专题04 勾股定理（期末复习知识清单，5知识16题型2易错3方法）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题04 勾股定理（5知识&16题型&2易错&3方法清单） 【清单01】直角三角形的判定 判定：1）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2） 有两个角互余的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形. 【清单02】勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【注意】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 【清单03】勾股定理的证明 1）赵弦爽图：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，整理得． 2）毕达哥拉斯拼图：如图二，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 3）加菲尔德证法拼图：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 【清单04】勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较. 【清单05】反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 【注意】 1）当命题的结论含有“至多”“至少”“无数”“唯一”等语言描述时，常用反证法. 2）矛盾的类型:①与已知定义、定理、公理相矛盾;②与已知条件相矛盾:③推出自相矛盾. 3）用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏;利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾的结果. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 【题型一】利用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是高，若，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，等腰中，于D，且，则（　　） A．24 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理求出的长．先根据勾股定理得出的长，再根据勾股定理得出方程求出的长，即可解决问题． 【详解】解：， 设，则， 在中，， 故选：B． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，是的平分线，交于点D，若，则的长为（　　） A． B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键； 过点D作于点E，先求出 ，则，证明，得到，即，根据勾股定理，得到，求出，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，如图 ∴， ∵是的平分线，， ∴，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴ 解得． 故选A． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． （1）由“”可证，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，由余角的性质可得，由勾股定理可求的长，根据三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ， ，而， 为等腰直角三角形； 又，， ， ， 的面积． 【题型二】利用勾股定理证明 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，正方形面积公式，三角形面积公式，由正方形面积公式，三角形面积公式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ，不能证明，不符合题意； ，能证明，符合题意； ，能证明，符合题意； 不能证明，不符合题意； 综上可知：能证明， 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. （1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）根据均为直角三角形，根据勾股定理得出 即可求出的值. 【详解】（1）解：， 另一方面， 即， ； （2）解：由题意可得， 均为直角三角形， 由勾股定理可得， ①，②，③，④ 可得； 可得； 即：， ， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明 （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可； 熟知数形结合思想的运用是关键 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， 故答案为：90，； （2）方法一∶ 方法二： 根据上面的方法可得出 4．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【答案】(1) (2)2 (3)D (4)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、完全平方公式的应用等知识，理解并掌握勾股定理及其验证过程是解题关键． （1）结合题意可知，，然后在和中，利用勾股定理列式求解即可； （2）设大正方形的边长为，由题意可知，利用勾股定理可得，结合易得，然后根据完全平方公式，由，即可求得答案． （3）勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了数相结合的数学思想，即可获得答案； （4）根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积，以及梯形面积等于其上底加下底乘高除以2进行证明即可． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，， ∴， 在和中， 可有， 即，整理可得， ∴； （2）解：设大正方形的边长为， 根据题意，， ∴， ∵， ∴， 又∵小正方形的边长为：， ∴， 即小正方形的面积为2． （3）解：勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选D； （4）解：， 梯形的面积又可表示为 ， ∴ 即， ∴直角三角形的三边满足此关系式，其中c为斜边，a，b为直角边． 【题型三】勾股定理与无理数 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，数轴，无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得，再求出，然后估算，即可得出结论． 【详解】解：由勾股定理得：， A表示的数比B表示的数小， 点B表示的数为， ， ， ， ， 即， a的值最接近的整数是． 故选：C． 2．（23-24八年级下·云南·期末）如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示无理数等知识，在网格中由勾股定理求出，结合尺规作图得到，即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长的求法及数轴上点表示的无理数是解决问题的关键． 【详解】解：在的正方形网格，， 以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点， ，即点在数轴上表示的数为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）甲同学用如图所示的方法作出点表示数，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上找出表示的点，并说明理由． 【答案】(1)理由见解析； (2)找出表示的点见解析图，理由见解析． 【分析】（）由勾股定理得，然后代入求解即可； （）在中，，，，由勾股定理即可求解； 本题考查了勾股定理与无理数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∴， 即点表示数； （2）解：如图， 在中，，，， ∴， 即点表示． 【题型四】以弦图为背景的计算题 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查“赵爽弦图”相关计算，涉及勾股定理、完全平方公式、整式混合运算及正方形面积公式等知识，根据题意，设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，由勾股定理得到，再由正方形面积公式表示出，，，运用完全平方公式展开，由整式混合运算化简解方程即可得到答案，读懂题意，数形结合得到方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设这八个全等的直角三角形的直角边为（不妨令），斜边为，则由勾股定理可得， ，，， ， ，即，解得， 的值是， 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且在同一直线，则的长为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，根据题意得推出是解题关键． 首先由点是的中点得到，求出，然后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图所示， 由题意得：， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为1，连接四条线段得到如图2新的图案，则阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查赵爽弦图，勾股定理，图形面积计算，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 标上必要的字母，利用勾股定理列方程求出的长即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，由题意，得，，， 设， 则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得，（舍去）， 阴影部分的面积， 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【答案】(1) (2)28 (3)24 (4)10 (5) 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，，，得出答案即可； （5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积为． 故答案为：28； （3）解：根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； 故答案为：24； （4）解：将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10； （5）解：． 设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的高为． 由图可知大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， ， ∴． 【题型五】用勾股定理构造图形解决问题 1．（24-25八年级上·湖南永州·月考）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．作，过点A作，过点D作，使，，连接，设，，当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值，然后构造，利用勾股定理可求得的值． 【详解】解：如图，作，过点A作，过点D作，使，，连接，过点作，交延长线与点F， 设，， 当三点共线时，有最小值，则的长即为代数式的最小值， ， ， ， ， （平行线间距离相等）， 同理得：， 中，，， ， 代数式最小值为5， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的倍，然后发现其规律即可求解． 【详解】解：在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的倍， ∵第一个等腰直角三角形的斜边长为， ∴第二个等腰直角三角形的斜边长为 ， 第三个等腰直角三角形的斜边长为 ， 第四个等腰直角三角形的斜边长为 ， 以此类推，第个等腰直角三角形的斜边长为 ， 故选：． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的三边长的数量关系，以及找规律型，解题的关键是熟练等腰直角三角形的直角边与斜边长的关系． 【题型六】根据已知条件判断直角三角形 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，，故A不正确； B．，，故B正确； C．，，故C不正确； D．，，故D不正确． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）在中，，，的对边分别是a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，直角三角形判定，解题的关键在于利用方程的思想解决问题． 根据各选项所给条件，结合勾股定理逆定理，三角形内角和定理，以及直角三角形判定，进行推理判断，即可解题． 【详解】解：A. ， 设， ， 则不是直角三角形，不符合题意； B. ，不能判定为直角三角形，不符合题意； C. ，， ，能判定为直角三角形，符合题意； D. ， 设，则， 有， 解得， 则， 不是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将整式因式分解是解题的关键．将等式左边分解因式可求得或，进而判定三角形的形状． 【详解】解： 或 或， 或，即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 【题型七】利用勾股定理逆定理求解 1．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理得出是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理得出是直角三角形，再利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 是直角三角形， 地位于、两地的中点处， ， 故选：C 2．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定，先利用勾股定理求出，进而得到，即可证明为直角三角形，且，即可得出结论． 【详解】证明：在中， ∴， ∴， 在中，，， ， 为直角三角形，， ． 【题型八】勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图所示，每个网格小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)求的周长； (2)判断的形状，并求其面积． 【答案】(1) (2)等腰三角形； 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据网格求三角形的面积，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中两条直角边平方和等于斜边平方． （1）根据勾股定理分别求出三边长，即可得出周长； （2）根据解析（1）求出的三角形三边长度，即可判断三角形的形状；利用割补法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， ， ， 则的周长为； （2）解：根据解析（1）可知：， ∴为等腰三角形， ． 3．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了网格图形和勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）借助网格，利用勾股定理画出三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：结论：是直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？为什么？ 【答案】(1)22.5 (2)是直角，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求网格中图形的面积， 对于（1），根据正方形的面积减去四个三角形和一个正方形的面积可解； 对于（2），根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据勾股定理，得，，， ， 是直角三角形， 即是直角． 【题型九】勾股定理的实际应用（求梯子滑落高度） 1．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设梯子顶端到地面的高度为米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； （）设底端将水平滑动米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米， 由勾股定理得，， 解得， 答：梯子顶端到地面的高度为米； （2）解：设底端将水平滑动米， 由题意得，， 解得， 答：底端将水平滑动米． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 【答案】(1) (2)米 (3)丙房间的宽是米 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论; （2）证明△△，从而得到米，，即可求出结果； （3）根据以及的度数可得到为等边三角形，表示出的长，可得结果； 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据以及的度数可得到为等边三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：在 中，，米，米， ， ， 甲房间的宽度米， 故答案为：3.2； （2）， ， ， ． 在△与△中， ， △△， 米， ， ； （3）过点作垂线，垂足点，连接． 设，且． 梯子的倾斜角为， △为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），． ， ． ， △为等边三角形， ． △△， ， 米， 即丙房间的宽是3.3米． 【题型十】勾股定理的实际应用（求大树折断高度） 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解： ， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 【题型十一】勾股定理的实际应用（求台阶上长度） 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【题型十二】勾股定理的实际应用（判断汽车是否超速） 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为 ， ∴此车超过的限制速度． 【题型十三】勾股定理的实际应用（判断是否台风受影响） 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【答案】(1)受噪音影响，见解析； (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键 （1）根据点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下： 点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响， ， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则， ， ， 由勾股定理得： ， ∵汽车速度为 ∴影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 【题型十四】勾股定理的实际应用（选址使到两地距离相等） 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】20千米处，等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形． 【详解】解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得：， 即； ∴市场E应建在距A的20千米处； ∵，， 在和中， ， 可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形． 【题型十五】勾股定理的实际应用（其它问题） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 2．（20-21八年级下·四川泸州·期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 3．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 【题型十六】勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 4．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1) (2)9600元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题的关键； （1）连接，利用勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出，由求解即可； （2）由总面积每平米的费用求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在中， ， ， ， ， ， 答：空地的面积为24． （2）解：总共需投入（元）， 答：总共需投入9600元． 【题型一】已知直角三角形两边求第三边 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·月考）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ． 【答案】或/或4 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知m，n为实数，且满足．若的两边长分别为m和n，则它的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了算术平方根的非负数的性质和勾股定理．先由非负数的性质求出，，由于题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 即这个直角三角形的两边长分别为3和4． ①当4是此直角三角形的斜边时， 则由勾股定理得另一直角边为， ②当4是此直角三角形的直角边时， 则由勾股定理得斜边为：． 故答案为：5或． 【题型二】勾股数的判断 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数的定义．判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当时，b的值是（    ） a 3 5 7 9 11 … b 4 12 24 40 60 … c 5 13 25 41 61 … A．611 B．612 C．613 D．614 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数，掌握表中数据的变化规律，找到数据的关系是解答本题的关键．由表格中的数据得：，，即可得出，代入即可求出b的值． 【详解】解：由表格中的数据得：，， ∴， ∴当时，则， 解得：， 故选：B 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 【题型一】以直角三角形三边为边长的图形面积 解题大招：勾股数每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积，即. 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 2．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 【答案】 【分析】本题考查图形规律探究，等腰直角三角形、正方形的性质，勾股定理，总结归纳出规律是解题的关键． 根据题意表示出，，的值，找到规律，根据规律计算即可． 【详解】解：由题意可知，面积为的正方形的边长为1，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， 面积为的正方形的边长为，， ． 一般规律为： ，则． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 【答案】(1)任选一个即可，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理． （1）根据图中面积关系即可得证； （2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证． 【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：； （2）解：，，满足的关系是， ，， ， ． 【题型二】勾股定理与折叠问题 解题方法：解决翻折问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段、角与已知线段、角联系到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或列方程解决问题. 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题和勾股定理的综合运用，由折叠得，设，则，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合， 若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键；先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案， 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ， 由折叠知，，， 在中，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则等于　　　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】（1）45 （2）的长为 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键是利用折叠转化线段和角度的等量关系，结合中线或直角三角形的性质建立等式求解． （1）利用中线性质得折叠性质得、，推出且，判定 为等腰直角三角形，进而得的度数． （2）先由勾股定理求的长，利用折叠性质得、设表示在中用勾股定理列方程求解 x． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴（三角形中线平分对边）． ∵沿折叠后点C落在E处， ∴（折叠性质：对应边相等，对应角相等）． ∴，且（等量代换）． ∴中，，即 是等腰直角三角形． ∴（等腰直角三角形的底角为． 故答案为：． （2）解：在中，， 由勾股定理得：． 直角边沿折叠后与重合， ∴（折叠性质）． ∴． 设则． 在 中，，由勾股定理得： 即． 展开得： 化简得：解得 答：的长为 60．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质： （1）由线段中点的定义得到的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得到，则可得到，设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型三】最短距离问题 1）长方体蚂蚁爬行的最短路径为 2) 圆柱类问题化曲为平，立体图形转化为平面图形，再转成直角三角形求解，此类问题特别要注意的是蚂蚁爬行半个侧面还是整个侧面. 3) 蚂蚁爬楼梯的最短路径为 1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即 ； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】 （1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】 （2）根据上述方法，求代数式的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，求解特定的代数式的最小值，矩形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）①直接利用勾股定理列式表示即可；②由，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理求解即可； （2）如图，设，，，，则，表示，，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，证明四边形为矩形，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①在中， ， ， 在中， ， ， ②，而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交CA的延长线于H，，，如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中， ， ， ∴的最小值为， 即的最小值为． 故答案为：①，；② （2）如图，设，，，，则， 在中，， 在中，， ， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交CA的延长线于H，， 如图， ∴四边形ABDH为矩形， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理（5知识&16题型&2易错&3方法清单） 【清单01】直角三角形的判定 判定：1）有一个角是_______的三角形叫做直角三角形． 2） 有两个角_______的三角形是直角三角形. 3）如果三角形一边上的中线等于这条边的_______，那么这个三角形是直角三角形． 4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足______________，那么这个三角形是直角三角形. 【清单02】勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的_______等于斜边的_______. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么______________. 变式：，， . 【注意】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是_______三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 【清单03】勾股定理的证明 1）赵弦爽图：如图一，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.即 ，所以，整理得． 2）毕达哥拉斯拼图：如图二，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 3）加菲尔德证法拼图：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形. ，，化简得证 图一 图二 图三 【清单04】勾股定理逆定理 文字描述：如果三角形三边长，，满足______________，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 【补充说明】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； 2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两较小边的平方和与较长边的平方作比较. 【清单05】反证法 定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法. 【注意】 1）当命题的结论含有“至多”“至少”“无数”“唯一”等语言描述时，常用反证法. 2）矛盾的类型:①与已知定义、定理、公理相矛盾;②与已知条件相矛盾:③推出自相矛盾. 3）用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏;利用反证法证明时，每一步都要有依据，直到推出矛盾的结果. 反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 【题型一】利用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，是高，若，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，等腰中，于D，且，则（　　） A．24 B． C．48 D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，是的平分线，交于点D，若，则的长为（　　） A． B．8 C．10 D．12 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【题型二】利用勾股定理证明 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c． (1)如图1请你用它验证勾股定理． (2)如图2四边形中于点O，，，，请直接写出 ． 3．（23-24八年级下·全国·期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 4．（23-24八年级上·山西太原·期中）请阅读下面文字并完成相关任务． 勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简得，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)如图2，中，是边上的高，，设，求x的值． (2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含赵爽弦图，如图3，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且，则小正方形的面积为多少？ (3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现了一种重要的数学思想是________； A．函数思想   B．整体思想   C．分类讨论思想   D．数形结合思想 (4)请借助图4，利用“双求法”验证勾股定理． 【题型三】勾股定理与无理数 1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南·期末）如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点在数轴上表示的数为 ． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）甲同学用如图所示的方法作出点表示数，在中，，，，且点，，在同一数轴上，． (1)请说明甲同学这样做的理由； (2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上找出表示的点，并说明理由． 【题型四】以弦图为背景的计算题 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）第二十四届国际数学家大会会微的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，点是的中点．连结，若，且在同一直线，则的长为（    ） A． B． C．6 D．5 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为1，连接四条线段得到如图2新的图案，则阴影部分的面积为 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，则小正方形面积大正方形面积=________； (2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时小正方形内空白部分的面积为_________； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，该风车状图案的面积为_______； (4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则_______． (5)如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 【题型五】用勾股定理构造图形解决问题 1．（24-25八年级上·湖南永州·月考）代数式最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）已知是斜边长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，，依此类推，第个等腰直角三角形的斜边长是（    ）．    A． B． C． D． 【题型六】根据已知条件判断直角三角形 1．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级上·广东清远·期中）在中，，，的对边分别是a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知的三边长、、满足条件：．那么的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【题型七】利用勾股定理逆定理求解 1．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·开学考试）如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，四边形中，，，，，且．求证：． 【题型八】勾股定理与网格问题 1．（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图所示，每个网格小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： (1)求的周长； (2)判断的形状，并求其面积． 3．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请以，，作为三角形的三边长，在图中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． (2)判断的形状，并说明理由． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的面积； (2)是直角吗？为什么？ 【题型九】勾股定理的实际应用（求梯子滑落高度） 1．（23-24八年级上·广东茂名·期末）一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 【题型十】勾股定理的实际应用（求大树折断高度） 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【题型十一】勾股定理的实际应用（求台阶上长度） 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 2．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【题型十二】勾股定理的实际应用（判断汽车是否超速） 1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 2．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【题型十三】勾股定理的实际应用（判断是否台风受影响） 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【题型十四】勾股定理的实际应用（选址使到两地距离相等） 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【题型十五】勾股定理的实际应用（其它问题） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 2．（20-21八年级下·四川泸州·期末）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 3．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【题型十六】勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 4．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）为了绿化环境，我区某中学有一块空地四边形，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求出空地的面积； (2)若每种植1平方米草皮需要400元，问总共需投入多少元？ 【题型一】已知直角三角形两边求第三边 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·月考）已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为 ． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）已知m，n为实数，且满足．若的两边长分别为m和n，则它的第三边长为 ． 【题型二】勾股数的判断 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，不是勾股数的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．10，15，20 D．7，24，25 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在学习《直角三角形》这一章时，爱动脑筋的小明同学发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．按照这个规律，当时，b的值是（    ） a 3 5 7 9 11 … b 4 12 24 40 60 … c 5 13 25 41 61 … A．611 B．612 C．613 D．614 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【题型一】以直角三角形三边为边长的图形面积 解题大招：勾股数每一层的正方形面积之和均等于底部正方形的面积，即. 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 2．（23-24八年级下·北京·期中）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，…按此规律继续下去，则的值为                　 3．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 【题型二】勾股定理与折叠问题 解题方法：解决翻折问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段、角与已知线段、角联系到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或列方程解决问题. 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图， 三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合， 若，，则的长度为 ． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）（1）如图1，已知是的中线，，把沿所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则等于　　　度． （2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边，，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 4．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长； (2)求的长． 【题型三】最短距离问题 1）长方体蚂蚁爬行的最短路径为 2) 圆柱类问题化曲为平，立体图形转化为平面图形，再转成直角三角形求解，此类问题特别要注意的是蚂蚁爬行半个侧面还是整个侧面. 3) 蚂蚁爬楼梯的最短路径为 1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 3．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 4．（23-24八年级下·山东德州·期末）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【思想应用】（1）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小军想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含a的代数式表示________，用含b的代数式表示________． ②据此写出的最小值：________． 【类比应用】（2）根据上述方法，求代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $