高二数学上学期期末模拟卷02（范围：空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理+概率统计）高二数学上学期人教B版

2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，且，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，所以， 解得. 故选：A. 2．两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平行充要条件求出B，再由两平行线距离公式即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，所以即， 所以两条平行直线与之间的距离为. 故选：D 3．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【分析】依题意可分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，进而结合排列数公式即可求解． 【详解】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数， 即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数， 因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况： ①第一行为奇数，第二行为偶数， ②第一行为偶数，第二行为奇数， 所以共有（种）不同的填法． 故选：C． 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，，将代入渐近线方程，得到，联立方程即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合， 所以双曲线的右焦点为，即， 又因为抛物线的准线方程为，抛物线准线与一条渐近线交于点， 则， 因为点在第三象限，则点在渐近线上，代入得， 则，解得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 6．直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】直三棱柱中，，，为的中点. 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，，， 则，， 设异面直线与所成角为， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 7．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的所有可能取值后，计算其对应概率，结合期望公式计算即可. 【详解】选取次数的所有可能取值为1，2，3，4， 则，，，， 故选取次数的数学期望. 故选：B. 8．已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用椭圆定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ， 所以， ，由椭圆的定义知 ， 即，得 . 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于 的展开式，下列结论正确的是（   ） A．第项为 B．的系数为 C．各项系数和为 D．二项式系数的和为 【答案】ABD 【分析】根据二项式展开式的通项公式、各项系数和以及二项式系数和的相关知识来逐一分析选项. 【详解】对于，其展开式的通项公式为 那么第项，即时，，A正确； 要求的系数，令，则，所以的系数为，B正确； 求各项系数和，令，则，所以各项系数和为，C错误； 根据二项式系数和的性质，二项式的二项式系数和为，D正确。 故选：ABD. 10．已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 【答案】ACD 【分析】利用圆心到直线的距离判断A，作点O关于直线的对称点，结合点与圆的位置关系利用几何法求解最小值判断B，求出圆心到直线的距离，利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得，与半径比较即可判断C，举例法当时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D. 【详解】对于AB，当，时，直线即， 圆即，圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为，故A正确； 如图作点O关于直线的对称点，设，则， 解得，所以，则， 所以的最小值为，故B错误； 当时，圆即， 圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， ，其中， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以任意的，， 故当时，任意的，使圆与直线相交，故C正确； 当时，圆即， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为， 故当时，对任意的，圆与直线均相切，故D正确. 故选：ACD 11．如图，等边的边长为4，为边的中点，将沿折成三棱锥，，B，C，D都在球的球面上．记，，与平面所成的角分别为，，，平面，，与平面所成的角分别为，，，则（    ） A．与所成的角为定值 B．球的表面积的最大值为 C． D．存在点使得 【答案】ACD 【分析】A利用线面垂直得到线线垂直；B利用空间直角坐标系确定外接球半径，再确定外接球表面积；C利用空间直角坐标系与线面夹角的定义求解；D利用空间直角坐标确定平面的法向量，从而求得的坐标. 【详解】方案一：A选项：由题意可得，，，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即与所成的角是，为定值.故A正确. B选项：设，球O的半径为R，外接圆半径为r，则根据正弦定理，可得，即，所以，因为，所以，所以无最大值，即球O的表面积无最大值.故B错误. C选项：如图，过点作，垂足为M，连接CM，易得，平面BCD，则，，，，，. 假设，即，设，，则，，，解得或，与矛盾，所以假设不成立.同理可证当M再BD延长线上时，无解.所以C正确. D选项：如图过点D作DO平面，垂足为O，易得O在的角平分线CE上，连接DE，过点O作ONBC，垂足为N，连接DN.则，，，，，由对称性可知. 【方法一】假设成立，则，即点D在底面的射影为的内心，设，，则，， 所以，，所以， 又，所以，解得.所以D正确. 【方法二】，由对称性可知， 在直角中，， 当时，，，.所以D正确. 方案二：如图建立空间直角坐标系，D为坐标原点，DC为x轴，DB为y轴，垂直于DB为z轴，轴，连接CM，根据等边的边长为4，为边的中点，将沿折成三棱锥，易得，，， 不妨设，显然，，. A选项：，，显然，即与所成的角是，为定值.故A正确. B选项：根据题意不妨设球心，球半径为R， 则，又，， 即， 又化简可得，，所以， 因为，，所以无最大值，即球O的表面积无最大值.故B错误. C选项：显然易得，，， 假设成立，则， 当时解得(舍去)或，与矛盾， 当时，解得(舍去)， 综上所述，无解，假设不成立，所以C正确. D选项：设平面的法向量为，平面的法向量为， 平面的法向量为，平面的法向量为， 假设存在使得成立，即， 根据，，，可得， ，，， 所以， ， ， 所以，又 解得，所以假设成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】一、向量法求线面角的两种方法 （1）分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）. （2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角（夹角为钝角时取其补角），取其余角就是斜线与平面所成的角. 二、向量法求二面角大小的常用方法 （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得夹角得到二面角的大小，但要注意有时需要结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角. （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的太小就是二面角的大小. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数 . x 10 13 18 y 62 38 34 m 【答案】24 【分析】求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可得出实数的值. 【详解】由题意，， ， 所以样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得. 故答案为：24. 13．已知，则二项式的展开式中含项的系数为 . 【答案】 【分析】逆用二项式定理化简已知求得，然后求出二项式展开式的通项，由得，代入求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 则二项式的通项， 令，解得，所以含项的系数为. 故答案为： 14．已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有： . ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 【答案】①③ 【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理求出、关于的表达式判断①，利用基本不等式可判断④的正误，利用弦长公式求出的值，可判断②的正误，利用弦长公式可判断①的正误. 【详解】 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，所以，，， 所以，， 设点、，直线的方程为， 联立，可得，则， 所以，，③正确； ， 解得， ，则，直线的斜率为，②不正确； 对于①，， 同理可得， ，①正确. 四边形的面积为 ， 当且仅当时，等号成立，④错误； 故答案为：①③. 【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 【答案】(1)150 (2)14 【分析】（1）按照1，1，3或1，2，2两种方式，先分组再分配即可； （2）先考虑5人中选3人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用间接法即可. 【详解】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. （2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. 16．（15分）已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断点在圆上，利用，得到切线的斜率，进而可得到切线的方程； （2）转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】（1）由圆，可得，圆心，半径. ∴在圆C上， 又，∴切线的斜率， ∴过点P的圆C的切线方程是， 即. （2）由题可知圆心到直线的距离， ∴， ∴. 17．（15分）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据圆台体积计算圆台的高度，取的中点，的中点就是要找的点，计算，证明中四边形为平行四边形结合三角形中位线，平行的传递性证明结果；（2）以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用公式计算平面与平面的夹角； 【详解】（1）设圆台的高为， 因为上下底面半径分别为1和2，体积为， 所以，所以. 取的中点，连接，则的中点就是要找的点. 证明如下：因为为下底面圆周上一点，，为的中点， 所以. 在三角形中，因为，分别为，的中点， 所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以. （2）如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， ，，，，所以， 所以，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 平面与平面夹角为，则 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（17分）某家电售后平台为提升服务效率并控制成本，收集了过去6个月的“售后技术投入费用”（记为变量，单位：千元）与“售后商品平均单件处理时长”（记为变量，单位：小时）的对应数据，同时保留了售后商品处理方式的历史统计信息.具体数据如下表所示： 月份 一 二 三 四 五 六 售后技术投入费用（千元） 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 平均单件处理时长（小时） 5.8 5.2 4.5 4.0 3.5 3.0 该平台售后商品处理分为两种方式：自主检修（方式）和合作维修（方式）.根据历史数据，每月约有的售后商品选择方式，选择方式，处理规则如下： 方式：初始检修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品中，可通过二次检修修复合格（二次检修成本为180元），剩余不合格商品需报废处理（报废成本为450元）. 方式：初始维修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品直接报废（报废成本为450元）. (1)请根据表中数据，求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若该平台计划在7月份投入4.2千元的售后技术投入费用，根据（1）中所求的回归方程，预测7月份售后商品的平均单件处理时长； (3)从8月份售后商品中随机选取一件，设为该商品的处理成本（单位：元），分别求为0和450的概率. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】(1) (2)3.266小时； (3)0.78；0.172 【分析】（1）根据表中数据和回归直线方程公式求解即可； （2）根据（1）中所求的回归方程代入求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 又 ， 同理可得， 所以， 所以， 所以关于的经验回归方程为. （2）已知7月份售后技术投入费用4.2千元，根据（1）中所求的回归方程代入可得， 因此预测7月份售后商品的平均单件处理时长为3.266小时. （3）由题意可得， . 19．（17分）已知双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为和，其右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点（在的上方），过点分别作的平行线相交于点，过作的平行线与双曲线交于两点（在的上方），再过点分别作的平行线相交于点，这样一直操作下去，可以得到一系列点.证明： ①共线； ②为定值，. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）①根据题意，联立过平行于的直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明；②分别表述出以及的长，然后结合①中的结论，代入计算，即可证明. 【详解】（1）依题意可设， 右焦点为， 两条渐近线分别为和， ，解得， 双曲线的方程为； （2） ①证明：设过平行于的直线为， 与相交于两点， 联立，可得， 该方程有两个不等正实根，故且，解得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，又， 直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 联立，可得交点， 由韦达定理知， 代入坐标可得， 都在直线上； ②证明：由①可设的坐标为， 过的直线的方程为， 由①可知， ， ， ， ， ， 为定值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C D B C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 24 13. 14.①③ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【详解】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. （6分） （2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. （7分） 16．（15分）【详解】（1）由圆，可得，圆心，半径. ∴在圆C上， 又，∴切线的斜率， ∴过点P的圆C的切线方程是， 即. （8分） （2）由题可知圆心到直线的距离， ∴， ∴. （7分） 17．（15分）【详解】（1）设圆台的高为， 因为上下底面半径分别为1和2，体积为， 所以，所以. 取的中点，连接，则的中点就是要找的点. 证明如下：因为为下底面圆周上一点，，为的中点， 所以. 在三角形中，因为，分别为，的中点， 所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以. （6分） （2）如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量为， ，，，，所以， 所以，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 平面与平面夹角为，则 所以平面与平面夹角的余弦值为． （9分） 18．（17分）【详解】（1）由题意得， 又 ， 同理可得， 所以， 所以， 所以关于的经验回归方程为. （7分） （2）已知7月份售后技术投入费用4.2千元，根据（1）中所求的回归方程代入可得， 因此预测7月份售后商品的平均单件处理时长为3.266小时. （5分） （3）由题意可得， . （5分） 19．（17分）【详解】（1）依题意可设， 右焦点为， 两条渐近线分别为和， ，解得， 双曲线的方程为； （4分） （2） ①证明：设过平行于的直线为， 与相交于两点， 联立，可得， 该方程有两个不等正实根，故且，解得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，又， 直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 联立，可得交点， 由韦达定理知， 代入坐标可得， 都在直线上； （8分） ②证明：由①可设的坐标为， 过的直线的方程为， 由①可知， ， ， ， ， ， 为定值. （5分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷（2） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019选择性必修第一册~选择性必修第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理+统计与概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，且，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 2．两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（    ） A． B． C． D． 3．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于 的展开式，下列结论正确的是（   ） A．第项为 B．的系数为 C．各项系数和为 D．二项式系数的和为 10．已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 11．如图，等边的边长为4，为边的中点，将沿折成三棱锥，，B，C，D都在球的球面上．记，，与平面所成的角分别为，，，平面，，与平面所成的角分别为，，，则（    ） A．与所成的角为定值 B．球的表面积的最大值为 C． D．存在点使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数 . x 10 13 18 y 62 38 34 m 13．已知，则二项式的展开式中含项的系数为 . 14．已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有： . ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 16．（15分）已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 17．（15分）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）某家电售后平台为提升服务效率并控制成本，收集了过去6个月的“售后技术投入费用”（记为变量，单位：千元）与“售后商品平均单件处理时长”（记为变量，单位：小时）的对应数据，同时保留了售后商品处理方式的历史统计信息.具体数据如下表所示： 月份 一 二 三 四 五 六 售后技术投入费用（千元） 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 平均单件处理时长（小时） 5.8 5.2 4.5 4.0 3.5 3.0 该平台售后商品处理分为两种方式：自主检修（方式）和合作维修（方式）.根据历史数据，每月约有的售后商品选择方式，选择方式，处理规则如下： 方式：初始检修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品中，可通过二次检修修复合格（二次检修成本为180元），剩余不合格商品需报废处理（报废成本为450元）. 方式：初始维修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品直接报废（报废成本为450元）. (1)请根据表中数据，求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若该平台计划在7月份投入4.2千元的售后技术投入费用，根据（1）中所求的回归方程，预测7月份售后商品的平均单件处理时长； (3)从8月份售后商品中随机选取一件，设为该商品的处理成本（单位：元），分别求为0和450的概率. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 19．（17分）已知双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为和，其右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点（在的上方），过点分别作的平行线相交于点，过作的平行线与双曲线交于两点（在的上方），再过点分别作的平行线相交于点，这样一直操作下去，可以得到一系列点.证明： ①共线； ②为定值，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷（2） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版2019选择性必修第一册~选择性必修第二册（空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理+统计与概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，且，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 2．两条平行直线与（为常数）之间的距离等于（    ） A． B． C． D． 3．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 7．不透明袋子里装有大小､材质完全相同的3个白球､8个黑球，现从中每次随机不放回地抽取1个小球，直到选中第1个黑球为止，则选取次数的数学期望（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于 的展开式，下列结论正确的是（   ） A．第项为 B．的系数为 C．各项系数和为 D．二项式系数的和为 10．已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 11．如图，等边的边长为4，为边的中点，将沿折成三棱锥，，B，C，D都在球的球面上．记，，与平面所成的角分别为，，，平面，，与平面所成的角分别为，，，则（    ） A．与所成的角为定值 B．球的表面积的最大值为 C． D．存在点使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如下表格，由表中数据可得回归方程，则实数 . x 10 13 18 y 62 38 34 m 13．已知，则二项式的展开式中含项的系数为 . 14．已知F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且，直线AB的斜率为k，且，C，A两点在x轴上方，则下列结论中正确的有： . ①；②若则；③；④四边形ACBD面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 16．（15分）已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 17．（15分）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为.为下底面圆周上一点，，为的中点，连接. (1)在下底面以为圆心作一个半径为的圆，求证：在圆上存在一点，使得； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）某家电售后平台为提升服务效率并控制成本，收集了过去6个月的“售后技术投入费用”（记为变量，单位：千元）与“售后商品平均单件处理时长”（记为变量，单位：小时）的对应数据，同时保留了售后商品处理方式的历史统计信息.具体数据如下表所示： 月份 一 二 三 四 五 六 售后技术投入费用（千元） 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 平均单件处理时长（小时） 5.8 5.2 4.5 4.0 3.5 3.0 该平台售后商品处理分为两种方式：自主检修（方式）和合作维修（方式）.根据历史数据，每月约有的售后商品选择方式，选择方式，处理规则如下： 方式：初始检修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品中，可通过二次检修修复合格（二次检修成本为180元），剩余不合格商品需报废处理（报废成本为450元）. 方式：初始维修合格概率为，合格商品无额外成本；不合格商品直接报废（报废成本为450元）. (1)请根据表中数据，求关于的线性回归方程（精确到0.01）； (2)若该平台计划在7月份投入4.2千元的售后技术投入费用，根据（1）中所求的回归方程，预测7月份售后商品的平均单件处理时长； (3)从8月份售后商品中随机选取一件，设为该商品的处理成本（单位：元），分别求为0和450的概率. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 19．（17分）已知双曲线的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为和，其右焦点为. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线交于两点（在的上方），过点分别作的平行线相交于点，过作的平行线与双曲线交于两点（在的上方），再过点分别作的平行线相交于点，这样一直操作下去，可以得到一系列点.证明： ①共线； ②为定值，. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $