数的和不可能是（   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A．72 B．30 C．27 D．50 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律、整式加减的应用，熟练找准规律是解题的关键． 任意圈出一竖列或一斜排中的三个数，其和均为3的倍数，逐项判断和是否是3的倍数即可． 【详解】解：根据题意得，一竖列每个数相差7，正斜线（左上到右下）相差为8，反斜线（右上到左下）相差为6， 设第一个数为， 那么竖列中三个数的和为， 正斜排中三个数的和为， 反斜排中三个数的和为， 则任意圈出一竖列或一斜排中的三个数，其和均为3的倍数， 选项A、B、C的和72、30、27均为3的倍数，可能成立； 选项D的和50不是3的倍数，不可能成立， 故选：D． 5．聪明的王明用计算机自己设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表 输入 …                               … 输出 …                               … 那么，当输入数据时，输出的数据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数的规律．根据输入输出表，输出数据的分母是输入数据的平方加1，因此输出公式为． 【详解】解：∵ 当输入的数值为1时，输出的为， 当输入的数值为2时，输出的为， ∴输出数据规律为， ∴ 当输入时，输出为． 故选：C． 图形类规律探索 6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物的分子结构模型图如图所示，其中灰球代表碳原子（较大的），白球代表氢原子（较小的）．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，．．．按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（    ） A．22个 B．32个 C．34个 D．36个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得： 第1种如图①有4个氢原子，即，碳原子1个， 第2种如图②有6个氢原子，即，碳原子2个， 第3种如图③有8个氢原子，即，碳原子3个， ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：，碳原子10个， ∴第10种化合物的分子结构模型中碳、氢原子的总个数是（个）． 故选：B． 7．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，其中第1个图形中有6个圆点，第2个图形中有9个圆点，第3个图形中有12个圆点，…依照此规律，第7个图形中圆点的个数是（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，由题干所给图形得出规律第个图形中有个圆点，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得： 第1个图形中有个圆点， 第2个图形中有个圆点， 第3个图形中有个圆点， … 故第个图形中有个圆点， ∴，第7个图形中圆点的个数是， 故选：B． 8．如图，将一张边长为的正方形纸片分割成个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，请你利用这个几何图形求的值为（   ）（结果用表示） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现图形变化的规律．由所给图形可知，面积为，、的面积和为，、、的面积和为，、、、的面积和为，据此规律求解即可． 【详解】解：边长为的正方形纸片的面积为， 由所给图形可知， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 9．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物，如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒根数是（   ） A．45 B．48 C．49 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键．根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要17根，即， 第③个图形需要25根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑥个图形需要根， 故选：C ． 10．如图，用火柴棒摆出的系列图案，第1个图形用了3根火柴棒，第2个图形用了5根火柴棒……，按此规律，那么第15个图形用的火柴棒的根数是（   ） A．29 B．31 C．33 D．35 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的变化类，找对变化规律是解题的关键． 对于找规律的题目首先应找出每增加一个图形就增加2根火柴棒，进而求解即可． 【详解】解：第一个图形需要三根火柴棍，每增加一个图形就增加2根火柴棒， 第15个图形，需要根火柴棍． 故选：B． 整式的加减运算 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是通过去括号、合并同类项化简整式． 先去括号，再合并同类项，得到化简后的整式． 【详解】解： 12．化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 13．化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算顺序和法则是解题的关键． （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）将看作整体，合并同类项后化简； （2）先去括号，再合并同类项化简． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 整式的加减中的化简求值 16．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值和非负数的性质，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 先去括号，合并同类项，再根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 原式． 17．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 18．已知代数式． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ． 19．解决下列问题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项化简代数式，再将m，n的值代入化简后的式子求值即可． 本题考查了整式的加减-化简求值，掌握去括号、合并同类项法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可. 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 整式加减的应用 21．已知参加甲、乙两地植树的同学分别为人和人，现从甲、乙两地共抽调人到丙地植树．如果从甲地抽调人，请用含的代数式分别表示甲、乙两地剩下的人数． 【答案】甲地剩下的人数为 人，乙地剩下的人数为 人 【分析】本题主要考查列代数式，审清题意，列出正确的代数式是做题的关键．根据题意，列出符合题意的代数式即可． 【详解】解：由题意得， 甲地剩下的人数为 人， 乙地剩下的人数为 人． 答：甲地剩下的人数为 人，乙地剩下的人数为 人． 22．某超市9月份购进200件某品牌秋季服装，每件以a元出售，售出了120件．进入11月后开始促销，按八折出售，售出了50件．余下的服装全部以每件100元售出．求该超市销售这批服装的销售额． 【答案】 【分析】该题考查了整式加减的应用，计算总销售额需要将三部分销售额相加：第一部分是120件以每件元售出，第二部分是50件以八折（即元）售出，第三部分是余下的30件以每件100元售出． 【详解】解：根据题意，购进200件服装，9月份以每件元售出120件，销售额为元； 11月以八折即每件元售出50件，销售额为元； 余下服装件数为件，以每件100元售出，销售额为元． ∴总销售额（元）． 答：该超市销售这批服装的销售额为元． 23．试说明：一个三位数减去它各个数位上的数的和，差必能被9整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键．通过代数表示三位数，减去各位数字和，化简后提取公因数9，证明差是9的倍数即可． 【详解】证明：设这个三位数为，其中、、为整数，且，，， 则各个数位上的数字之和为， ， ∵，且为整数， ∴差为9的倍数， 故差必能被9整除． 24．将边长为a的正方形的一组对边的长度各增加1，另一组对边的长度不变．那么，所得到的长方形的周长是多少？长方形与原正方形的面积之差是多少？ 【答案】长方形的周长是 ，面积之差是 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减． 正方形一组对边增加1后变为长方形，根据周长和面积公式计算即可． 【详解】解：原正方形边长为，周长为，面积为． 将一组对边长度各增加1，则这两边长度变为，另一组对边长度不变，仍为． 所得长方形的长和宽分别为和． 长方形的周长． 长方形的面积． 面积之差长方形面积正方形面积． 故所得长方形的周长为，面积之差为． 25．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时 (1)甲船顺水的速度是________千米/时；乙船逆水的速度是________千米/时； (2)若，3小时后甲船比乙船多航行多少千米？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)3小时后甲船比乙船多航行60千米，见解析 【分析】本题考查了列代数式、整式加减，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式； （1）根据甲船顺水的速度水速船速，乙船逆水的速度船速水速，即可解答； （2）根据顺水和逆水速度的定义，分别计算两船3小时后的航行距离，再求差即可． 【详解】（1）解：根据题意得：甲船顺水的速度是千米/时；乙船逆水的速度是千米/时； 故答案为：； （2）解：依题意得：3小时后，甲船航行距离为千米，乙船航行距离为千米， 所以甲船比乙船多航行：千米， 当时，， 即3小时后甲船比乙船多航行60千米． 学科网（北京）股份有限公司 $