专题02 整式的乘除（期末专项训练，全章27大题型）八年级数学上学期新教材华东师大版

专题02 整式的乘除 题型1 利用幂的运算判断选项是否正确（高频） 题型15 判断是否能用平方差公式 题型2 同底数幂乘法的逆运算 题型16 利用平方差公式求参数 题型3 幂的乘方逆运算 题型17 平方差与几何图形（高频） 题型4利用幂的乘方逆运算比较大小 题型18 应用完全平方进行运算 题型5 积的乘方逆运算 题型19 通过对完全平方的变形求值-知一求二 题型6 利用幂的运算综合求解（重点） 题型20 通过对完全平方的变形求值-首尾互倒 题型7 利用整式的乘除判断选项是否正确 题型21 通过对完全平方的变形求值-配凑法 题型8 利用单项式×单项式求参数的值 题型22 已知是完全平方式求参数（重点） 题型9 （x+p）（x+q）型乘法 题型23 完全平方与几何图形 题型10已知多项式乘积不含某一项问题（高频） 题型24 乘法公式与几何图形综合 题型11 整式乘法中化简求值问题（高频） 题型25 判断是否为因式分解 题型12 多项式与多项式与图形面积问题（重点） 题型26 因式分解的混合运算 题型13 多项式中乘法规律的问题 题型27 因式分解中最值问题（难点） 题型14 整式乘法混合运算（重点） 题型一 利用幂的运算判断选项是否正确（共4小题） 1．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、积的乘方等知识，根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；     B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、 ，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．(24-25八上·广东肇庆端州区·期末)下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，根据这些法则一一判断即可． 【详解】解：，根据同底幂相乘法则可知选项A正确，不符合题意； ，根据幂的乘方法则可知选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，根据积的乘方法则可知选项D正确，不符合题意； 故选：C． 3．(24-25八·云南保山腾冲·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方等知识点，根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的法则即可得答案，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 【详解】、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：A． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项计算即可． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意；     B. ，正确，符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. 不是同类项，无法计算，错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握公式是解题的关键． 题型二 同底数幂乘法的逆运算（共3小题） 1．(23-24八上·河北保定雄县·期末)若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 根据同底数幂的乘法法则的逆运算变形后，把，代入即可求值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 2．已知，，m，n为正整数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂相乘的逆运算，熟记公式是解题的关键． 根据同底数幂相乘的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．已知，，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算． 根据同底数幂乘法的逆运算法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：40． 题型三 幂的乘方逆运算（共5小题） 1．(24-25八上·广西桂林德智外国语学校·期末)若，则 . 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方．此题难度适中，注意整体思想的应用是解此题的关键．由，即可得，又由，即可求得答案． 【详解】解：， ， ∴． 故答案为：． 2．(22-23八上·四川泸州泸县二中城西学校·期末)已知，，求式子，的值． 【答案】，72 【分析】本题考查了同底数幂乘除法和幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 逆用同底数幂的除法即可求出，逆用幂的乘方和同底数幂的乘法可求出． 【详解】解：∵，， ∴； ∴． 3．(24-25八上·陕西渭南潼关县·期末)已知，，则的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用． 逆用同底数幂的乘法得到，进而逆用幂的乘方得到，将，代入计算即可． 【详解】， 故选：D． 4．(24-25八上·湖北襄阳老河口·期末)已知，则等于（  ） A． B． C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据求出的值，结合负整数指数幂的意义即可求出的值． 【详解】∵， ∴， ∴， 当时，， 当时，． 故选D． 【点睛】本题考查了幂的乘方逆用，以及负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．(24-25八上·河北邯郸锦玉中学·期末)若，，则等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方的运算法则将的值代入求解． 【详解】解： = = = =． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 题型四 利用幂的乘方逆运算比较大小（共3小题） 1．已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方的运算是关键． 根据幂的乘方的逆运算得到，，，，再根据指数相同，底数越大，值越大即可求解． 【详解】解：，，，， ∴， ∴， 故选：D ． 2．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．(24-25八上·浙江杭州萧山区·期中)若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：． 题型五 积的乘方逆运算（共4小题） 1．(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将小数1.5化为分数，利用负数的偶次幂为正数的性质简化，再逆用积的乘方法则计算． 【详解】解： 故答案为：． 2．(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．计算所得结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法的逆用，首先根据积的乘方的运算方法：，求出的值是多少；然后用它乘以，计算所得结果为多少即可． 【详解】解： 故选：B． 4．计算的结果是（ ） A． B． C． D．﹣ 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方等，熟练掌握相关公式的逆运算是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法与积的乘方的逆运算进行计算，再求出答案即可． 【详解】解： ． 故选：A． 题型六 利用幂的运算综合求解（共3小题） 1．(24-25八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)若则 ． 【答案】12 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算，掌握知识点是解题的关键．根据同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：12． 2．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期末)若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂除法；由条件得，再由同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 3．(23-24八上·河南南阳卧龙区·期中)若，，则 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，即，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，代数式求值，完全平方公式的变形．熟练掌握同底数幂的除法，幂的乘方是解题的关键． 题型七 利用整式的乘除判断选项是否正确（共3小题） 1．(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及单项式的乘法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．根据同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及单项式的乘法进行计算即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·广东东莞·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据同底数幂的乘法与除法、单项式乘单项式和积的乘方运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算正确，符合题意； C、，故该选项计算错误，不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．(24-25八上·广东广州天河区·期末)下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂相除法则、积的乘方法则、单项式乘以单项式法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算正确，符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 题型八 利用单项式×单项式求参数的值（共3小题） 1．(23-24八上·云南玉溪红塔区·期末)已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 2．(22-23八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：B 【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．(24-25八上·河南周口商水县大武乡二中等校·期末)若，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型九 （x+p）（x+q）型乘法（共3小题） 1．(24-25八上·福建泉州永春县·期末)若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等． 先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式可因式分解为， ∴， 故选：B． 2．(23-24八上·广东东莞新世纪英才学校·期末)若，则（　　） A． B．1 C． D．12 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的乘法，按照多项式乘以多项式的法则计算展开，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴． 故选：D． 3．(24-25八上·河南周口郸城县第二中学·期末)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，代数式求值，先利用多项式乘以多项式的运算法则展开左式，再根据多项式相等的条件求出的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型十 已知多项式乘积不含某一项问题（共4小题） 1．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，不含的一次项，就是该项系数为，进而求出的值． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(23-24八上·湖北荆门·期末)已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中不含某项的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式展开，再根据不含的项，含项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， ∵常数项为， ∴， ∴， ∵不含项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(23-24八上·四川成都武侯区棕北中学·期末)若的展开式中不含和的项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，积的乘方的逆运算： （1）先利用多项式乘多项式法则将原式展开，令展开式中和项的系数为0，即可计算出，的值； （2）根据（1）中结论可得，将原式变形为，再将以及，的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 展开式中不含和的项， ，， 解得，； （2）解：由（1）得，， ， ． 4．(22-23八上·江西宜春高安·期末)已知的展开式中不含项与项． (1)求、的值 (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将展开式算出来后，利用条件中展开式中不含项与项，令相应的项系数为0即可； （2）利用第（1）问中的结果，代入求值． 【详解】（1）原式， ∵展开式中不含项与项， ∴， ∴ ； （2）由（1）得，， ∴ ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算法则和求代数式的值，解题的关键是熟练掌握积的乘方及其运算法则，零指数幂的意义和过硬的计算能力． 题型十一 整式乘法中化简求值问题（共4小题） 1．(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．利用多项式乘多项式，单项式乘多项式运算法则化简原式，可知该式的结果与的值无关，即可说明他的计算结果是正确的． 【详解】解： ； 则该式的结果与的值无关， ∴无论取何值，结果都为， ∴小明的计算结果是正确的． 2．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的乘除运算法则． 先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入、的值计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 3．(24-25八上·河南南阳宛城区·期末)先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ，， 原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型十二 多项式与多项式与图形面积问题（共3小题） 1．(24-25八·陕西渭南潼关县·期末)如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑横向、纵向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． 【答案】 平方米；当，时，绿化面积为平方米． 【分析】本题考查多项式乘法与图形的面积． 根据长方形的面积计算方法列式，再根据多项式乘多项式的法则进行计算，然后把，代入计算即可． 【详解】解：根据题意得： （平方米） ∴绿化面积是平方米． 当，时， （平方米） ∴当，时，绿化面积为平方米． 2．(24-25八上·吉林松原宁江区·期末)如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要______元． 【答案】(1)平方米 (2)完成绿化共需要元 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）绿化的总面积长方形的面积个正方形的面积，利用平方差公式以及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得解； （2）将，代入（1）中所求式子即可得出绿化面积，再根据绿化成本为50元／平方米，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得： 绿化的总面积为 平方米； （2）解：当，时，（平方米）， ∵绿化成本为50元／平方米， ∴完成绿化共需要（元）， 故完成绿化共需要元． 3．如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查整式的乘法与图形面积、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积． （1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可； （2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ∴长方形孔部分的面积为 （2）当，时，原式 即完成绿化共需要（元) 题型十三 多项式中乘法规律的问题（共3小题） 1．(24-25八上·四川泸州江阳区·期末)观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【答案】（1），；（2）；；；；（3）①；；②． 【分析】本题考查了规律的探究，整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式的乘法运算法则，仿照示例，可得到规律，根据所得到规律得； （2）根据（1）中的规律，即可求解； （3）①根据所得到的规律逆向运算，得到因式分解的结果， ②根据规律，分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 2．著名的杨辉三角，又叫贾宪三角或帕斯卡三角如右图，是将若干数字按照一定规律排列成三角形的数表（左右两边都是一，其他数字肩上两数，上肩两数和为我，每行之和为二的幂）： (1)计算的各项系数的和为____________． (2)________． (3)已知，求的值． 【答案】(1)2048 (2)3125 (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，数字类的规律题，解题的关键是： （1）先根据同底数幂相乘法则计算，然后令，，代入计算即可； （2）根据题意将原式变形后，计算即可得到答案； （3）当时，得到，当时，得到，从而即可得到结论． 【详解】（1）解∶， 令，，则， ∴的各项系数的和为2048， 故答案为∶2048； （2）解∶根据题意，得 ， 故答案为∶3125； （3）解：当时，， 当时，， ∴． 3．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)符合 (2)见解析 (3)①；② (4) 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究： （1）利用8，9，15，16四个数进行验证即可； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式进行即可； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：，列式计算即可； （4）根据中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：选取8，9，15，16四个数字，则：； 故符合此规律； （2）设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ∴； （3）①设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； ②设框出的第一个数为，则剩下三个数为：， ； （4）当时，； 当时，； 当时，； ∴． 题型十四 整式乘法混合运算（共3小题） 1．(24-25八上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据积的乘方运算法则和平方差公式进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则，多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．(24-25八上·宁夏固原西吉县西吉县第三中学·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．(23-24八上·河北保定涿州·期末)（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的乘法、分式的计算与化简，解题的关键运用因式分解法达到化简分式的目的． （1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可． （2）先将分子、分母进行因式分解，并将除法转化为乘法，然后约分，最后进行减法运算． 【详解】（1） ； （2） ． 题型十五 判断是否能用平方差公式（共3小题） 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点：，是解题的关键． 根据平方差公式，判断是否具有使用公式的条件，即看乘积中是否能写成的形式，是否可以整理或转化成这种形式，注意这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 【详解】解：A、，x相同，a与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； B、，两项都互为相反数，无相同项，不符合公式，故不能用平方差公式进行计算； C、，中x相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算； D、，m相同，b与互为相反数，符合公式，故能用平方差公式进行计算． 故选：B． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，幂的乘方运算，掌握各自的运算法则是解题的关键． 【详解】、，所以不符合题意； 、，所以符合题意； 、和无法合并，所以不符合题意； 、，所以不符合题意． 故选：． 3．(24-25八上·安徽合肥庐江县·期末)下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 题型十六 利用平方差公式求参数（共2小题） 1．(22-23八上·湖北荆州公安县·期末)已知，．则的值为 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式． 2．(24-25八上·山东淄博桓台县·期末)已知，实数满足，则 ． 【答案】2022 【分析】由得，对化简，将用多次等量替换，计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了平方差，代数式求值．解题的关键在于的等量替换． 题型十七 平方差与几何图形（共3小题） 1．(24-25八上·福建省泉州市·期末)如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图1和图2两个图形中阴影部分的面积，根据图1中的阴影部分面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分面积为， 图2中阴影部分面积为， ∵图1中的阴影部分面积等于图2中的阴影部分面积， ∴， 故选：C． 2．(24-25八上·浙江台州温岭·期末)如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 3．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期末)如图，已知长方形的面积为，周长为，分别以边、向外作正方形、，则正方形F和正方形的面积之和为 ，面积之差为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键． 设，，根据题意列出方程，，利用完全平方公式即可求出，的值． 【详解】解：设，，依题意得：，， ∴ ∴正方形F和正方形的的面积之和为； ∴， ∵，即， ∴ 正方形和的面积之差为， 故答案为：；． 题型十八 应用完全平方进行运算（共3小题） 1．(24-25八上·甘肃武威古浪县泗水初级中学·期末)计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 2．(24-25八上·福建福州·期末)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算法则，涉及同底数幂的乘除法、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解决问题的关键． 根据同底数幂的除法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对C进行判断；根据同底数幂的乘法法则对D进行判断． 【详解】解：A．，原计算错误． B．，原计算错误． C． ，原计算错误． D．，原计算正确． 故选：D． 3．(24-25八上·河南许昌第三初级中学·期末)计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键， 先将原式变形为，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 题型十九 通过对完全平方的变形求值---知一求二（共4小题） 1．(24-25八上·天津东丽区·期末)若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．利用完全平方公式将两边同时平方，然后去掉括号，将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 解得：． 故答案为： 2．(24-25八上·甘肃嘉峪关实验中学·期末)已知、均为实数，且，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：11． 3．已知，，则的值为 ． 【答案】37 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值．利用完全平方公式将所求式子变形为，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：37． 4．(24-25八上·吉林长春东北师范大学附属中学明珠学校·期末)若，，则 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式可得，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：26． 题型二十 通过对完全平方的变形求值---首尾互倒（共3小题） 1．(24-25八上·甘肃武威古浪县泗水初级中学·期末)已知，则的值是 ． 【答案】98 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求值，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键．把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 【详解】解：， ∴， ， ． 故答案为：98． 2．(22-23八下·云南西双版纳傣族·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，以及代数式求值，利用完全平方公式得到，进而整理求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 即， 整理得， 故答案为：． 3．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，先利用完全平方公式求出的值，进而求解即可，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 题型二十一 通过对完全平方的变形求值-------配凑法（共3小题） 1．(24-25八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·期末)已知x、y是实数，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y的值再求解． 根据，可求出x，y的值，代入，即可解出a． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 代入， ， 故． 故答案为：． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)若实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式应用及平方的非负性的应用，先把原方程化为，根据平方的非负性求出，即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八下·江西景德镇一中·期末)已知实数满足，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】化成，后利用非负数的性质解答即可． 本题考查了完全平方公式，实数的非负性，平方根，熟练掌握公式和非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 故的平方根是， 故答案为：． 题型二十二 已知是完全平方式求参数（共4小题） 1．(24-25八上·吉林松原宁江区·期末)若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为 ． 【答案】36 【详解】本题考查完全平方公式，根据乘积二倍项确定常数项的值． 因为多项式是某一个多项式的平方，所以可设为， 比较系数得，解得， 所以． 故答案为：36． 2．若是一个完全平方式，则实数的值为 【答案】 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 3．(24-25八上·江苏南通·期末)若是一个完全平方式，则a的值为 ． 【答案】11或 【分析】本题考查了完全平方式，掌握是解题的关键． 首末两项是x和4的平方，所以中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解方程即可得答案． 【详解】解：是完全平方式， 解方程得：或， 故答案为：11或． 4．(24-25八上·重庆·期末)若（k是常数）是完全平方式，则k的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：∵（k为常数）是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二十三 完全平方与几何图形（共3小题） 1．(24-25八上·河南南阳桐柏县·期末)有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 2．(24-25八上·广西南宁·期末)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，利用两种方法表示大正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：； 故选：B． 3．(24-25八上·浙江台州玉环·期末)有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用． 设正方形A，正方形B的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】设正方形A，正方形B的边长分别为，由甲得：， 整理得：， ，，（舍去）， 由乙得：， ∴． ， ，（舍去）， 由丙得知： ． 故选：A． 题型二十四 乘法公式与几何图形综合（共3小题） 1．（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：______．方法2：______． （2）利用等量关系解决下面的问题： ，，求和的值； 已知，求的值． 【答案】（1），，（2）①，，② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积；也可以直接利用小正方形的面积公式得到； （2）①根据（1）的结论代入进行计算即可求解；②根据（1）的结论代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积， ∵小正方形的边长为，大正方形的边长为， ∴阴影部分的面积表示为或， 故答案为：，． （2）①∵，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的面积可表示为或， 图2中所表示的数学等式为 ； （2）∵，， ∴， ∵ ∴ ∴. 3．(24-25八上·甘肃天水张家川县·期末)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个全等长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：__________________； 【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】 【来源】甘肃省天水市张家川县2020-2021学年八年级上册期末考试数学试卷 【分析】本题考查完全平方公式的几何意义，已知式子的值求代数式的值，能够由面积相等推导出公式是解题的关键． 知识生成：利用面积相等即可推导出三者之间的等量关系； 知识迁移：（1）应用知识生成的关系式，进行变形，代入计算即可； （2）应用知识迁移的等式，进行变形，代入计算即可； 【详解】解：知识生成： 方法一：已知边长直接求面积为； 方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，面积为， ∴由阴影部分面积相等可得； 故答案为：． 知识迁移：（1）由， 可得， ． （2）， ． 题型二十五 判断是否为因式分解（共4小题） 1．(24-25八上·四川广安中学·期末)下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟记因式分解的定义及方法是解决问题的关键． 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，判断各选项是否符合即可得到答案． 【详解】解：A：右边出现分式，不是整式，不符合因式分解定义，不符合题意； B：右边是，为和的形式，不是积，不符合因式分解定义，不符合题意； C：右边是，为整式的积，符合因式分解定义，符合题意； D：右边是，为多项式，不是积的形式，是整式乘法，不符合因式分解定义，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·山西大同矿区·期末)下列式子变形是因式分解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法，即提公因式法、公式法、十字相乘法等，要注意因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式，本题据此依次判断即可求解． 【详解】解：A、的右边不是整式积的形式，故该项错误； B、是因式分解，故该项正确； C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故该项错误； D、，左边不等于右边，分解错误，故该项错误； 故选：B． 3．(24-25八上·广西桂林德智外国语学校·期末)下列不是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义．根据把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、属于因式分解，故本选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项符合题意； C、是因式分解，故本选项不符合题意； D、属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．(24-25八上·山东烟台烟台经济技术开发区·期末)下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误， 故选：B． 题型二十六 因式分解的混合运算（共4小题） 1．(24-25八上·重庆綦江区·期末)分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2．(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式时首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：； （2）先去括号，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 3．(13-14八上·云南罗平县·期末)因式分解 (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． （1）直接提公因式即可； （2）直接利用平方差公式进行分解； （3）先提公因数，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．(24-25八上·天津东丽区·期末)分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括提取公因式法和公式法（完全平方公式）；解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，并判断提取公因式后剩余部分是否能进一步用公式分解。 （1）先观察多项式，找出各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，确定公因式；再提取公因式，得到分解结果。 （2）先对多项式提取各项的公因式；再观察提取公因式后剩余的多项式，判断其是否符合完全平方公式的形式，若符合则用完全平方公式继续分解。 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型二十七 因式分解中最值问题（共3小题） 1．(24-25八下·四川达州经开区·期末)阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【答案】(1) (2)8 (3)最小值是； 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）按照示例①解答即可； （2）按照示例②解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答； （3）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （3）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 2．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 【答案】(1)， (2) (3)当时，代数式的值最小，最小值为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）考查配方法因式分解中涉及的公式； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解： （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将 写成 ，依据完全平方公式；第三步将 写成 ，依据平方差公式． 故答案为：，． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． ∵ ， ∴ 当，即时，原式取最小值，最小值为． 3．(24-25八下·河南郑州金水区·期末)小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： (1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有，多项式在当时取最大值为16 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式配方，再根据平方差公式因式分解即可求； （2）先利用完全平方公式配方变形，再利用非负数的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：多项式有最大值，理由如下： ， ． 当时，取到最大值为16， 多项式在当时取最大值为16． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘除 题型1 利用幂的运算判断选项是否正确（高频） 题型15 判断是否能用平方差公式 题型2 同底数幂乘法的逆运算 题型16 利用平方差公式求参数 题型3 幂的乘方逆运算 题型17 平方差与几何图形（高频） 题型4利用幂的乘方逆运算比较大小 题型18 应用完全平方进行运算 题型5 积的乘方逆运算 题型19 通过对完全平方的变形求值-知一求二 题型6 利用幂的运算综合求解（重点） 题型20 通过对完全平方的变形求值-首尾互倒 题型7 利用整式的乘除判断选项是否正确 题型21 通过对完全平方的变形求值-配凑法 题型8 利用单项式×单项式求参数的值 题型22 已知是完全平方式求参数（重点） 题型9 （x+p）（x+q）型乘法 题型23 完全平方与几何图形 题型10已知多项式乘积不含某一项问题（高频） 题型24 乘法公式与几何图形综合 题型11 整式乘法中化简求值问题（高频） 题型25 判断是否为因式分解 题型12 多项式与多项式与图形面积问题（重点） 题型26 因式分解的混合运算 题型13 多项式中乘法规律的问题 题型27 因式分解中最值问题（难点） 题型14 整式乘法混合运算（重点） 题型一 利用幂的运算判断选项是否正确（共4小题） 1．(24-25八上·新疆乌鲁木齐第一中学·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·广东肇庆端州区·期末)下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八·云南保山腾冲·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 题型二 同底数幂乘法的逆运算（共3小题） 1．(23-24八上·河北保定雄县·期末)若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．已知，，m，n为正整数，则 ． 3．已知，，则 ． 题型三 幂的乘方逆运算（共5小题） 1．(24-25八上·广西桂林德智外国语学校·期末)若，则 . 2．(22-23八上·四川泸州泸县二中城西学校·期末)已知，，求式子，的值． 3．(24-25八上·陕西渭南潼关县·期末)已知，，则的值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．18 4．(24-25八上·湖北襄阳老河口·期末)已知，则等于（  ） A． B． C．2或 D．或 5．(24-25八上·河北邯郸锦玉中学·期末)若，，则等于（    ） A． B． C． D．0 题型四 利用幂的乘方逆运算比较大小（共3小题） 1．已知，那么从小到大的顺序是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·浙江杭州萧山区·期中)若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接） 题型五 积的乘方逆运算（共4小题） 1．(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)计算： ． 2．(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算所得结果为（ ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（ ） A． B． C． D．﹣ 题型六 利用幂的运算综合求解（共3小题） 1．(24-25八上·四川乐山马边彝族自治县·期末)若则 ． 2．(23-24八上·湖南长沙华益中学·期末)若，则 ． 3．(23-24八上·河南南阳卧龙区·期中)若，，则 ． 题型七 利用整式的乘除判断选项是否正确（共3小题） 1．(23-24八上·四川资阳安岳县·期末)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·广东东莞·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·广东广州天河区·期末)下列计算正确的是（） A． B． C． D． 题型八 利用单项式×单项式求参数的值（共3小题） 1．(23-24八上·云南玉溪红塔区·期末)已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(22-23八上·吉林长春吉林大学附属中学·期中)已知单项式与的积为，那么、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．(24-25八上·河南周口商水县大武乡二中等校·期末)若，则求的值． 题型九 （x+p）（x+q）型乘法（共3小题） 1．(24-25八上·福建泉州永春县·期末)若多项式可因式分解为，则的值为（   ） A．4 B． C． D．14 2．(23-24八上·广东东莞新世纪英才学校·期末)若，则（　　） A． B．1 C． D．12 3．(24-25八上·河南周口郸城县第二中学·期末)若，则的值为 ． 题型十 已知多项式乘积不含某一项问题（共4小题） 1．(24-25八上·湖南吉首雅思实验学校·期末)若的展开式中不含x的一次项，则常数m的值为 ． 2．(23-24八上·湖北荆门·期末)已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 3．(23-24八上·四川成都武侯区棕北中学·期末)若的展开式中不含和的项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 4．(22-23八上·江西宜春高安·期末)已知的展开式中不含项与项． (1)求、的值 (2)求的值． 题型十一 整式乘法中化简求值问题（共4小题） 1．(24-25八上·吉林吉林吉化第九中学校·期末)老师布置了这样一道作业题：“先化简，再求值，其中”小明同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，你知道原因吗？ 2．(24-25八·四川乐山马边彝族自治县第一初级中学·期末)先化简，再求值：，其中． 3．(24-25八上·河南南阳宛城区·期末)先化简，再求值：，其中，． 4．先化简，再求值：，其中． 题型十二 多项式与多项式与图形面积问题（共3小题） 1．(24-25八·陕西渭南潼关县·期末)如图，有一块长为米，宽为米的长方形空地，计划修筑横向、纵向的两条道路，其余进行绿化（空白部分），已知道路宽为a米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当，时的绿化面积． 2．(24-25八上·吉林松原宁江区·期末)如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有a，b的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要______元． 3．如图，现有一块长为米、宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间预留边长为米的正方形修建一座雕像． (1)求绿化的面积（用含的代数式表示，并化简）； (2)若，，绿化成本是200元/平方米，则完成绿化共需要多少元． 题型十三 多项式中乘法规律的问题（共3小题） 1．(24-25八上·四川泸州江阳区·期末)观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 2．著名的杨辉三角，又叫贾宪三角或帕斯卡三角如右图，是将若干数字按照一定规律排列成三角形的数表（左右两边都是一，其他数字肩上两数，上肩两数和为我，每行之和为二的幂）： (1)计算的各项系数的和为____________． (2)________． (3)已知，求的值． 3．(24-25八上·辽宁大连沙河口区·期末)在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在月历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为，，，，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 当时，如图1是2025年1月份的月历，小明在其中画出两个的方框，通过计算，；发现． (1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明； (3)请同学们利用小明的方法，借助2025年2月份的月历，继续进行如下探究． ①当时，如图2，在月历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； ②当时，如图3，若在月历中用的方框框住位置上的4个数，直接写出“”的值的规律； (4)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 题型十四 整式乘法混合运算（共3小题） 1．(24-25八上·湖北荆州荆州经济技术开发区·期末)计算： (1)； (2)． 2．(24-25八上·宁夏固原西吉县西吉县第三中学·期末)计算： (1)； (2)． 3．(23-24八上·河北保定涿州·期末)（1）计算：； （2）化简：． 题型十五 判断是否能用平方差公式（共3小题） 1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·安徽合肥庐江县·期末)下列各式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 题型十六 利用平方差公式求参数（共2小题） 1．(22-23八上·湖北荆州公安县·期末)已知，．则的值为 ． 2．(24-25八上·山东淄博桓台县·期末)已知，实数满足，则 ． 题型十七 平方差与几何图形（共3小题） 1．(24-25八上·福建省泉州市·期末)如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·浙江台州温岭·期末)如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则 （用含m、n的代数式表示）． 3．(24-25八上·内蒙古呼和浩特赛罕区·期末)如图，已知长方形的面积为，周长为，分别以边、向外作正方形、，则正方形F和正方形的面积之和为 ，面积之差为 ． 题型十八 应用完全平方进行运算（共3小题） 1．(24-25八上·甘肃武威古浪县泗水初级中学·期末)计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·福建福州·期末)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八上·河南许昌第三初级中学·期末)计算： ． 题型十九 通过对完全平方的变形求值---知一求二（共4小题） 1．(24-25八上·天津东丽区·期末)若，则的值等于 ． 2．(24-25八上·甘肃嘉峪关实验中学·期末)已知、均为实数，且，，则 ． 3．已知，，则的值为 ． 4．(24-25八上·吉林长春东北师范大学附属中学明珠学校·期末)若，，则 ． 题型二十 通过对完全平方的变形求值---首尾互倒（共3小题） 1．(24-25八上·甘肃武威古浪县泗水初级中学·期末)已知，则的值是 ． 2．(22-23八下·云南西双版纳傣族·期末)已知，则 ． 3．已知，则 ． 题型二十一 通过对完全平方的变形求值-------配凑法（共3小题） 1．(24-25八上·辽宁盘锦辽河油田实验中学·期末)已知x、y是实数，，若，则 ． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区·期末)若实数满足，则的值为 ． 3．(24-25八下·江西景德镇一中·期末)已知实数满足，那么的平方根是 ． 题型二十二 已知是完全平方式求参数（共4小题） 1．(24-25八上·吉林松原宁江区·期末)若多项式是某一个多项式的平方，则常数项的值为 ． 2．若是一个完全平方式，则实数的值为 3．(24-25八上·江苏南通·期末)若是一个完全平方式，则a的值为 ． 4．(24-25八上·重庆·期末)若（k是常数）是完全平方式，则k的值等于 ． 题型二十三 完全平方与几何图形（共3小题） 1．(24-25八上·河南南阳桐柏县·期末)有两个正方形、，将、并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为 ． 2．(24-25八上·广西南宁·期末)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·浙江台州玉环·期末)有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A．76 B．77 C．78 D．79 题型二十四 乘法公式与几何图形综合（共3小题） 1．（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：______．方法2：______． （2）利用等量关系解决下面的问题： ，，求和的值； 已知，求的值． 2．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到 ．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； 3．(24-25八上·甘肃天水张家川县·期末)【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为的四个全等长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到三者之间的等量关系式：__________________； 【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：． 利用上面所得的结论解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 题型二十五 判断是否为因式分解（共4小题） 1．(24-25八上·四川广安中学·期末)下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·山西大同矿区·期末)下列式子变形是因式分解的是（       ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·广西桂林德智外国语学校·期末)下列不是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·山东烟台烟台经济技术开发区·期末)下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十六 因式分解的混合运算（共4小题） 1．(24-25八上·重庆綦江区·期末)分解因式： (1)； (2)． 2．(24-25八上·甘肃张掖六中教育集团·期末)分解因式： (1) (2) 3．(13-14八上·云南罗平县·期末)因式分解 (1)． (2)． (3)． 4．(24-25八上·天津东丽区·期末)分解因式 (1)； (2)． 题型二十七 因式分解中最值问题（共3小题） 1．(24-25八下·四川达州经开区·期末)阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 2．(24-25八下·山西临汾大宁县2025年6月期末·期末)阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用．一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式        第一步             第二步     第三步             第四步二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ．∵， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求当x为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． 3．(24-25八下·河南郑州金水区·期末)小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： (1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $