专题11圆（18大高频考点）（期末真题汇编57题）九年级数学上学期北师大版

专题11圆（18大高频考点） 18大高频考点概览 考点01圆的有关概念与性质 考点02垂径定理 考点03垂径定理的应用 考点04弧弦、圆-心角 考点05圆周角 考点06圆内接四边形 考点07点与圆之间的位置关系 考点08直线与圆的位置关系 考点09切线的性质 考点10切线的判定 考点11切线的性质与判定 考点12切线长定理 考点13三角形的内切圆 考点14正多边形与圆 考点15弧长与扇形面积的计算 考点16圆锥的侧面积 考点17圆与三角形、四边形综合问题 考点18圆与函数综合问题 考点01圆的有关概念与性质 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·吉林·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．圆的对称轴有无数条 B．把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．长度相等的弧是等弧 C．平面上的三个点可以确定一个圆 D．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 考点02垂径定理 4．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为，则弦的长为 ． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 考点03垂径定理的应用 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 8．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 考点04弧弦、圆-心角 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ． 12．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　） A． B． C． D． 考点05圆周角 13．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A，B，C在上，点在的延长线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 15．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 考点06圆内接四边形 16．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，内接于，．若，则 度． 考点07点与圆之间的位置关系 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 21．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点08直线与圆的位置关系 22．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与的公共点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 24．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 考点09切线的性质 25．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，是的切线，切点为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点B，与分别相交．则圆心P的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 考点10切线的判定 28．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，O是边上一点，以O为圆心，为半径的恰好与相切于点D，且． (1)求证：是的切线． (2)若，且，求的半径． 29．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 30．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 考点11切线的性质与判定 31．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 32．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，在上，且，过点C作，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求的值． 33．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 考点12切线长定理 34．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 35． （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 36．（22-23九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 考点13三角形的内切圆 37．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 38．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 39．（22-23九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 40．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 考点14正多边形与圆 41．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 42．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 考点15弧长与扇形面积的计算 43．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 45．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 46．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 考点16圆锥的侧面积 47．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 48．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 50．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ． 51．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）中，，把它沿所在直线旋转一周，求所得的几何体的全面积． 考点17圆与三角形、四边形综合问题 52．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）已知：如图，过正方形的顶点，，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且．    (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的长． 53．（24-25九年级上·云南保山·期末）如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点． (1)求证：是的切线； (2)当点在上什么位置时，？求出此时的值． 54．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 考点18圆与函数综合问题 55．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 56．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． (1)_____． (2)当时，求的值； (3)设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设的面积为，的面积为，求的最小值． 57．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11圆（18大高频考点） 18大高频考点概览 考点01圆的有关概念与性质 考点02垂径定理 考点03垂径定理的应用 考点04弧弦、圆-心角 考点05圆周角 考点06圆内接四边形 考点07点与圆之间的位置关系 考点08直线与圆的位置关系 考点09切线的性质 考点10切线的判定 考点11切线的性质与判定 考点12切线长定理 考点13三角形的内切圆 考点14正多边形与圆 考点15弧长与扇形面积的计算 考点16圆锥的侧面积 考点17圆与三角形、四边形综合问题 考点18圆与函数综合问题 考点01圆的有关概念与性质 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是弦，故①正确， 弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧的一种特殊情况，但弧不一定是半圆，故②错误， 当平面上的三点在同一条直线上时，不能确定一个圆，只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，故③错误， 根据圆内接正多边形中心角公式：(n为边数)，可知圆的内接正六边形的中心角为，故④正确， 正确的个数为， 故选：． 2．（23-24九年级上·吉林·期末）下列说法中，不正确的是（　　） A．圆的对称轴有无数条 B．把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 【答案】C 【分析】本题考查了圆的对称性、垂径定理、等弧的概念等性质，熟练掌握圆的知识是解题的关键． 利用垂径定理、等弧概念、圆的对称性等圆的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条，正确； B、根据圆的对称性，把一个圆绕圆心旋转任意一个角度，仍会与原来的圆重合，正确； C、平分弦（直径除外）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误； D、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，正确； 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东河源·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．长度相等的弧是等弧 C．平面上的三个点可以确定一个圆 D．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，等弧，内心，确定圆的条件， 根据定义和性质逐项判断解答即可. 【详解】解：因为平分弦的直径不一定垂直于弦，如：两条直径互相平分，但是不一定垂直，所以A不正确； 因为在不同的圆中长度相等的弧不是等弧，所以B不正确； 因为平面上不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，所以C不正确； 因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以D正确. 故选：D. 考点02垂径定理 4．（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 5．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，P为切点，若两圆半径分别为，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆的切线性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接,利用切线的性质得出，利用勾股定理求出，最后利用垂径定理即可求解． 【详解】解：如图，连接, 根据题意得，， ∵是小圆的切线， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 6．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 考点03垂径定理的应用 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则  的半径长为（   ） A．4 米 B．5 米 C．6 米 D．8 米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 8．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 【详解】解：由题可得：，，， ∵是的弦， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴圆的半径约为， 故选：B； 9．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到直角三角形，通过半径和已知深度求出直角边的长度，再计算弦长． 确定；在中用勾股定理求；由垂径定理得． 【详解】由题意知，的半径，且于点C，根据垂径定理，平分弦，即． 已知液体最大深度，则． 在中，由勾股定理： 代入数据：，解得． 因此，弦． 故答案为：24． 考点05弧弦、圆-心角 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角，掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键．根据等弧可直接判断A选项结论；由同弧可得，进而得出，可判断B、C选项结论；根据已知条件无法证明D选项结论． 【详解】解：在中，， ，，A选项结论正确，不符合题意； ， ， ， ，，B、C选项结论正确，不符合题意； 无法证明，则D选项错误，符合题意； 故选：D 11．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题结合图形的性质，考查轴对称－最短路线问题．本题是要在上找一点P，使的值最小，设是A关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果． 【详解】解：作点A关于直径的对称点，连接，交于点P，连接，，，，， ∵点A与关于对称， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵点A是半圆上的一个三等分点， 由题意可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点06圆内接四边形 13．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点A，B，C在上，点在的延长线上．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，由圆周角定理可得的度数，再由平角的定义可得的度数． 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴， ∴， 故选：A． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由是的直径，得，而，则，由点B是的中点，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 15．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，先根据圆周角定理得出，再由特殊角的三角函数值判断出，故可得出，所以是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 考点07点与圆之间的位置关系 16．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 17．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点B，C，D在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据圆内接四边形的性质得到，根据，可求得，，再利用圆周角定理求得． 【详解】解：如图，在所对的弧上任取一点，连结，， 则四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：D． 18．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，内接于，．若，则 度． 【答案】108 【分析】设，得到，求得，，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论． 本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在上取点，连接，， ，， ，， 设， ， 则， ，， 在BC的上方上取点D，连接BD，CD，则， ， ， ， ． 故答案为：． 考点08直线与圆的位置关系 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 20．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 21．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 考点09切线的性质 22．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与的公共点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可得直线l在外，即可得解，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到直线l的距离为7， ∴直线l在外， ∴直线l与的公共点的个数是0个， 故选：A． 23．（24-25九年级上·山东聊城·期末）在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系,锐角三角函数的定义．计算点到上的高即可判断． 【详解】解：如图，过作于，      ∵，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 中，， ∴与相交， 故选：C． 24．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 考点10切线的判定 25．（23-24九年级上·广东惠州·期末）如图，是的切线，切点为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质，根据切线垂直于经过切点的半径，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，又因为，可以求出的度数． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ． 故选：B． 26．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点B，与分别相交．则圆心P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G，由可得，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y的切点为F，连接并延长，与交于点G， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理：，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心P的坐标为． 故选：B． 27．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 考点11切线的性质与判定 28．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，O是边上一点，以O为圆心，为半径的恰好与相切于点D，且． (1)求证：是的切线． (2)若，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6． 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明，得到，由切线的性质可得，由此即可证明是的切线； （2）先证明，则，设，则，根据勾股定理，可得，则，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵为半径的恰好与相切于点D， ∴，    ， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， ∴． ∴， ∴的半径为6． 29．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 30．（24-25九年级上·吉林长春·月考）如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切；； (2)若正方形的边长为，则的半径_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，其中掌握圆的相关知识点、正方形的性质、角平分线性质勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键． （1）如图所示，连接，过点作于点，则，可证，得，结合切线的判定方法即可求证； （2）根据题意可证四边形是正方形，设，则，在中，运用勾股定理可得，则，根据正方形的性质可得，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵与切于点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是圆的半径， ∴是圆的半径，且点是半径的外端点，， ∴与相切； （2）解：∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵正方形的边长为，即 ∴， ∴， 解得，， ∴的半径为， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 32．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，在上，且，过点C作，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)4； (3)． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）证明得，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）证明得，可得，进而可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是半径， 是的切线； （2）∵， ∴ ，即， 解得． 在中，； （3）是的切线， ， 是直径， ， ， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，院内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 33．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定及性质，解直角三角形，扇形面积等，综合运用相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理即可求得，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得，得到，进而即可证明； （2）连接，由圆周角定理知，然后根据与相切得到即为的半径． （3）阴影部分的面积即为的面积减去扇形的面积． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接． ∵是的直径， ∴，即． ∵与相切， ∴即为的半径． ∵在，，， ∴， ∴当半径为3时，与相切； （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点12切线长定理 34．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，,再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 35．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】此题考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定和性质，30度直角三角形的性质．证明为等边三角形即可得；证明得，进而可得，再由内错角相等得；由30度直角三角形的性质得，进而可得；由得，，进而得，，即可得． 【详解】解：∵、切于、， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴ ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由得， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，故④错误． ∴一定正确的有①②③． 故答案为：①②③． 36．（22-23九年级上·广西梧州·期末）一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 考点13三角形的内切圆 37．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 38．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 39．（22-23九年级上·天津南开·期末）如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点为D、E、F， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴是直角三角形， ∴内切圆的半径， 故答案为：1． 40．（24-25九年级上·广东东莞·期末）若正六边形外接圆的半径为4，则它的边心距为（　 　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：①熟悉正六边形和正三角形的性质；②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答． 已知正六边形的边长，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和外接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵正六边形外接圆的半径为4， ∴此正六边形中，则 ． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ． 故选：D． 考点14正多边形与圆 41．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 42．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）圆内接正三角形的边心距与半径的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握圆内接正多边形的相关性质；先求出中心角，再根据等腰三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，为的内接正三角形， 过O作，连接，则， 为圆内接正三角形， ， ， ， ，即， 边心距与半径的比是， 故答案为：． 考点15弧长与扇形面积的计算 43．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：弧长， 故选：． 44．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，将绕顶点顺时针旋转至的位置，且、、三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是 A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题综合运用了解直角三角形的知识、旋转的性质以及弧长公式，解本题的要点在于求出，再算出答案． 点A经过的路线即以C为圆心，以的长为半径的弧，利用解直角三角形的知识求得的长和的度数，从而求得，再根据弧长公式进行计算． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴点A经过的路线的长度是＝， 故选D． 45．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 46．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知为等腰直角三角形，厘米，以C为圆心，8厘米为半径画弧，以为直径作半圆，那么阴影部分的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，扇形面积的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 记直径的中点为O，根据等腰直角三角形的性质，得出厘米，，再根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，记直径的中点为O， ∵为等腰直角三角形，厘米， ∴厘米，， ∴ （平方厘米）． 故答案为： 考点16圆锥的侧面积 47．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得：， 所以这个圆锥底面圆的半径为6． 故选A． 48．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得，，再结合弧长公式求出，运用勾股定理列式计算得，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答． 【详解】解：圆锥的侧面展开图，如下所示： ∴， ∴ 设 ∵圆锥的母线长，底面圆的半径为， ∴ 则 解得 依题意，得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D 49．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的有关计算，弧长公式，解题的关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设这个圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 则有 解得， 那么这个圆锥的底面圆半径为； 故答案为：． 50．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的运用，圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 51．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）中，，把它沿所在直线旋转一周，求所得的几何体的全面积． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面积与全面积计算，解题的关键是确定旋转后几何体的形状（两个同底圆锥的组合体），并求出圆锥的母线长和底面半径． 先求斜边的长度与边上的高（底面半径），再利用圆锥侧面积公式计算两个圆锥侧面积之和（即全面积）． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得， 由三角形面积公式（为边上的高，即圆锥底面半径）， 得， 沿旋转转周所得几何体是两个同底圆锥， 其全面积为两个圆锥侧面积之和，由圆锥侧面积公式（为母线长）， 得． 考点17圆与三角形、四边形综合问题 52．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）已知：如图，过正方形的顶点，，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且．    (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质和切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据切线的性质得到，过作于，推出四边形是矩形，得到，求得，，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是的直径， ， ， 又， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 是的切线， ， 过作于， 则四边形是矩形，， ，， ， 是的中位线， ， 设， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．      【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，三角形的中位线定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 53．（24-25九年级上·云南保山·期末）如图，点在以为直径的上，、的延长线交于点，且，过点作交于点． (1)求证：是的切线； (2)当点在上什么位置时，？求出此时的值． 【答案】(1)详见解析 (2)点为中点时，， 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰（等边）三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握圆与三角形的综合知识的运用是解题的关键． （1）连接，得到，则，结合题意得到，即，再根据切线的定义即可求解； （2）根据题意得到为等腰三角形，由等腰三角形的性质得到为的中点，则，所以若，则，此时为中点，设，则，，四边形是平行四边形，则有，，可证为等边三角形，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的半径， 是的切线； （2）解：， 为等腰三角形， ， 为的中点， ， 若，则，此时为中点， 设，则， ， ， ， 由（1）得：， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ． 54．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解； （2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； ②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解． 【详解】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，作，垂足为， ∵，平分（已证）， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴； ②∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键． 考点18圆与函数综合问题 55．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键； （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论； （3）设点P坐标为，则 设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）连接、，过点P作，交于点D． 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则 ∴， ∴ 设点P坐标为，则， 则 当时，的最大值为8． ∴， ∴， ∴最大． （3）设点P坐标为，则 设的半径为r． ∵与相切，切点为T． ∴ ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的半径是常量． 56．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在等腰中，，以为直径的交于点，点是上一动点（不与点重合），的延长线交于点，连接交于点．已知，． (1)_____． (2)当时，求的值； (3)设，， ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的范围； ②设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；②1 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，即可求解； （2）方法一：由勾股定理得， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得；方法二：由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）①由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，，代入 ，即可求解； 方法二：如图，过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 即可求解； ②由相似三角形的性质得，，令，化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， 故答案为：； （2）解：方法一：，， ，， ， ，是中点， 是中点， ， ， ， ， 又， ， ， ； 方法二： ， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①在中， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知 ， 整理得：， ， ， 解得：， ， 自变量的范围是， 故； 方法二：如图，过作于， 在中 ， ， 解得：， 解得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 取值范围求法见方法一， 故； ②， ， 令， ， 当时，的最小值为1． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，利用二次函数的性质求最值等；掌握圆的基本性质，能熟练利用勾股定理，相似三角形的判定及性质及二次函数的性质求最值是解题的关键． 57．（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点． (1)试用含a的代数式表示c； (2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式； (3)在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长． 【答案】(1) (2) (3)点Q在以中点为圆心的半圆上运动，点Q的路径长为 【分析】（1）根据点点、可得该函数的解析式为，展开括号即可进行解答； （2）根据点Q为的中点，且，可得点D在上，进而得出点D的坐标，即可求解； （3）根据题意得，则点Q在以为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的坐标，进而得出轴，，则点Q在以中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于点、， ∴该函数的解析式为， ∴． （2）解：连接， ∵P是半圆上一点，点Q为的中点，且， ∴点D在上， ∴， ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为：； （3）解：∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∵、，， ∴当点P与点B重合时，，即， 当点P与点A重合时，，即， ∴轴，， ∴点Q在以中点为圆心的半圆上运动， 点Q的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与圆的综合，解题的关键是掌握垂径定理，用待定系数法求解二次函数表达式的方法，点的运动轨迹，点与圆的位置关系． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $