专题08二次函数的图象与性质（13大高频考点）（期末真题汇编52题）九年级数学上学期北师大版

专题08二次函数的图象与性质（13大高频考点） 13大高频考点概览 考点01二次函数的有关定义 考点02二次函数的性质（顶点式） 考点03二次函数的性质（一般式） 考点04二次函数的平移 考点05二次函数的增减性 考点06利用二次函数的对称性求值 考点07二次函数的对称问题 考点08二次函数的最值问题 考点09二次函数与一元二次方程之间的关系 考点10二次函数与不等式问题 考点11二次函数的图象与系数之间的关系 考点12二次函数性质的推理与证明综合问题 考点13二次函数的性质与新定义问题 考点01二次函数的有关定义 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知二次函数开口向下，则 ． 考点02二次函数的性质（顶点式） 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 5．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·全国·期末）已知抛物线，将此抛物线绕原点旋转后，得到新抛物线的函数表达式为 ． 考点03二次函数的性质（一般式） 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为7 D．当时，y随x值的增大而增大 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 9．（24-25九年级上·青海海东·期末）抛物线的对称轴是直线 ． 考点04二次函数的平移 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 11．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 12．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 13．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点是抛物线上的一点． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 14．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 考点05二次函数的增减性 15．（21-22九年级上·浙江台州·期末）已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 考点06利用二次函数的对称性求值 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（　　） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． A．5 B． C． D．0 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在二次函数中，与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 20．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是 ． 21．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 22．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 考点07二次函数的对称问题 23．（23-24九年级上·山东威海·期末）对于二次函数，y与x的部分对应值如下表： 2 12 5 12 对于结论：①该抛物线的对称轴是直线；②该抛物线与y轴的交点坐标为；③；④若点在该抛物线上，则．正确的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 24．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数（，为常数，且），当时的函数值与当时的函数值相等，则当时的函数值为 ． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 考点08二次函数的最值问题 26．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ． 27．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 28．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ． 30．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数与轴有两个交点． (1)求实数的取值范围． (2)若此二次函数有最小值，求的值． 31．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 (1)函数图象过，，求b、c的值 (2)若，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由； (3)若，y在上的最小值是，求b的值． 考点09二次函数与一元二次方程之间的关系 32．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 33．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 34．（23-24九年级上·安徽池州·期末）若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ． 35．（22-23九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 考点10二次函数与不等式问题 36．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 37．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论：①；②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 38．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 40．（24-25九年级上·贵州·期末）已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． (1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； (2)请根据图象直接写出不等式的解集； (3)求该二次函数在范围内的最大值与最小值． 考点11二次函数的图象与系数之间的关系 41．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42．（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线关于直线对称．下列四个结论中，①；②；③；④当时，；⑤，正确的有 （填序号）． 44． （24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是 45． （填写序号） 45．（24-25九年级上·广东东莞·期末）二次函数 （，，为常数，）的与的部分对应值如下表： x 0 3 y n 2 2 当时，下列结论中一定正确的是 （填序号）． ①；②抛物线与轴的交点坐标是和； ③对于任意实数，总有； ④若关于的方程的两根是，则． 考点12二次函数性质的推理与证明综合问题 46．（24-25九年级上·北京·期末）已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 47．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 48．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)已知点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围； (3)直线l交抛物线于点，（点B在点A的左侧），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围． 49．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 考点13二次函数的性质与新定义问题 50．（21-22九年级上·山东济南·期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 51．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，定义：若，称该函数为“纵型函数”． (1)函数 （填“是”或“不是”）“纵型函数”； (2)已知关于的二次函数是“纵型函数”，则的取值范围是 ． 52．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08二次函数的图象与性质（13大高频考点） 13大高频考点概览 考点01二次函数的有关定义 考点02二次函数的性质（顶点式） 考点03二次函数的性质（一般式） 考点04二次函数的平移 考点05二次函数的增减性 考点06利用二次函数的对称性求值 考点07二次函数的对称问题 考点08二次函数的最值问题 考点09二次函数与一元二次方程之间的关系 考点10二次函数与不等式问题 考点11二次函数的图象与系数之间的关系 考点12二次函数性质的推理与证明综合问题 考点13二次函数的性质与新定义问题 考点01二次函数的有关定义 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知二次函数开口向下，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的概念及性质，熟练掌握其二次函数的概念及性质是解决此题的关键．由二次函数开口向下，可得且，解方程即可得答案． 【详解】解：二次函数开口向下， 且， 解得：， 故答案为：． 考点02二次函数的性质（顶点式） 4．（24-25九年级上·山西长治·期末）对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握函数的性质． 根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级下·山东青岛·期末）已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象点的坐标特征由图象中存在，两个对称点可得是抛物线与x轴右侧交点，作出图象求解． 【详解】解：如图， 设点与关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（23-24九年级上·全国·期末）已知抛物线，将此抛物线绕原点旋转后，得到新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；将抛物线绕原点旋转可看作是该二次函数的顶点坐标绕原点旋转，然后问题可求解． 【详解】解：由二次函数可知：顶点坐标为，开口向下， 所以将此抛物线绕原点旋转后，得到新抛物线的函数开口向上，顶点坐标为， ∴新抛物线的函数表达式为； 故答案为． 考点03二次函数的性质（一般式） 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（   ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为7 D．当时，y随x值的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，即当时，y随x值的增大而增大；故D选项正确，符合题意； 当时，，解得，， ∴， ∴，故C选项不正确，不符合题意． 故选：D． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．最小值是6 B．最小值是 C．最大值是3 D．最大值是 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴二次函数的最小值是， 故选：B． 9．（24-25九年级上·青海海东·期末）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．将二次函数解析式化为顶点式求解即可． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 考点04二次函数的平移 10．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 11．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移． 根据二次函数图象的平移规律，可得平移后的解析式，由代数式相等，可得对应项的系数相等，从而可得，，的值，代入计算即可． 【详解】解：把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为， 化简整理得， 根据题意可得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的值为， 故选：A． 12．（24-25九年级上·河南周口·期末）将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先确定原二次函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标． 【详解】解：原二次函数的顶点坐标为． 根据平移规律“左加右减，上加下减”，向左平移个单位长度，横坐标变为；再向下平移个单位长度，纵坐标变为． 所以新抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，点是抛物线上的一点． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）先表示平移后的函数解析式，再代入求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得． 14．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知抛物线过点，顶点为．抛物线． (1)求的值和点的坐标． (2)求证：无论为何值，将的顶点向左平移2个单位长度后一定落在上． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出，从而得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得解； （2）求出平移后的坐标为，再求出当时，的值，即可得证． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∴； （2）证明：将向左平移个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在抛物线上． 考点05二次函数的增减性 15．（21-22九年级上·浙江台州·期末）已知抛物线过，，，四点，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质．解题的关键是根据抛物线的对称性求出抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性，增减性． 根据，两点的函数值相同，求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的增减性质，比较函数值大小即可． 【详解】解：抛物线过，两点， 对称轴为直线． ，开口向上， 当时，随的增大而减小， ∵， ， ， ， ， 故选：B． 16．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式确定开口方向及对称轴，分，，三种情况，分别考虑即可求解． 【详解】解：点A在点B的左侧， ． 中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，； 当时，y随x的增大而减小，； 当时，若，则， 解得； 综上可知，与满足的条件是：且． 故答案为：且． 考点06利用二次函数的对称性求值 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）设二次函数（是常数），部分对应值如下表：当时，（　　） ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． A．5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数据，可以求出该函数图象的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性，即可求得当对应的函数值． 【详解】解：由表格可得， 该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，， 故选：D． 19．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在二次函数中，与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 … … … 则的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．根据表格的、的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线， 当时，， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，函数有最大值，即最大值为， ，分别为点和的纵坐标， ， 故选：B． 20．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得． 【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且， 由题意得：，解得， 则抛物线与轴的两个交点坐标分别为， 将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， 则点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 21．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数图象上有两个不同点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 22．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为 ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解． （1）根据对称点，即可求解对称轴； （2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案． 【详解】解：（1）若，则点关于直线对称， ∴， 故答案为：4； （2）， 图象开口向上，与轴的交点坐标为， 图象有点，点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 考点07二次函数的对称问题 23．（23-24九年级上·山东威海·期末）对于二次函数，y与x的部分对应值如下表： 2 12 5 12 对于结论：①该抛物线的对称轴是直线；②该抛物线与y轴的交点坐标为；③；④若点在该抛物线上，则．正确的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象以及性质，需要灵活应用二次函数的性质解决问题，读懂信息是解题的关键，属于中考常考题型．根据表格提供的信息以及二次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：①因为或时，的值都是12，所以对称轴是直线．故①正确； ②因为对称轴是直线，所以点的对称点为，所以该抛物线与轴的交点坐标为．故②正确； ③由表格数据可知，抛物线与轴有交点，所以．故③错误； ④由表格数据可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，因为，由表格可知当时，， 所以若点是该抛物线上一点，则．故④正确． 故选：D 24．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数（，为常数，且），当时的函数值与当时的函数值相等，则当时的函数值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 由当时的函数值与当时的函数值相等可得，即，从而得到函数解析式为，继而即可求得时的函数值． 【详解】解：当时的函数值与当时的函数值相等， 二次函数图象的对称轴，即， 则二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先由函数的解析式得开口向上，对称轴是直线，再逐个算出结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，对称轴是直线， ∵二次函数的图象过点，点 ∴ ∵二次函数的图象过点．且， ∴， ∵对称轴是直线， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∴关于直线对称的点的坐标为， ∵二次函数的开口向上， ∴或． 故答案为：或． 考点08二次函数的最值问题 26．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，应用数形结合思想是解题的关键；根据对称性求出关于对称轴的对称点为，再根据恒成立，可得，即可得解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， ， ， ， 均在对称轴的右侧， 恒成立， ， ， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将代入， 可得， 解得或， ， ； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， 当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 28．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、区间最值，结合对称轴对区间进行分类讨论是解题的关键． 把代入中可得函数解析式，进而可得二次函数开口向上以及对称轴，结合知区间的中点在对称轴的右侧，由于区间中点在对称轴右侧，故函数在区间右端点的值大于左端点的值，再对区间左端点分类讨论即可． 【详解】解：∵把代入中，得：, ∴， ∴函数解析式为：， ∵， ∴二次函数开口向上，对称轴为轴， ∵， ∴，， ①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴， 解得：， 且， 则有， 解得：； ②当，即时，函数在处取得最大值， ∴， 解得：，这与矛盾，故不成立； 综上可得：． 故答案为： ． 29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解． 【详解】解：， ∴从点火升空到引爆需要的时间为， 故答案为：． 30．（21-22九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数与轴有两个交点． (1)求实数的取值范围． (2)若此二次函数有最小值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与轴有两个交点，则对应的二次方程有两个解； （2）掌握二次函数最值求解方法，二次函数，当时，二次函数开口向上有最小值，最小值为；当时，二次函数开口向下，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：二次函数与轴有两个交点， 对应的一元二次方程， ，即， 解得． （2）由题意可知，， ，，， ，函数开口向上，有最小值， 最小值利用公式可求得， ， ， 解得：． 【点睛】求解本题重点是掌握两点一元二次函数与一元二次方程得关系；一元二次函数的最值求解公式，即顶点的纵坐标． 31．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数 (1)函数图象过，，求b、c的值 (2)若，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由； (3)若，y在上的最小值是，求b的值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)3或 【分析】本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）令，判断所得方程的判别式大于0即可求解； （3）先根据解析式得出对称轴为直线，分，和三种情况，根据最小值为，分别计算即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得； （2）解：存在，理由如下： 若，则， 令，则， ， ， 有实数解， 若，存在实数x，使得相应的y的值为1． （3）解：若，则，对称轴为直线， 当时，抛物线在处取最小值， 即， 解得； 当时，抛物线在处取最小值， 即， 解得， 此时，不合题意，舍去； 当时，抛物线在处取最小值， 即， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）； 综上可知，b的值为3或． 考点09二次函数与一元二次方程之间的关系 32．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则方程的解为，，由于关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，所以或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的解为，， ∵关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得，， 即关于的一元二次方程的解为，， 故选：D． 33．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的对称轴为直线，若关于的方程（为实数）在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由对称轴可得，得到二次函数，顶点坐标为，可得当时，；当时，，进而由方程（为实数）在的范围内有实数解，可得的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即可求解，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数，顶点坐标为， 当时，；当时，， ∵关于的方程（为实数）在的范围内有实数解， ∴的取值范围为抛物线顶点到直线之间的区域，即， 故选：． 34．（23-24九年级上·安徽池州·期末）若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一次函数的性质，分两种情况：当，即时，此时为一次函数；当时，此时为二次函数，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当，即时，函数为，此时为一次函数，该函数图象与x轴只有一个交点， 当时，此时为二次函数，令，则，此时， 解得， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 35．（22-23九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 考点10二次函数与不等式问题 36．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方， 且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 故选：． 37．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数的与的部分对应值如表： 1 5 0 5 9 5 下列结论： ①； ②关于的一元二次方程有两个相等的实数根； ③当时，的取值范围为； ④若点，均在二次函数图象上，则； ⑤满足的的取值范围是或． 其中正确结论的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时，的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为，共3个． 故选：C． 38．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，则满足不等式组的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，然后根据图象可知当时，x的取值范围为，然后问题可求解． 【详解】解：设二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则由抛物线的对称轴为直线，与直线交于点，，可知： ， ∴，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：当时，x的取值范围为， ∴满足不等式组的整数只有3一个； 故选：A． 39．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或． 40．（24-25九年级上·贵州·期末）已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． (1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； (2)请根据图象直接写出不等式的解集； (3)求该二次函数在范围内的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3)10； 【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，利用抛物线图象求不等式解集．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用图象法，根据抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上，数形结合即可求不等式的解． （3）求出当时， 当时，求出y值，再将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线的最小值，由抛物线的性质可求解． 【详解】（1）解：把和代入，得 ， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：由图可知，抛物线与x轴交点坐标为和，抛物线开口向上， ∴不等式的解集或． （3）解：由（1）得， 当时， ， 当时， ， ∴，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， 当时，有最小值， 当时，y随x增大而减小， 当时，y随x增大而增大， ∴当时，最大值为10，最小值为． 考点11二次函数的图象与系数之间的关系 41．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图象像与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图像与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图像可知：开口向下，即；抛物线与y轴交于负半轴，即，对称轴在y轴的右侧，即， ∴，即且，故⑤正确； ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于不同的两点， ∴，故②正确； 由图象可知：当时，则有，当时，则有，故③错误，④正确； 综上所述：正确的有②④⑤，共3个； 故选B． 42．（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 43．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，抛物线关于直线对称．下列四个结论中，①；②；③；④当时，；⑤，正确的有 （填序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线开口方向以及与y轴的交点以及对称轴可判断①②；根据抛物线与x轴的交点可判断③；根据抛物线的对称性和图象在x轴上方部分可判断④；观察时可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， ∵抛物线关于直线对称， ∴，则， ∴，故①错误； ∵， ∴，②错误， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③错误； 由图知，当时，，故⑤正确； ∵抛物线关于直线对称， ∴当时，， ∴当时，不一定成立，故④错误， 综上，正确的有①⑤． 故答案为：①⑤． 44．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据抛物线经过点，，可得，对称轴为，推出，，再结合，，可判断①和②；根据抛物线上的两点，，且，结合抛物线的对称轴为，列出关于的不等式，求出的范围，可判断③；代入，到方程，再利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴，对称轴为， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线上的两点，，且， ∴， 解得：， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的方程无实数根，故④正确； ∴综上所述，一定正确的是①②④． 故答案为：①②④． 45．（24-25九年级上·广东东莞·期末）二次函数 （，，为常数，）的与的部分对应值如下表： x 0 3 y n 2 2 当时，下列结论中一定正确的是 （填序号）． ①； ②抛物线与轴的交点坐标是和； ③对于任意实数，总有； ④若关于的方程的两根是，则． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式等知识，有一定难度．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由表格可知该二次函数对称轴为直线，抛物线开口向下，即得出，，即得出，可判断①；将该抛物线向下平移2个单位，抛物线解析式为，即得出此时与x轴的交点坐标为，，可判断②；由抛物线可知当时，函数有最大值，且最大值为，即得出对于任意实数t，总有，可判断③；由该二次函数对称轴为直线，抛物线开口向下，易知在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即得出关于x的方程的两根是，则，可判断④． 【详解】解：由表格可知该二次函数对称轴为直线， ∴，即． ∵， ∴抛物线开口向下，则， ∴． 当时，， ∴， ∴，故①不符合题意； 由表格可知，为抛物线上两点，将该抛物线向下平移2个单位，则两点变为，，此时抛物线解析式为， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，，故②符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，且最大值为， ∴对于任意实数t，总有，即，故③符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，，为抛物线上两点， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∴关于x的方程的两根是，则，故④符合题意． 综上可知②③④正确． 故答案为：②③④． 考点12二次函数性质的推理与证明综合问题 46．（24-25九年级上·北京·期末）已知抛物线． (1)若抛物线过点，求的值； (2)抛物线经过，两点，若对于，且都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线过点，得且，求解即可； （2）当时，则，即可求解；当时，当时；当即时，只要满足即可；当即时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴且， 解得：或（舍去）， 即； （2）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴抛物线开口向上，点与关于直线对称， ∵，在抛物线上，且对于，都有， ∴， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， ∵，在抛物线上，且对于，都有， 又∵， ∴在对称轴的右侧； 当，即， 此时，即， ∵， ∴与对称轴的距离小于与对称轴的距离， ∴， 则； 当即时，则， 解得：； 此时不合题意； 当即时，， 解得：； 此时不合题意； 综上，； 综上所述，的取值范围或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 47．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，则函数的表达式为________． (2)当时，写出一个的值，使函数图象的顶点坐标始终在直线的下方，并说明理由． (3)当，时，函数图象上有点，直线上有点，若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象经过和两点，从而，且，进而求出，后可以判断得解； （2）依据题意，当时，函数为，从而可得对称轴是直线，则顶点为，，结合顶点坐标始终在直线的下方，可得，进而求出的范围； （3）依据题意，当，时，函数为，从而，结合，故，进而或，最后计算可以判断得解． 【详解】（1）解：函数的图象经过和两点， ，且． ，． 二次函数的表达式为． 故答案为：． （2）解：由题意，当时，函数为． 对称轴是直线． 顶点为，． 又顶点坐标始终在直线的下方， ． ． 或． （3）解：由题意，当，时，函数为． ． 又， ． ． 或． 或． 48．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)已知点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围； (3)直线l交抛物线于点，（点B在点A的左侧），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数解析式、二次函数和一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数交点问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式，并化成顶点式，写出顶点坐标即可； （2）根据二次函数的图象和性质解答即可； （3）先求出，．抛物线顶点在下方，点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），据此即可写出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴顶点为； （2）由（1）可知，，对称轴为直线，开口向上， ∴关于直线的对称点是， ∵当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∴当或时，； （3）解：把代入得， ∴， 把代入得，， 或 ∵点B在点A的左侧 ∴不合题意，舍去， ∴， ∴，． ∴抛物线顶点在下方， ∴． 49．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 【答案】(1)①；②. (2)见解析. 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键. （1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题； （2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题． 【详解】（1）①当时，将点代入函数解析式得， ， 解得． 所以二次函数的表达式为． ②因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，y随x的增大而增大． 故一个符合条件的x的取值范围是：． （2）证明：因为抛物线的对称轴为直线， 又因为， 所以点和点关于抛物线的对称轴对称， 则． 又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数， 所以m和p都是非正数，n是正数， 则， 解得． 所以． 考点13二次函数的性质与新定义问题 50．（21-22九年级上·山东济南·期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 51．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，定义：若，称该函数为“纵型函数”． (1)函数 （填“是”或“不是”）“纵型函数”； (2)已知关于的二次函数是“纵型函数”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)不是 (2)或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，新定义函数及不等式，熟练掌握新定义函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由“纵型函数”定义，结合二次函数性质求出最值，列不等式求解即可得到答案； （2）由“纵型函数”定义，结合二次函数性质分类讨论求出最值，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：函数的对称轴为，开口向上， 函数有最小值为， 与的函数值均是， ， ， 函数不是“纵型函数”， 故答案为：不是； （2）解：关于的二次函数的对称轴为， 当时，抛物线开口向上，当时，的最小值为；当时，的最大值为， 即， 关于的二次函数是“纵型函数”， ，解得； 当时，抛物线开口向下，当时，的最大值为；当时，的最小值为， 即， 关于的二次函数是“纵型函数”， ，解得； 综上所述，的取值范围是或， 故答案为：或． 52．（24-25九年级上·湖南永州·期末）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81    （2），    （3）最优纵横值为 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $