专题09二次函数的应用（9大高频考点）（期末真题汇编45题）九年级数学上学期北师大版

专题09二次函数的应用（9大高频考点） 9大高频考点概览 考点01二次函数的应用：面积问题 考点02二次函数的应用：销售问题（每每型问题） 考点03二次函数的应用：销售问题（表格类） 考点04二次函数的应用：销售问题（图象类） 考点05二次函数的应用：投球类问题 考点06二次函数的应用：喷水类问题 考点07二次函数的应用：拱桥类问题 考点08二次函数的应用：刹车类问题 考点09二次函数的有关推理计算与证明问题 考点01二次函数的应用：面积问题 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）用16米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围半圆形，矩形，等腰三角形（底边靠墙），这三种方案（如图），最佳方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．三种方案一样 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，互相垂直，．当，的长是多少时，四边形面积最大？ 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? (2)在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 考点02二次函数的应用：销售问题（每每型问题） 7．（24-25九年级上·山东滨州·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是元/件，下列说法错误是（   ） A．销售量可以表示为 B．销售额可以表示为 C．所获利润可以表示为 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 10．（24-25九年级上·全国·期末）某班学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经实验发现，若每件按26元的价格销售时，每天能卖出30件；若每件按30元的价格销售时，每天能卖出18件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足以x为自变量的一次函数． (1)求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润W最大？ 11．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶． (1)若售价定为35元，每月可售出________桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为________元． (2)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ (3)若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是多少？ 考点03二次函数的应用：销售问题（表格类） 12．（24-25九年级上·广东东莞·期末）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … … 每天销售数量/件 … … (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ 13．（24-25九年级上·湖北随州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 15．（2025·山东·期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 考点04二次函数的应用：销售问题（图象类） 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物套装的销售量不低于240件． (1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ (3)如果每天的利润不低于3000元，求销售单价x（元）的取值范围． 17．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 18．（22-23九年级上·河南商丘·期末）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系． (1)当时，求与的函数关系式； (2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量； (3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？ 19．（24-25九年级上·山东威海·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 20．（24-25九年级上·山东威海·期末）“加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 21．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）某种商品的销售单价（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）每件的成本（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低． (1)求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率； (2)求该商品销售单价关于销售月份的函数解析式； (3)在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润售价成本） 考点05二次函数的应用：投球类问题 22．（24-25九年级下·天津·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 23．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 24．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 25．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线．如图所示，建立平面直角坐标系．已知米，米，跳水曲线在离起跳点A水平距离为米时达到距水面最大高度米． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点G与点A的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 27．（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 考点06二次函数的应用：喷水类问题 28．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 29．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 30．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 31．（2024·山西·期末）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 32．（2024·广东深圳·期末）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 33．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 考点07二次函数的应用：拱桥类问题 34．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 35．（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 36．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 37．（24-25九年级上·全国·期末）小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 38．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）（项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 39．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度为8米．现以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建过程中，施工队需要搭建矩形支架（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值． 考点08二次函数的应用：刹车类问题 40．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 41．（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 考点09二次函数的有关推理计算与证明问题 42．（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 43．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数． (1)该函数图像的对称轴是______； (2)无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； (3)若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 44．（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 45．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图1，点A，B的坐标分别为，，抛物线的两个端点分别为A，B． (1)求h的值． (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式． (3)如图2，当时，经过点的一条直线与抛物线只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09二次函数的应用（9大高频考点） 9大高频考点概览 考点01二次函数的应用：面积问题 考点02二次函数的应用：销售问题（每每型问题） 考点03二次函数的应用：销售问题（表格类） 考点04二次函数的应用：销售问题（图象类） 考点05二次函数的应用：投球类问题 考点06二次函数的应用：喷水类问题 考点07二次函数的应用：拱桥类问题 考点08二次函数的应用：刹车类问题 考点09二次函数的有关推理计算与证明问题 考点01二次函数的应用：面积问题 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期末）用16米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围半圆形，矩形，等腰三角形（底边靠墙），这三种方案（如图），最佳方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．三种方案一样 【答案】A 【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，圆的面积和周长，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．设围成的图形的面积为平方米，先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【详解】解：设围成的图形的面积为平方米， 方案一：设圆的半径为米，则， 解得：， ； 方案二：设与墙相邻的边长为米，则另一边长为米， 则， 当时，有最大值为； 方案三：如图， 设等腰三角形底边长为米，高为米， 是等腰三角形， 米，米， 在中，， ， ， ， ， 令，则， 当时，有最大值为， 当时，有最大值为， ， 最佳方案是方案一， 故选：A 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图是一面足够长的墙，用长的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花园，若设的长度为，则矩形花园的面积与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列式． 设的长度为，则，即可得出． 【详解】解：设的长度为，则， 由题意得，， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形的对角线，互相垂直，．当，的长是多少时，四边形面积最大？ 【答案】当，时，四边形面积最大 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，设，四边形面积为S，则，进而求出，再求出最值即可． 【详解】解：设，四边形面积为S，则， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，， 即当，时，四边形面积最大． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当取时，储料场的面积为 (3)存在，储料场面积的最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、等腰三角形的判定，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）过点作的垂线，垂足为．先根据等腰三角形的判定得到，进而，，然后利用梯形面积公式求解即可； （2）解一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足为． 四边形是梯形， ． ，， ，， ， ． ∴，， ，即． （2）解：令，得， 解得（舍去）． 答：当取时，储料场的面积为． （3）解：， ∵， 当时，取最大值54． 答：储料场面积的最大值为． 6．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点、分别在、上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少? (2)在矩形中， 设，． ①求y与x的函数关系，并求出自变量的取值范围； ②x取多少时，有最大值，最大值是多少? 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2) ；时， S的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）①利用正方形的判定方法得出邻边关系进而得出答案； ②由根据二次函数的最值即可求． 【详解】（1）解：， ∴， ， 设正方形的边长为， ， ， 答：这个正方形的边长是； （2）解：①在矩形中，设，， 由（1）可得：， ∴； ②由题意得， ∴ ∴时，的最大值是． 考点02二次函数的应用：销售问题（每每型问题） 7．（24-25九年级上·山东滨州·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25九年级上·山东威海·期末）某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是元/件，下列说法错误是（   ） A．销售量可以表示为 B．销售额可以表示为 C．所获利润可以表示为 D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用.能根据题意得出等量关系，根据等量关系列出函数关系式是解决此题的关键，根据销售量原销量多经销的销量即可列出关系式即可判断A；根据销售额销售量批发单价列出关系式即可判断B；根据所获利润销售量×单利润即可列出函数关系式即可判断C；再根据二次函数的性质即可求出所获利润有最大值，即可判断D． 【详解】解：根据题意： A、销售量可以表示为：，故选项A正确，不符合题意； B、销售额可以表示为：，故选项B错误，符合题意； C、所获利润可以表示为：，故选项C正确，不符合题意； D、所获利润可以表示为：，则当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 9．（24-25九年级上·山西长治·期末）中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套．为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套． (1)若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？ (2)当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1)该套装的销售单价应该定为140元 (2)当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出方程，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）设该套装的售价降低元，根据总利润=（销售单价-成本价）×销售数量，列方程求解，求解即可； （2）依据题意，每周出售该套装所获利润，再结合，从而当时，每周出售该套装所获利润最大，最大利润为42250元； 【详解】（1）解：设该套装的销售单价降低元，则销售单价为元，每周能销售套， 根据题意，得， ， 解得或（舍去）， ∴（元）， 答：该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元； （2）解：设每周的利润为y元，销售单价降低了元，则： ， ， 当时，每周的利润最大，最大利润为42250元， 此时销售单价为元， 答：当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元． 10．（24-25九年级上·全国·期末）某班学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经实验发现，若每件按26元的价格销售时，每天能卖出30件；若每件按30元的价格销售时，每天能卖出18件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足以x为自变量的一次函数． (1)求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润W最大？ 【答案】(1) (2)销售价格定为28元时，才能使每天获得的利润W最大 【分析】本题主要考察了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设y与x满足的函数关系式为，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可； （2）根据题意：每天获得的利润为：，利用二次函数的性质即可解答问题． 【详解】（1）解：设y与x满足的函数关系式为， 根据题意得：， 解得， ∴y与x满足的函数关系式是； （2）解：根据题意得：， ∵， ∴当时，W最大为192， 答：销售价格定为28元时，才能使每天获得的利润W最大． 11．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶． (1)若售价定为35元，每月可售出________桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为________元． (2)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ (3)若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)销售价格应定为元 (3)销售价格定到元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可． （1）由“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”进行解答；设销售价格应定为x元，根据“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”列出方程并解答； （2）设销售价格应定为y元，根据“每月有8000元的销售利润”列出方程并解答结合“薄利多销”取合适的值即可； （3）设利润为，售价为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当售价为35元时， 每月可以售出（桶）； 设销售价格应定为x元，则 ， 解得， 故答案为：；． （2）解：设销售价格应定为y元，则 ， 整理得：， 解得：或， 为体现“薄利多销”的销售原则， ， 答：销售价格应定为元． （3）解：设利润为，售价为元，根据题意得， ∵，且 ∴当时，取得最大值，最大值为元 答：销售价格定到元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是元． 考点03二次函数的应用：销售问题（表格类） 12．（24-25九年级上·广东东莞·期末）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … … 每天销售数量/件 … … (1)直接写出与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利（元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)当单价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）根据题意列出方程，解方程即可求解； （）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ， 答：销售单价为元； （3）解：由题意得，， ∵，， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 13．（24-25九年级上·湖北随州·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克），满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 70 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 100 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其他因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？ (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润为多少元？此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2)80元 (3)销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数在实际销售问题中的应用，解题的关键是根据给定数据求出函数关系式，并运用函数性质解决利润相关问题． （1）对于求与的函数关系式，利用给定的两组销售单价和销售量数据，代入一次函数，通过解方程组求出和的值． （2）计算期望利润为1600元时的销售单价，先根据利润公式列出方程，求解方程得到销售单价的值，再结合销售量不低于50千克的条件进行筛选． （3）求最大周利润及对应的销售单价，根据利润公式列出二次函数表达式，通过分析二次函数的性质得出结果． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 代入得： ，解得：， ∴； （2）解：由题得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴周销售单价定为80元； （3）解：设周销售利润为W，则： =， ∴当时，， ∴销售这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价是90元． 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元 【分析】（1）根据表格数据，由待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系计算出单个手工制品的利润，再由总利润单个商品利润销量即可得到利润关于的函数关系式； （3）由（2）中所得的利润关于的函数关系式，分段讨论，由二次函数图象与性质、反比例函数图象与性质求出最值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入得 ， 解得， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时， ； 关于的函数关系式为； （3）解：当时， ， ， ∴当时，有最大值，且； 当时， ∵， 随着的增大而减小， 当时，有最大值，且； ， 这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元． 【点睛】本题考查函数解应用题，涉及一次函数的应用、二次函数的应用及反比例函数的应用、待定系数法求一次函数关系式、求分段函数关系式、二次函数图象与性质求最值、反比例函数图象与性质求最值等知识，熟练掌握函数相关知识是解决问题的关键． 15．（2025·山东·期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 (3)该商店每周至少可获得3000元利润 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据利润=每盒利润×数量求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解； （3）结合（2）所求函数解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，把，和，代入，得 ， 解得， 所以y关于x的函数关系式为． （2）解：设每周出售糕点所获利润为w元 ， 当时w的最大值为5400． 所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元． （3）解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为， 该二次函数图象开口向下，且对称轴为， 所以当时，， 因此该商店每周至少可获得3000元利润． 考点04二次函数的应用：销售问题（图象类） 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物套装的销售量不低于240件． (1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围） (2)当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ (3)如果每天的利润不低于3000元，求销售单价x（元）的取值范围． 【答案】(1)； (2)当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； (3)当40≤x≤46时，每月利润不低于3000元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握函数图象信息，销售利润问题，列出函数表达式，不等式，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数表达式，求最值即可； （3）先求出利润等于3000元时的销售单价，结合网店希望每天第十九届亚运会吉祥物套装的销售量不低于240件，求出销售单价x(元)的取值范围即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入， 得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为：； （2）解：设每周可获利润为W元， ， 又∵， ∴， ∵时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为． 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． （3）解：依题意得：， 即， 解得：， ∵， ∵当时， 每月利润不低于3000元． 17．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 (3)当吉祥物“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． （1）设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，即可求得x的取值范围； （2）根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； （3）设每天获得的利润为w元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得：， ∴， ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍， ∴自变量x的取值范围是：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 18．（22-23九年级上·河南商丘·期末）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系． (1)当时，求与的函数关系式； (2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量； (3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)件 (3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要涉及一次函数的求解、一元二次方程的应用以及二次函数的最大值问题，解题的关键是通过给定的函数图像和条件，逐步求解函数关系式、批发量以及最大利润． （1）根据图像中的两点和，利用待定系数法，求解一次函数的系数和即可； （2）根据支付金额位于元和元之间，确定批发量位于与之间，利用函数关系式，确定，通过方程求解； （3）利润等于收入减去成本，当时，，通过二次函数的顶点式找到的最大值；当时，，利润随增加而增加，求出的最大值；和的最大值作比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为：， 把点和代入解析式得：，， 解得：，， 当时，与的函数关系式为：； （2）由图可知，当时，所付款为（元）， 当时，所付款为（元）， ， 购买数量位于与之间， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：此次批发量为件； （3）①当时，， ， 当时，有最大值，最大值为元； ②当时，批发单价固定，批发量越大，则利润越大， 当时，利润最大，最大利润为元； 综上所述，， 当时，最大，最大利润为元． 19．（24-25九年级上·山东威海·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 【答案】(1)，当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 (2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【详解】（1）解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； （2）解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元． 20．（24-25九年级上·山东威海·期末）“加快发展数字经济，促进数字经济和实体经济深度融合”，近年来威海市在数字经济关键核心技术领域呈现出良好的发展态势．某公司研发了两种新软件，2024年初上市后，两种产品经历了从亏损到盈利的过程．如图所示抛物线是A产品，直线是B产品，刻画了两种产品从年初以来累计利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）．根据图象提供的信息，回答下列问题： (1)求A，B两种软件y与x之间的关系； (2)______月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高；A，B两种软件9月份的利润和是_______万元；（直接写出答案即可） (3)2024年两种软件累计利润和是否可以达到60万元?若能，几月底能达到；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)5； (3)12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得两函数的交点坐标，再利用数形结合可求解；令，求得的值即可； （3）解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：解不等式， 得，， 观察图象，当时，直线在二次函数的图象的上方，且都在轴的上方， ∴5月份A，B软件累计利润都盈利，且B软件的累计利润比A软件累计利润高； 当时，（万元）； 故答案为：5；； （3）解：能， 由题意得，， 整理得， 解得（舍去），， 答：12月底两种软件累计利润和能达到60万元． 21．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）某种商品的销售单价（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图1所示（图象呈线段）每件的成本（元/件）与销售月份（月）之间的关系如图2所示（图象呈抛物线），且8月份该商品的成本达到最低． (1)求5月至7月该商品销售单价的月平均降价率； (2)求该商品销售单价关于销售月份的函数解析式； (3)在5月至8月中，哪个月销售这种商品，每件获得的利润最大？（利润售价成本） 【答案】(1)5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为； (2)； (3)5月销售这种商品，每件获得的利润最大． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为x，根据题意得：，然后进行计算即可； （2）利用待定系数法求一次函数解析式，即可得出答案； （3）利用待定系数法求二次函数解析式，然后设销售这种商品每件获得的利润是w元．再根据利润=售价-成本进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：设5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：5月至7月该商品销售单价的月平均降价率为； （2）解：设关于的函数解析式为． 把点与点代入中，得， 解得 ∴关于的函数解析式为； （3）∵抛物线的顶点坐标是， ∴设关于的函数解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴． 设销售这种商品每件获得的利润是元． 则． ∵该抛物线开口向下，对称轴是， ∴在对称轴的右侧，随的增大而减小． ∵， ∴当时，取最大值， ∴当时，取最大值， ∴5月销售这种商品，每件获得的利润最大． 考点05二次函数的应用：投球类问题 22．（24-25九年级下·天津·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是（　　） A．当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为 B．小球距点水平距离超过4米后呈下降趋势 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．斜坡的坡度为 【答案】D 【分析】求出当时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D．本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数 ∴当时，， 整理得 ， 解得， ∴当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为，选项A的说法是正确，不符合题意； ， 则抛物线的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B的说法是正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C的说法是正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数刻画， ∴当时，， ∴斜坡的坡度为，选项D的说法是不正确，符合题意； 故选D． 23．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 【答案】 1.35 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——投球问题．熟练掌握适当建立坐标系，待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为：，设I为拦网正上方抛物线上的点，求出，代入解析式求得 ，得到抛物线表达式为：，解方程，得，即得点Q到拦网的距离；若落点Q在距离为处，设x轴交于点J，根据， ，由勾股定理即得． 【详解】①如图，以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系， 则抛物线的表达式为：， 设I为拦网正上方抛物线上的点， 由题意知，，O点到的距离为， 则，， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为：， 当时，， 解得（舍去），， ∴点Q到拦网的距离为：； ②若落点Q在距离为处， 设x轴交于点J， 则， ∵， ∴， ∴在中，． 故答案为：1.35，． 24．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3)的绝对值变小，可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 25．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线．如图所示，建立平面直角坐标系．已知米，米，跳水曲线在离起跳点A水平距离为米时达到距水面最大高度米． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点G与点A的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②米 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）①根据题意，得到点坐标和抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出时，的值，进而求出运动员落水点与点的距离即可； （2）设抛物线的解析式为：，将代入得到，再把点，两点分别代入求出的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线顶点坐标为，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ②当时，， 解得：（舍去）； ∴， ∵， ∴米； ∴运动员落水点G与点A的距离为米； （2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入，得： ， ∴， ∴， 当抛物线过点时，，解得：； 当抛物线过点时，，解得：； ∴． 27．（2025·江西九江·一模）2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 【答案】(1) (2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解； （3）把代入，求出与的关系式，当时，，当时，，解不等式即可求解最大值． 【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内； （3）解：把代入，得：， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ， 的最大值为． 考点06二次函数的应用：喷水类问题 28．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 29．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅在调试时发现：喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【答案】20 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的关系式， 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5米时，可设，将代入关系式得出；当喷头高度为时，可设，将代入关系式得，联立求出a，b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，此时的关系式为，将代入求出答案即可． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，对称轴也不变， ∴二次项系数和一次项系数都不变， 当喷头高时，可设， 将代入关系式，得； 当喷头高度为时，可设， 将代入关系式得. 联立，得， 解得． 设喷头高为h时，水柱落点距O点， 此时的关系式为， 将代入关系式，得， 解得． 当喷头高时，水柱落点距O点． 故答案为：20． 30．（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 (1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． (2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【答案】(1)图象见解析，， (2) 【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及； （2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如下： ，抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； （2）解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 31．（2024·山西·期末）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 32．（2024·广东深圳·期末）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 33．（24-25九年级上·广东潮州·期末）综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点B的坐标为 (3) 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 考点07二次函数的应用：拱桥类问题 34．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：B． 35．（2025九年级下·全国·专题练习）图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故答案为：40． 36．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 37．（24-25九年级上·全国·期末）小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． (1)写出M、C、N、F四个点的坐标； (2)求出抛物线的表达式； (3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】(1) (2)抛物线的表达式为 (3)卡车载物后的限高应是 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【详解】（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； （2）解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 38．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）（项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），；（2）（或），（3）． 【分析】（1）连接，过点作于点，交于点，由题意可知，，，，，，求出，即可求解； （2）先求出点，即可求出二次函数表达式； （3）先求出，则要求最大值，可先求最大值，求出直线解析式为，设，则，则， 则最大值为，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图： 由题意可知，，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， 即固定旗杆需要的铁丝长度为， 故答案为：，； （2）如图所示： ∵为大门两旁立柱，且高均为2米， ∴， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴顶点C的横坐标为， 又∵C距地面的距离为米， ∴， 设抛物线表达式为， 由题意知， 将，代入中， 解得： ， ∴抛物线表达式为或； （3）如图，连接，过点作轴平行线，交于点H，交于点I， 由题意知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴要求最大值，可先求最大值， 设直线解析式为， 将)， ，代入，得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴最大值为， ∴， ∴， 四个接口处所需铁丝长度为， ∴绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 39．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度为8米．现以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建过程中，施工队需要搭建矩形支架（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为； (2)这个支架总长的最大值是10米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）先求出点，顶点即，然后用待定系数法求解即可； （2）设米、则米，根据周长公式列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵为8米，最高点P距离地面的高度为4米， ∴点，顶点即 设抛物线的解析式为，把点M的坐标代入，得， 解得． 这条抛物线的解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ． 设米、则米，米． 设支架总长为w， 则． ∵， ∴当时， ∴w有最大值，且最大值为， 答：这个支架总长的最大值是10米． 考点08二次函数的应用：刹车类问题 40．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)72m (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】（1）设，将，，代入， 得，解得， 关于t的函数解析式为：； （2）当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）不会．理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 41．（24-25九年级上·广东·期末）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响” 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据： 任务一：数据收集 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 ．．． 运动速度 10 9 8 7 6 5 ．．． 滑行距离 0 19 36 51 64 75 ．．． 任务二：观察分析 （1）数学兴趣小组通过绘制、观察所作的函数图象，并结合已经学过的数学知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系、请你结合表格数据．直接写出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围．） 任务三：问题解决 （2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； （3）当小球到达木板点A的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）， （2）当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为 （3）若小球不能撞上小车， n的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）令，求得小球停下来的时间，再将代入y与x的函数关系解答即可； （3）假定经过t秒小球追上电动小车，得到关于t的一元二次方程，令，得到关于n的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系， 设v与x的函数关系为，y与x的函数关系为， 将代入，得 ， 解得， v与x的函数关系为， 将代入，得 ， y与x的函数关系为； （2）当时，则， 解得， 将代入，得 ， 当小球在水平木板上停下来时，小球的滑行距离为； （3）假定经过t秒小球追上电动小车， ， ， 由题意得， ， 若小球不能撞上小车， n的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求解析式，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 考点09二次函数的有关推理计算与证明问题 42．（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）先求出二次函数的解析式为，再配方求顶点坐标即可； （2）由可得，得到抛物线的解析式为，对称轴为，当根据时， 和都在右侧， 当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧，最后利用增减性求解即可； （3）设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】（1）解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； （3）解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 43．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数． (1)该函数图像的对称轴是______； (2)无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； (3)若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用二次函数的对称轴直线代入数值化简，即可作答． （2）先把把代入，得，则二次函数经过点，结合对称性得出点关于直线对称的点为，即可作答． （3）先得出，要进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数， ∴把代入，得， 即二次函数经过点， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为， 则无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，且这两个定点的坐标分别为和； （3）解：当时，；当时，．理由如下： ∵点，在该函数图像上， ∴， 则， 当时，则，即； 当时，则，即． 综上：当时，；当时，． 44．（24-25九年级上·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线顶点坐标； (2)在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值； (3)已知和是抛物线上两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查二次根式的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）将代入解析式，再将解析式变形为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据平移方式求出平移后的解析式，求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）先求出对称轴为：直线，再分和两种情况，根据抛物线的增减性分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点为； （2）解：由题意知，抛物线的解析式， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为， 即， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时， 时，二次函数有最大值，最大值为：， 时二次函数有最小值，最大值为：； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于，，都有， 则， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， 对称轴为：直线， ∴在抛物线上的对称点为， 若对于，，都有， 则， 的取值范围为：或． 45．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图1，点A，B的坐标分别为，，抛物线的两个端点分别为A，B． (1)求h的值． (2)若抛物线与x轴只有一个交点，求抛物线L的解析式． (3)如图2，当时，经过点的一条直线与抛物线只有一个交点，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数的图象与性质． （1）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质解答即可； （2）根据抛物线L与x轴只有一个交点，得到抛物线L的顶点在x轴上，则，再利用待定系数法解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①当直线从（含）位置旋转到（不含）位置时，直线与抛物线只有一个交点，利用待定系数法分别求得直线，的解析式解答即可；②当直线经过抛物线L的顶点时，利用平行于x轴的直线的特征解答即可． 【详解】（1）解：点，的纵坐标相等， 点A，B关于抛物线L的对称轴对称， 抛物线L的对称轴为直线， 抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：抛物线L与x轴只有一个交点， 抛物线L的顶点在x轴上，顶点纵坐标为0， 由（1）可知，抛物线L的对称轴为直线， 顶点的横坐标为1， 顶点的坐标为， 设抛物线L的解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线L的解析式为； （3）解：将直线看作绕点旋转的一条直线，有两种情况： ①如图1，当直线从（含）位置旋转到（不含）位置时，直线与抛物线只有一个交点， 把，代入得，解得，即直线的解析式为， 同理由，，得直线的解析式为， 故n的取值范围为； ②如图2，当直线经过抛物线L的顶点时， 抛物线的顶点为，与点的纵坐标相等， 直线与x轴平行，与抛物线L只有顶点这一个交点， 此时，即，． 综上所述，n的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $