专题02 整式的乘除（期末复习讲义，5知识点+16大题型精讲）八年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学期末复习讲义聚焦整式的乘除单元，通过表格梳理幂的运算、整式乘除、因式分解等核心考点，明确复习目标与考情规律，用知识框架图呈现法则、公式的内在联系，突出符号处理、公式逆用等重难点。 讲义以分层题型为特色，从基础的幂运算辨析到综合的实际应用，如“长方形铁皮制作铁盒比较体积”培养数学眼光，结合易错点拨和解题技巧，发展运算能力与推理意识。基础通关练、重难突破练满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题02 整式的乘除（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算法则 1.牢记5类幂的运算法则，能准确区分法则适用条件（如同底数幂相乘要求底数相同）；2.熟练进行幂的混合运算，能正确处理符号（如负数的奇次幂、偶次幂）； 3. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义。 1.题型：选择题、填空题为主，分值3-6分； 2.高频考向：幂的混合运算辨析、负指数幂与科学记数法结合(如用科学记数法表示0.00023); 单项式的乘除运算 1.掌握单项式乘单项式的法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式； 2.掌握单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的因式； 3.能熟练进行含系数、符号的单项式乘除计算，结果化为最简形式。 1.题型：填空题、计算题，常作为多项式运算的基础步骤； 2.高频考向：含字母系数的单项式乘除；单项式除法求参数； 易错点：系数计算错误（如负系数相乘符号处理失误）、遗漏单独字母因式。 多项式的乘法运算 1.掌握单项式乘多项式的分配律：能避免漏乘项；2.掌握多项式乘多项式法则：能正确展开并合并同类项；3.熟记平方差公式和完全平方公式,能识别公式适用条件，灵活进行简便运算；4.能运用公式进行代数式求值 1.题型：选择题、填空题、解答题，分值6-10分； 2.高频考向：公式的直接应用、公式的变形应用(如a²+b²=(a+b)²-2ab)、多项式乘法的混合运算； 多项式除以单项式 掌握法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，能熟练进行多项式除以单项式的运算，注意项的符号和同类项合并 1.题型：填空题、计算题，单独考查较少，多与多项式乘法结合出现在混合运算中； 2.高频考向：含符号的多项式除法除法运算后的化简求值； 3.易错点：多项式的项与单项式相除时符号错误、漏除常数项 因式分解 熟练掌握提公因式法：能快速找出多项式各项的最大公因式，准确提取公因式。 熟练掌握公式法：熟记平方差公式、完全平方公式，能识别公式适用条件，灵活正用、逆用公式。 掌握十字相乘法：能快速分解常数项，找到合适的p、q使分解成立(期末高频考查)。 基础题型：选择题、填空题（3-6 分），考查因式分解的定义辨析、单一方法应用（如提公因式、公式法直接分解）。​ 中档题型：填空题、解答题（4-8 分），考查十字相乘法分解、因式分解的混合方法应用（先提公因式再套公式）。​ 综合题型：解答题（6-10 分），与分式化简求值、一元二次方程求解、代数式最值问题结合，因式分解作为核心步骤。 知识点01 幂的运算 幂的运算包含5类核心法则，均要求底数a≠0，指数m、n为整数 法则名称 表达式 语言描述 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1 负整数指数幂 任何不等于0的数的−p次幂，等于这个数的p次幂的倒数 知识点02 整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 法则：系数相乘作为 的系数；同底数幂分别相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同指数作为积的一个因式。 注意：系数相乘时注意符号(如负系数相乘，奇负偶正)。 2.单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 (分配律)，即。 示例 注意：单项式乘多项式时，不要漏乘常数项；符号由“同号得正，异号得负”确定。 3.多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即。 示例： 注意：多项式乘多项式容易漏项，可按“先首项、再交叉、最后末项”的顺序计算；结果要合并同类项。 知识点03 乘法公式（多项式乘多项式的特殊形式，简便运算核心） 公式名称 表达式 语言描述 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 1.完全平方公式的变形（核心变形，高频考点） 2.拓展乘法公式 知识点04 整式的除法运算 1.单项式除以单项式 法则内容 解题步骤 示例 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 1. ：按有理数的除法计算系数的商 2. ：按照同底数幂的除法法则计算 3. ：只在被除式出现的字母，保留在商中 2.多项式除以单项式 法则内容 解题步骤 示例 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加 1. ：将多项式的每一项除以单项式 2. ：按照单项式除以单项式的法则计算每一项的商 3. ：将所得的商相加（注意符号） 知识点05 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个 的 的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式 注意：1.结果是整式乘积形式，不是和差形式 2.因式分解与整式乘法是互逆运算： 整式乘法： 因式分解： 2.常见的因式分解方法 因式分解的基本原则：先提公因式，再用公式法，最后检查是否彻底 ①提取公因式法（最基础、优先使用） 核心内容（提取公因式） 解题步骤 示例 公因式定义：多项式各项都含有的公共因式 提公因式法则：pa+pb+pc=p(a+b+c) 1. 找公因式： 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项都含有的相同字母 指数：取相同字母的最低次幂 2. 提公因式：将公因式提到括号外，括号内为各项除以公因式的商 分解因式： ②公式法（核心方法，基于乘法公式逆用） 核心内容 因式分解 适用条件 平方差公式 多项式是两项平方差形式 完全平方公式 多项式是三项完全平方式，满足 “首平方、尾平方、中间 2 倍首尾积” 立方和立方差公式 适用于两项立方和 / 差形式 3.十字相乘法（中考高频，适用于二次三项式） （1）二次项系数为1的二次三项式 分解原理：找到两个数m、n,满足且 （2）二次项系数不为1的二次三项式 分解原理：十字交叉相乘再相加等于一次项系数 题型一 利用幂的运算判断选项是否正确 易｜错｜点｜拨 在中考中，幂的运算相关选择题/判断题是高频基础题型，核心考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方三大法则的应用，学生容易因法则混淆、符号处理失误、特殊值忽略等出错。 易错点 错误示例 正确法则 同底数幂相乘vs幂的乘方混淆 错误： 错误： 同底数幂相乘：(指数相加) 幂的乘方：(指数相乘) 同底数幂相除vs幂的乘方混淆 错误： 错误： 同底数幂相除：） 幂的乘方： 积的乘方漏乘因式 错误： 错误： 积的乘方：(每个因式分别乘方) 【典例1】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 题型二 幂的逆运算 解｜题｜技｜巧 幂的逆运算核心是反向应用幂的运算法则，常考题型包括求指数、求底数、代数式化简求值等，解题的关键是抓住 “底数相同则指数相等”“指数相同则底数满足对应关系” 这两个核心原则。以下是结构化的解题思路梳理： 正向运算 逆向运算 适用场景 同底数幂相乘 拆分指数，凑已知条件 同底数幂相除 拆分指数，转化为已知幂的商 幂的乘方 指数变形，匹配已知幂的指数 积的乘方 合并不同底数的幂，构造积的乘方 零指数幂 已知幂的值为1,求指数或底数 负整数指数幂 分式转化为幂的形式，统一运算 【典例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【变式1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知，，则 ． 【变式2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）若，则 ． 【变式3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）若，，则 ． 题型三 利用幂的逆运算化简式子 【典例3】(24-25八上·吉林白城洮北区·期末)计算： ． 【变式1】(22-23八上·吉林长春朝阳区·期末)计算： ． 【变式2】(25-26八上·福建泉州培元中学·期中)下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 题型四 幂的运算综合计算 解｜题｜技｜巧 幂的运算综合题通常融合同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负整数指数幂 等知识点，解题核心是遵循运算顺序，正确套用法则，分步化简。以下是结构化的解题步骤 一、核心运算顺序(优先级从高到低) 1.处理括号内的运算：先算小括号，再算中括号。 2.计算乘方：优先计算幂的乘方、积的乘方。 3.计算乘除：同底数幂的乘除按从左到右的顺序进行。 4.计算加减：最后合并同类项(若有)。 5.特殊幂处理：零指数幂、负整数指数幂随时化简。 【典例4】(24-25八上·湖北随州曾都区·期末)计算： (1)； (2) 【变式1】(24-25八上·四川广安邻水县·期末)计算： 【变式2】(24-25八上·云南昆明八中教育集团·期中)计算： (1)； (2)． 题型五 整式的乘除混合运算 【典例5】(24-25八上·湖北云梦县·期末)计算∶ (1) (2) 【变式1】(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期末)计算： 【变式2】(24-25八上·内蒙古·期末)计算：． 【变式3】(23-24八上·云南玉溪红塔区·期末)计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 整式乘法中化简求值问题 解｜题｜技｜巧 整式乘法的化简求值题，核心是先通过整式乘法法则化简代数式，再代入数值计算，避免直接代入导致的复杂运算。这类题常结合单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式（平方差、完全平方）考查，解题步骤清晰且有明确的技巧可循。 步骤 操作要点 法则依据 去括号 （1）单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，注意符号 （2）多项式乘多项式：按 “分配律” 展开，避免漏项 （3）有括号先去小括号，再去中括号 单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc多项式乘多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式：(a±b)²=a²±2ab+b²; (a+b)(a—b)=a²-b² 合并同类项 找出同类项（所含字母相同，相同字母指数也相同），合并系数，字母和指数不变 同类项合并法则： 带入求值 （1）观察化简后的式子是否为最简形式（无同类项、无括号） （2）代入已知数值，注意符号代入和运算顺序 （3）计算结果 有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 【典例6】(24-25八上·北京·期末)化简求值：，其中． 【变式1】(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)先化简再求值：其中． 【变式2】(24-25八上·吉林长春高新区慧仁学校·期末)先化简，再求值：，其中． 题型七 整式乘法中不含某一项的问题 解｜题｜点｜拨 整式乘法中 “不含某一项” 的核心含义是：该项的系数为0。这类题常结合单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式考查，解题关键是先展开化简代数式，再根据“目标项系数为“0”列方程求解参数。 步骤 操作要点 示例说明 1. 整式展开 按整式乘法法则展开原式： 单项式 × 多项式：逐项相乘，不遗漏 多项式 × 多项式：按 “分配律” 展开（或用乘法公式） 有括号先去括号，注意符号 2.合并同类项 把同类项的系数相加，整理成“标准多项式形式” 上例合并同类项 3.确定目标项，令系数为 0 找到题目要求“不含”的项，令其系数等于0（常数项的系数就是常数项本身；没有的项系数默认为0） 4. 解方程求参数 解关于参数的一元一次方程，得到参数的值 5. 验证（可选） 把参数值代回原式，展开后检查是否真的不含目标项 ，原式展开后一次项消失，验证成立 【典例7】(24-25八上·江西赣州章贡区·期末)若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)比较的大小； (3)是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由． 【变式1】(24-25八上·四川绵阳三台县·期末)要使关于的代数式不含一次项，则的值为 ． 【变式2】(24-25八上·广东湛江雷州第三中学·期末)已知的展开式中不含x项，常数项是． (1)求m、n的值： (2)当m、n取第（1）小题的值时，先化简，再求值：． 题型八 （x+p）（x+q）型求参数的值 【典例8】(24-25八·湖北襄阳樊城区第五中学·期末)已知，则的值为 ． 【变式1】(24-25八上·青海格尔木第五中学·期末)若，则的值为 ． 【变式2】(23-24八上·河南漯河郾城区·期末)如果，则的值为 ． 题型九 整式乘法的实际应用 【典例9】(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 【变式1】(23-24八上·湖南衡阳常宁·期末)如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．    (1)用含的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积． (2)如果，，会议厅比会客室大多少平方米？ 【变式2】(24-25八上·青海格尔木第五中学·期末)如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 题型十 利用完全平方公式求某一下项系数 【典例10】(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族榕江县民族中学·期末)如果是一个完全平方式，则k的值是（     ） A．8 B． C．16 D． 【变式1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)如果多项式是完全平方式，则 ． 【变式2】(24-25八下·江苏泰州靖江实验学校·期末)已知二次三项式是一个完全平方式，则 ． 题型十一 乘法公式在几何中的应用 【典例11】(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期末)如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)如图，用四张相同的长方形纸片拼成的图形，利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于的等式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25八·广东东莞·期末)如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系是______； (3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值； (4)变式应用：若，求． 【变式3】(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)将边长为的正方形按如图所示分割成四部分． (1)观察图形，请直接写出式子，之间的等量关系； (2)，则___________； (3)若，求的值． 【变式4】(24-25八上·广东湛江某校·期末)综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 题型十二 利用乘法公式求参数的值 解｜题｜技｜巧 利用乘法公式求代数式的值的核心思路是 “观察代数式结构→匹配乘法公式→通过变形 / 代换简化计算”，避免直接代入复杂数值运算，提升解题效率和准确性。 一、核心乘法公式梳理 先明确初中阶段常用的乘法公式，这是解题的基础工具： 公式类型 公式表达式 适用场景 平方差公式 两个数的和与差相乘；已知a+b、a-b求a²-b²,或反之 完全平方公式 已知a+b(或a-b)和ab,求a²+b²;或已知a²+b²和ab,求a+b(或a-b) 完全平方公式变形 二、通用解题步骤 1.观察已知条件与目标代数式的结构 ①标记已知条件中的关键量，比如。 ②分析目标代数式的形式，判断它能否转化为上述公式的形式。 例：已知，求，目标式可变形为。 2.匹配乘法公式，进行代数变形 若目标式是平方和、平方差、完全平方式，直接套用公式转化。 若目标式是多项式，先因式分解(如用平方差公式),再代入计算。 例：已知，求，由平方差公式得,则。 3.代入已知数值计算 将变形后的式子中的“整体量”替换为已知数值，计算出最终结果。 ○注意符号：完全平方公式中 ，平方差公式中。 4.验证结果合理性(可选) 代入特殊值检验，或反向推导验证变形是否正确。 【典例12】(24-25八上·福建南平·期末)若，，则的值是 ． 【变式1】(20-21八上·江西南昌南昌县·期末)已知，．则式子 ． 【变式2】(24-25八上·福建厦门思明区区·期末)已知，，那么的值为 ． 【变式3】(24-25八上·重庆巫山县·期末)已知，则的值为 ． 【变式4】(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)若，，则 ． 题型十三 因式分解计算综合 【典例13】(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期末)因式分解： (1) (2) 【变式1】(23-24八下·甘肃酒泉第六片区·期末)因式分解： (1)； (2)． 【变式2】(24-25八上·甘肃古浪县直滩初级中学·期末)因式分解： (1) (2) (3) (4) 题型十四 因式分解求参数的值 【典例14】(24-25八上·湖北安陆·期末)已知，则的值是 ． 【变式1】(24-25八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·期末)已知，则 ． 【变式2】(24-25八上·江苏南通如皋·期末)已知实数，满足，，则 ． 题型十五 因式分解的应用 【典例15】(24-25八上·陕西西安阎良区·期末)长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 【变式1】(24-25八·陕西延安新区·期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【变式2】(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 题型十六 因式分解选题压轴 【典例16】(23-24八上·重庆江津区·期末)如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵，∴352是“和好数”，把一个和好数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数是“和好数”，且是完全平方数，则所有符合条件的的最大值为 ． 【变式1】(23-24八上·重庆北碚区·期末)若一个各个数位均不相等的四位数，满足，则我们称为“公平数”．若将“公平数”的个位数字与千位数字对调，十位数字与百位数字对调，得到一个新的“公平数”，规定．例如：，则 ．若的值能被7整除，则满足条件的“公平数”的最大值是 ． 【变式2】(23-24八上·重庆彭水苗族土家族自治县·期末)如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·安徽黄山·期末)已知正方形的边长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·甘肃武威·期末)已知，则 ． 5．(24-25八上·湖北云梦县·期末)已知，则 ． 6．(24-25八上·山东德州武城县·期末)阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 7．(24-25八·陕西延安新区·期末)如图，某市有一块长米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处（正方形）将修建一座雕像．求绿化的面积． 8．(24-25八上·河南驻马店上蔡县·期末)如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知  ，，则 ． ②计算：． ③计算： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25八上·天津东丽区·期末)无论为任意实数，代数式的值（　　） A．可能为负数 B．总不小于10 C．可为任意实数 D．总不小于5 2．(23-24八上·福建泉州培元中学·期中)若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·黑龙江牡丹江·期末)若，则 ． 4．(24-25八·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，1号水稻试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，2号水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田都收获了的水稻，则较高的单位面积产量是较低的单位面积产量的 倍． 5．(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯东胜·期末)【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的公式是 ； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 ； 【拓展应用】直接用你发现的公式计算： 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(2025·山东省滨州市·中考真题)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(2025·山东省德州市·中考真题)已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(2025·甘肃甘南·中考真题)分解因式： ． 4．(2025·浙江·中考真题)【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 5．(2025·江苏省盐城市·中考真题)先化简，再求值：，其中． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算法则 1.牢记5类幂的运算法则，能准确区分法则适用条件（如同底数幂相乘要求底数相同）；2.熟练进行幂的混合运算，能正确处理符号（如负数的奇次幂、偶次幂）； 3. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义。 1.题型：选择题、填空题为主，分值3-6分； 2.高频考向：幂的混合运算辨析、负指数幂与科学记数法结合(如用科学记数法表示0.00023); 单项式的乘除运算 1.掌握单项式乘单项式的法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数作为积的因式； 2.掌握单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同指数作为商的因式； 3.能熟练进行含系数、符号的单项式乘除计算，结果化为最简形式。 1.题型：填空题、计算题，常作为多项式运算的基础步骤； 2.高频考向：含字母系数的单项式乘除；单项式除法求参数； 易错点：系数计算错误（如负系数相乘符号处理失误）、遗漏单独字母因式。 多项式的乘法运算 1.掌握单项式乘多项式的分配律：能避免漏乘项；2.掌握多项式乘多项式法则：能正确展开并合并同类项；3.熟记平方差公式和完全平方公式,能识别公式适用条件，灵活进行简便运算；4.能运用公式进行代数式求值 1.题型：选择题、填空题、解答题，分值6-10分； 2.高频考向：公式的直接应用、公式的变形应用(如a²+b²=(a+b)²-2ab)、多项式乘法的混合运算； 多项式除以单项式 掌握法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，能熟练进行多项式除以单项式的运算，注意项的符号和同类项合并 1.题型：填空题、计算题，单独考查较少，多与多项式乘法结合出现在混合运算中； 2.高频考向：含符号的多项式除法除法运算后的化简求值； 3.易错点：多项式的项与单项式相除时符号错误、漏除常数项 因式分解 熟练掌握提公因式法：能快速找出多项式各项的最大公因式，准确提取公因式。 熟练掌握公式法：熟记平方差公式、完全平方公式，能识别公式适用条件，灵活正用、逆用公式。 掌握十字相乘法：能快速分解常数项，找到合适的p、q使分解成立(期末高频考查)。 基础题型：选择题、填空题（3-6 分），考查因式分解的定义辨析、单一方法应用（如提公因式、公式法直接分解）。​ 中档题型：填空题、解答题（4-8 分），考查十字相乘法分解、因式分解的混合方法应用（先提公因式再套公式）。​ 综合题型：解答题（6-10 分），与分式化简求值、一元二次方程求解、代数式最值问题结合，因式分解作为核心步骤。 知识点01 幂的运算 幂的运算包含5类核心法则，均要求底数a≠0，指数m、n为整数 法则名称 表达式 语言描述 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减 幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1 负整数指数幂 任何不等于0的数的−p次幂，等于这个数的p次幂的倒数 知识点02 整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 法则：系数相乘作为积的系数；同底数幂分别相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同指数作为积的一个因式。 注意：系数相乘时注意符号(如负系数相乘，奇负偶正)。 2.单项式乘多项式 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加(分配律)，即。 示例 注意：单项式乘多项式时，不要漏乘常数项；符号由“同号得正，异号得负”确定。 3.多项式乘多项式 法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 示例： 注意：多项式乘多项式容易漏项，可按“先首项、再交叉、最后末项”的顺序计算；结果要合并同类项。 知识点03 乘法公式（多项式乘多项式的特殊形式，简便运算核心） 公式名称 表达式 语言描述 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍 1.完全平方公式的变形（核心变形，高频考点） 2.拓展乘法公式 知识点04 整式的除法运算 1.单项式除以单项式 法则内容 解题步骤 示例 单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 1.系数相除：按有理数的除法计算系数的商 2.同底数幂相除：按照同底数幂的除法法则计算 3.单独字母处理：只在被除式出现的字母，保留在商中 2.多项式除以单项式 法则内容 解题步骤 示例 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加 1.分项相除：将多项式的每一项除以单项式 2.计算单项商：按照单项式除以单项式的法则计算每一项的商 3.合并商项：将所得的商相加（注意符号） 知识点05 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式 注意：1.结果是整式乘积形式，不是和差形式 2.因式分解与整式乘法是互逆运算： 整式乘法： 因式分解： 2.常见的因式分解方法 因式分解的基本原则：先提公因式，再用公式法，最后检查是否彻底 ①提取公因式法（最基础、优先使用） 核心内容（提取公因式） 解题步骤 示例 公因式定义：多项式各项都含有的公共因式 提公因式法则：pa+pb+pc=p(a+b+c) 1. 找公因式： 系数：取各项系数的最大公约数 字母：取各项都含有的相同字母 指数：取相同字母的最低次幂 2. 提公因式：将公因式提到括号外，括号内为各项除以公因式的商 分解因式： ②公式法（核心方法，基于乘法公式逆用） 核心内容 因式分解 适用条件 平方差公式 多项式是两项平方差形式 完全平方公式 多项式是三项完全平方式，满足 “首平方、尾平方、中间 2 倍首尾积” 立方和立方差公式 适用于两项立方和 / 差形式 3.十字相乘法（中考高频，适用于二次三项式） （1）二次项系数为1的二次三项式 分解原理：找到两个数m、n,满足且 （2）二次项系数不为1的二次三项式 分解原理：十字交叉相乘再相加等于一次项系数 题型一 利用幂的运算判断选项是否正确 易｜错｜点｜拨 在中考中，幂的运算相关选择题/判断题是高频基础题型，核心考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方三大法则的应用，学生容易因法则混淆、符号处理失误、特殊值忽略等出错。 易错点 错误示例 正确法则 同底数幂相乘vs幂的乘方混淆 错误： 错误： 同底数幂相乘：(指数相加) 幂的乘方：(指数相乘) 同底数幂相除vs幂的乘方混淆 错误： 错误： 同底数幂相除：） 幂的乘方： 积的乘方漏乘因式 错误： 错误： 积的乘方：(每个因式分别乘方) 【典例1】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法，根据各自的运算法则对各项进行运算即可判断． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则分别计算即可找出正确答案． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、与不是同类项，不能合并，因此选项错误，不符合题意； C、，因此选项错误，不符合题意； D、，因此选项错误，不符合题意； 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】 辽宁省抚顺市新宾县2021-2022学年八年级上学期期末教学质量检测数学试题 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法和除法法则及合并同类项法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则依次判断即可． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 题型二 幂的逆运算 解｜题｜技｜巧 幂的逆运算核心是反向应用幂的运算法则，常考题型包括求指数、求底数、代数式化简求值等，解题的关键是抓住 “底数相同则指数相等”“指数相同则底数满足对应关系” 这两个核心原则。以下是结构化的解题思路梳理： 正向运算 逆向运算 适用场景 同底数幂相乘 拆分指数，凑已知条件 同底数幂相除 拆分指数，转化为已知幂的商 幂的乘方 指数变形，匹配已知幂的指数 积的乘方 合并不同底数的幂，构造积的乘方 零指数幂 已知幂的值为1,求指数或底数 负整数指数幂 分式转化为幂的形式，统一运算 【典例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，逆用法则是解决本题的关键． 直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：， ， 则 ． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知，，则 ． 【答案】3 【分析】利用同底数幂除法法则可得，，则，从而求得答案． 本题考查整式的混合运算，将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：3． 【变式2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据可得，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式3】（24-25八年级上·河南安阳·期末）若，，则 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法逆运算；根据幂的乘方计算法则得到，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 题型三 利用幂的逆运算化简式子 【典例3】(24-25八上·吉林白城洮北区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算．逆用积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】(22-23八上·吉林长春朝阳区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法与积的乘方的法则，进行计算即可解答． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 【变式2】(25-26八上·福建泉州培元中学·期中)下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型四 幂的运算综合计算 解｜题｜技｜巧 幂的运算综合题通常融合同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数幂、负整数指数幂 等知识点，解题核心是遵循运算顺序，正确套用法则，分步化简。以下是结构化的解题步骤 一、核心运算顺序(优先级从高到低) 1.处理括号内的运算：先算小括号，再算中括号。 2.计算乘方：优先计算幂的乘方、积的乘方。 3.计算乘除：同底数幂的乘除按从左到右的顺序进行。 4.计算加减：最后合并同类项(若有)。 5.特殊幂处理：零指数幂、负整数指数幂随时化简。 【典例4】(24-25八上·湖北随州曾都区·期末)计算： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先运用平方差公式以及单项式乘多项式的法则，进行计算，再合并同类项； （2）先算积的乘方，再进行单项式的乘除运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考考查整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【变式1】(24-25八上·四川广安邻水县·期末)计算： 【答案】 【分析】先根据同底数幂相乘，积的乘方，单项式除以单项式法则计算，再合并，即可求解． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握同底数幂相乘，积的乘方，单项式除以单项式法则是解题的关键． 【变式2】(24-25八上·云南昆明八中教育集团·期中)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，主要是幂的运算，多项式与多项式的乘法，准确熟练地掌握运算法则和公式是解题的关键． （1）先进行幂的运算，后算加减，即可解答； （2）利用多项式乘多项式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 整式的乘除混合运算 【典例5】(24-25八上·湖北云梦县·期末)计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，涉及单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则计算； （2）根据多项式乘以多项式运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】(24-25八上·吉林长春榆树慧望初级中学·期末)计算： 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】解： ． 【变式2】(24-25八上·内蒙古·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】解： ． 【变式2】(23-24八上·云南玉溪红塔区·期末)计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)4(4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算减法，即可解答； （2）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答； （3）将写成，利用平方差公式，进行计算即可解答； （4）先提取公因式，再计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型六 整式乘法中化简求值问题 解｜题｜技｜巧 整式乘法的化简求值题，核心是先通过整式乘法法则化简代数式，再代入数值计算，避免直接代入导致的复杂运算。这类题常结合单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式（平方差、完全平方）考查，解题步骤清晰且有明确的技巧可循。 步骤 操作要点 法则依据 去括号 （1）单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，注意符号 （2）多项式乘多项式：按 “分配律” 展开，避免漏项 （3）有括号先去小括号，再去中括号 单项式乘多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc多项式乘多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式：(a±b)²=a²±2ab+b²; (a+b)(a—b)=a²-b² 合并同类项 找出同类项（所含字母相同，相同字母指数也相同），合并系数，字母和指数不变 同类项合并法则： 带入求值 （1）观察化简后的式子是否为最简形式（无同类项、无括号） （2）代入已知数值，注意符号代入和运算顺序 （3）计算结果 有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 【典例6】(24-25八上·北京·期末)化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算并求值；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)先化简再求值：其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、平方差公式和代数式求值，主要考查学生的化简能力和计算能力．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】(24-25八上·吉林长春高新区慧仁学校·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算得到答案，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型七 整式乘法中不含某一项的问题 解｜题｜点｜拨 整式乘法中 “不含某一项” 的核心含义是：该项的系数为0。这类题常结合单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式考查，解题关键是先展开化简代数式，再根据“目标项系数为“0”列方程求解参数。 步骤 操作要点 示例说明 1. 整式展开 按整式乘法法则展开原式： 单项式 × 多项式：逐项相乘，不遗漏 多项式 × 多项式：按 “分配律” 展开（或用乘法公式） 有括号先去括号，注意符号 2.合并同类项 把同类项的系数相加，整理成“标准多项式形式” 上例合并同类项 3.确定目标项，令系数为 0 找到题目要求“不含”的项，令其系数等于0（常数项的系数就是常数项本身；没有的项系数默认为0） 4. 解方程求参数 解关于参数的一元一次方程，得到参数的值 5. 验证（可选） 把参数值代回原式，展开后检查是否真的不含目标项 ，原式展开后一次项消失，验证成立 【典例7】(24-25八上·江西赣州章贡区·期末)若的积中不含x项与项． (1)求p，q的值； (2)比较的大小； (3)是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）利用多项式乘法法则展开后合并同类项，根据积中不含x项与项得到即可得到p，q的值； （2）根据（1）中得到的p，q的值分别计算，即可得出结论； （3）把p，q的值代入进行判断和分解因式即可． 【详解】（1） ∵多项式中不含x项与项， ∴ ∴； （2），，， ∴； （3）是完全平方式， ∵． 【点睛】此题考查多项式乘法、负整数指数幂、零指数幂、因式分解等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式1】(24-25八上·四川绵阳三台县·期末)要使关于的代数式不含一次项，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用多项式乘以多项式法则计算，然后令一次项系数为0，再解方程即可． 【详解】解： ∵代数式不含一次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】(24-25八上·广东湛江雷州第三中学·期末)已知的展开式中不含x项，常数项是． (1)求m、n的值： (2)当m、n取第（1）小题的值时，先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先根据整式的乘法运算法则化简，然后根据题意得到，即可求出m、n的值； （2）首先根据整式的混合运算法则化简，然后代入求解即可． 【详解】（1） ， ∵的展开式中不含x项，常数项是， ∴， 解得； （2） ， 当时，原式． 【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 题型八 （x+p）（x+q）型求参数的值 【典例8】(24-25八·湖北襄阳樊城区第五中学·期末)已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 【变式1】(24-25八上·青海格尔木第五中学·期末)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再等号的左右对比系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】(23-24八上·河南漯河郾城区·期末)如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 题型九 整式乘法的实际应用 【典例9】(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 【答案】图（2）比图（1）的体积更大，理由见解析 【分析】本题考查了长方体的体积公式，长方体的展开图，单项式乘单项式的应用，根据展开图分别计算出图（1）、（2）的体积，比较即可． 【详解】解：图（2）比图（1）的体积最大，理由如下： 图（1）中长方体铁盒的长为，则宽为，高为， 则体积为； 图（2）中长方体铁盒的长为，则宽为，高为， 则体积为； ∵，且， ∴， ∴， ∴图（2）比图（1）的体积更大． 【变式1】(23-24八上·湖南衡阳常宁·期末)如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．    (1)用含的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积． (2)如果，，会议厅比会客室大多少平方米？ 【答案】(1)会客室的面积为平方米，会议厅的面积为平方米 (2)39平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，已知式子的值，求代数式的值等知识． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 【详解】（1）解：由图形得，会客室的长为米，宽为米， ∴会客室的面积为平方米； 会议厅的长为米，宽为米， ∴会议厅的面积为平方米； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， 平方米． 答：会议厅比会客室大39平方米． 【变式2】(24-25八上·青海格尔木第五中学·期末)如图，一个小长方形的长为，宽为，将6个大小相同的小长方形放入大长方形内（无重叠）． (1)用含、的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含、的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，大长方形面积为，大长方形中阴影部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)大长方形面积：；阴影部分的面积： (3)5 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积，代入，即可求解． 【详解】（1）解：大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 阴影部分的面积： ； （3）当时， 由（2）得， ∴． 题型十 利用完全平方公式求某一下项系数 【典例10】(24-25八上·贵州黔东南苗族侗族榕江县民族中学·期末)如果是一个完全平方式，则k的值是（     ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方式的定义，根据完全平方式的定义，列出关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工业大学附属中学·期末)如果多项式是完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【变式2】(24-25八下·江苏泰州靖江实验学校·期末)已知二次三项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】3或 【分析】根据完全平方公式的表现形式可得，解得m的值即可． 本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ， 即， 解得：或， 故答案为：3或． 题型十一 乘法公式在几何中的应用 【典例11】(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期末)如图，分割正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．根据题意可得拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， 【详解】解：根据题意得：拼接成长方形的面积大正方形的面积小正方形的面积， ∴． 故选：D 【变式2】(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)如图，用四张相同的长方形纸片拼成的图形，利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键． 由图知，空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可． 【详解】解：由图知，空白部分为一个正方形，其边长为，所以其面积为 又空白部分面积大正方形面积四个相同的长方形面积， 即空白部分面积 ， ； 故选：B． 【变式2】(24-25八·广东东莞·期末)如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)如图1，面积为______；如图2，阴影部分的面积为________； (2)观察图2请你写出之间的等量关系是______； (3)根据（2）中的结论，解决问题：若，，求的值； (4)变式应用：若，求． 【答案】(1)；； (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键． （1）根据图形直接列代数式即可； （2）从整体和个体两方面分析大正方形的面积解答； （3）代入（2）中结论计算即可； （4）设， 得 ， ，再结合（2）中结论解答即可． 【详解】（1）解：如图1，面积为， 如图2，阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）解：由图2可知：大正方形的面积为，或， ， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的结论，可得： ， 把，代入， ， 故或； （4）解：设，                        ， ，    ， ， ， ， ，         ． 故的值为． 【变式3】(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)将边长为的正方形按如图所示分割成四部分． (1)观察图形，请直接写出式子，之间的等量关系； (2)，则___________； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键． （1）根据图中条件得，该图形的总面积，该图形的总面积，由此得到关系式； （2）由（1）可知，再将已知条件代入得到，解得：； （3）设，，则，，根据，得出，求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据图中条件得， 该图形的总面积， 该图形的总面积； ∴，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，， 解得：， 故答案为：2； （3）解：设，， 则，， ， ， ， ， ∴． 【变式4】(24-25八上·广东湛江某校·期末)综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)36 (3)10 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据 ，然后代入相关数据计算即可． 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴； （3）解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ． ∴阴影部分的面积为10． 题型十二 利用乘法公式求参数的值 解｜题｜技｜巧 利用乘法公式求代数式的值的核心思路是 “观察代数式结构→匹配乘法公式→通过变形 / 代换简化计算”，避免直接代入复杂数值运算，提升解题效率和准确性。 一、核心乘法公式梳理 先明确初中阶段常用的乘法公式，这是解题的基础工具： 公式类型 公式表达式 适用场景 平方差公式 两个数的和与差相乘；已知a+b、a-b求a²-b²,或反之 完全平方公式 已知a+b(或a-b)和ab,求a²+b²;或已知a²+b²和ab,求a+b(或a-b) 完全平方公式变形 二、通用解题步骤 1.观察已知条件与目标代数式的结构 ①标记已知条件中的关键量，比如。 ②分析目标代数式的形式，判断它能否转化为上述公式的形式。 例：已知，求，目标式可变形为。 2.匹配乘法公式，进行代数变形 若目标式是平方和、平方差、完全平方式，直接套用公式转化。 若目标式是多项式，先因式分解(如用平方差公式),再代入计算。 例：已知，求，由平方差公式得,则。 3.代入已知数值计算 将变形后的式子中的“整体量”替换为已知数值，计算出最终结果。 ○注意符号：完全平方公式中 ，平方差公式中。 4.验证结果合理性(可选) 代入特殊值检验，或反向推导验证变形是否正确。 【典例12】(24-25八上·福建南平·期末)若，，则的值是 ． 【答案】4或 【分析】用完全平方公式即可求得的值，开平方可得的值；本题考查了完全平方公式和平方根． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：4或． 【变式1】(20-21八上·江西南昌南昌县·期末)已知，．则式子 ． 【答案】 【分析】已知，可对其两边同时平方得到的值，再根据完全平方公式展开，然后将代入展开式，通过计算即可求出的值．本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ， 解得． 故答案为：． 【变式2】(24-25八上·福建厦门思明区区·期末)已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式．根据平方差公式、完全平方公式的进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】(24-25八上·重庆巫山县·期末)已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质．先把等式的左边利用完全平方公式进行运算，再根据非负数的性质求出x、y的值，再代入计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式4】(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)若，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键．先求解，再由可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴； 故答案为：1． 题型十三 因式分解计算综合 【典例13】(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期末)因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，然后根据完全平方公式，进行求解即可； （2）先提公因式，然后根据平方差公式，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】(23-24八下·甘肃酒泉第六片区·期末)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）先将原式写成平方差公式的形式，然后再运用平方差公式因式分解即可． （2）用完全平方公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】(24-25八上·甘肃古浪县直滩初级中学·期末)因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查提公因式法与公式法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式进行因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十四 因式分解求参数的值 【典例14】(24-25八上·湖北安陆·期末)已知，则的值是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：25． 【变式1】(24-25八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确分解因式是解题关键．直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故答案为：． 【变式2】(24-25八上·江苏南通如皋·期末)已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将等式括号中的代数式配方后，利用完全平方式的非负性确定与的值，即可求出的值． 【详解】， ， 即， ，， ，， 又，且， ，， 解得，， ， ， 得， 故答案为：． 题型十五 因式分解的应用 【典例15】(24-25八上·陕西西安阎良区·期末)长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，如果将原长方形的长和宽分别增加3厘米，得到的新长方形面积记为S1，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为S2． (1)用含a、b的式子分别表示S1和S2； (2)若a、b为正整数，请说明：S1与S2的差一定是5的倍数． 【答案】(1)， (2)见解析． 【分析】本题考查了整式乘法的应用，整式的加减以及因式分解的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意及整式的乘法求解即可； （2）根据（1）中结果作差，然后分解因式即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ， （2）， ， ， ， 所以与的差一定是5的倍数． 【变式1】(24-25八·陕西延安新区·期末)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，…，因此12，20，28这三个数都是奇巧数． (1)设两个连续偶数为，（其中n为正整数），由这两个连续偶数构造的奇巧数是8的倍数吗？为什么？ (2)研究发现：任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数，请给出验证． 【答案】(1)这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）先根据平方差公式对两个连续偶数的平方差进行化简，再分析结果是否为8的倍数； （2）通过对两个连续“奇巧数”作差，化简后看结果是否为固定值． 【详解】（1）解：这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数，理由如下： 因为， 所以这两个连续偶数构造的奇巧数不是8的倍数． （2）证明：因为 ， 所以任意两个连续“奇巧数”之差是同一个数． 【变式2】(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得 ，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 题型十六 因式分解选题压轴 【典例16】(23-24八上·重庆江津区·期末)如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵，∴352是“和好数”，把一个和好数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数是“和好数”，且是完全平方数，则所有符合条件的的最大值为 ． 【答案】 96 660 【分析】此题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可． 【详解】， ， ∴， 设三位数百位数字是，个位数字是，则由“和好数”定义可得十位数字是， ∴， ， ∴， ∵是完全平方数， ∴，其中是非负整数， ∵，， ∴，即， 解得，则或， ∴当时，符合条件的的值更大， 此时， 要使的最大，则尽可能的大， ∴，， ∴所有符合条件的的最大值为660， 故答案为：；660． 【变式1】(23-24八上·重庆北碚区·期末)若一个各个数位均不相等的四位数，满足，则我们称为“公平数”．若将“公平数”的个位数字与千位数字对调，十位数字与百位数字对调，得到一个新的“公平数”，规定．例如：，则 ．若的值能被7整除，则满足条件的“公平数”的最大值是 ． 【答案】 11 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式混合运算的应用，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握数字间的关系，根据题意得出，求出或． 【详解】解：根据题意得：； ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵的值能被7整除， ∴能被7整除， ∵，， ∴， ∴或， ∴当时，m有最大值， ∴m的最大值为：． 故答案为：11；． 【变式2】(23-24八上·重庆彭水苗族土家族自治县·期末)如果一个自然数的各位数字不为0，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，各位数字之和为8，则称数为“优数”，并把数分解成的过程，称为“最优分解”．例如：数 “优数”(填：是或不是)；若把一个“优数”进行“最优分解”，即，与之和记为，与之差的绝对值记为，令，当能被8整除时，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 是 【分析】此题主要考查了新定义，分解因数，整除问题；先将分解因数，再判断即可得出答案；设两位数的个位数字为，十位数字为，则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数，得出，，进而得出，，进而得出，再判断出或或，最后分三种情况利用能被整除，求出的值，即可求出答案． 【详解】解：， 是优数； 设两位数的个位数字为，十位数字为， 则两位数的个位数字为，十位数字为，，且，为正整数， 则，， ， ， 令，则， ， 即且为整数， ， ， ，且为整数， 或或， ①当时，，此数的个位数字必为， ， ， 能被整除， 或， 或， ②当时，，此数的个位数字为或， ， ， 能被整除， 能被整除， ， ， ③当时，， ， ， 能被整除， 能被整除， 而的个位数字为， 或或， 或不符合要求或不符合要求， 要最大，则最大， 而两位数，的十位数字是， 所以最大， 当，时，，， ； 当，时，，， ， 故答案为：是；． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 【详解】 A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 2．(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘方运算的含义，同底数幂的乘法运算，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选： C． 3．(24-25八上·安徽黄山·期末)已知正方形的边长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形面积公式、完全平方公式，熟记是解题的关键． 根据正方形面积公式可得它的面积为，再由完全平方公式展开即可． 【详解】正方形的边长为 所以它的面积为，即． 故选：D． 4．(24-25八上·甘肃武威·期末)已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法法则，将表示为，然后代入已知数值计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6． 5．(24-25八上·湖北云梦县·期末)已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先计算多项式乘以多项式，则可得，再利用完全平方公式变形求值即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 6．(24-25八上·山东德州武城县·期末)阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 7．(24-25八·陕西延安新区·期末)如图，某市有一块长米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处（正方形）将修建一座雕像．求绿化的面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查整式运算的实际应用，利用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可．熟练掌握多项式乘以多项式的法则，完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：． 答：绿化的面积是平方米． 8．(24-25八上·河南驻马店上蔡县·期末)如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知  ，，则 ． ②计算：． ③计算： 【答案】(1) (2)①；②4；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，，已知代入即可求出答案； ②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； ③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 阴影部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：阴影部分面积相等，可以得到公式； （2）解：①，， ； ② ； ③ ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．(24-25八上·天津东丽区·期末)无论为任意实数，代数式的值（　　） A．可能为负数 B．总不小于10 C．可为任意实数 D．总不小于5 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用以及完全平方公式的非负性，解题的关键是通过因式分解将其变形为完全平方式的和，再结合完全平方的非负性来分析． 【详解】解： ， ，， ． 故选：D． 2．(23-24八上·福建泉州培元中学·期中)若的展开式中不含的一次项，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项问题，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题先根据多项式乘多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含的一次项，该项的系数为0，然后即可求解； 【详解】解：先将展开，根据多项式乘法法则： ， ∵展开式中不含的一次项，即的一次项的系数为， ∴， 解得， 故选：D． 3．(24-25八上·黑龙江牡丹江·期末)若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了幂的运算（幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法）及二元一次方程组的应用．解题的关键是将等式两边转化为同底数幂的乘积形式，利用"同底数幂相等则指数相等"建立方程求解． 将左边式子分解为以2和5为底数的幂：；对比右边，列指数相等的方程组；解方程组得，计算 【详解】∵，， ∴左边，右边， 由于等式两边同底数幂的指数必相等，可得方程组： ，解得， ∴． 故答案为：6． 4．(24-25八·辽宁沈阳于洪区·期末)如图，1号水稻试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，2号水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田都收获了的水稻，则较高的单位面积产量是较低的单位面积产量的 倍． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键，用代数式表示两块试验田的面积，并比较两块试验田面积的大小，进而求出两块试验田单位面积产量的倍数即可． 【详解】解：1号水稻试验田的面积为，2号水稻试验田的面积为， ，而，即， 号水稻试验田的面积等于2号水稻试验田的面积， 号水稻试验田单位面积产量是1号水稻试验田的单位面积产量的倍数为（倍）． 故答案为：． 5．(24-25八上·内蒙古鄂尔多斯东胜·期末)【知识生成】课本上，我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个公式，如图1，根据图中整体图形的面积可表示为 ，还可表示为 ，可以得到的公式是 ； 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一种几何体的体积，也可以得到一个公式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个公式，这个公式是 ； 【拓展应用】直接用你发现的公式计算： 【答案】[知识生成]，，；[知识迁移]；[拓展应用] 【分析】本题考查乘法公式与几何图形，掌握数形结合思想是解题的关键． [知识生成]由于阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积，即，再根据阴影部分的面积由4个长为，宽为的小长方形构成，即，即可求得； [知识迁移]大正方体的棱长为，根据体积公式可得大正方形的体积．另大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，因此大正方体的体积也为8个小正方体或长方体的体积之和，即可得到公式； [拓展应用]由上的结论将已知代入即可求得值． 【详解】解：[知识生成]∵阴影部分的面积大正方形的面积中间小正方形的面积，即：， 又阴影部分的面积由4个长为，宽为的小长方形构成，即， ∴． 故答案为：，，； [知识迁移]大正方体的体积是， 大正方体被切割成了8个小正方体或长方体，它们的体积之和为： ． 故答案为：． [拓展应用]由上可知， ∴ ． 故答案为：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(2025·山东省滨州市·中考真题)下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．(2025·山东省德州市·中考真题)已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 3．(2025·甘肃甘南·中考真题)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式和平方差公式因式分解是解题的关键． 先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．(2025·浙江·中考真题)【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 5．(2025·江苏省盐城市·中考真题)先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $