专题07直角三角形的三边关系（14大高频考点）（期末真题汇编45题）九年级数学上学期北师大版

专题07直角三角形的三边关系（14大高频考点） 14大高频考点概览 考点01锐角三角函数的定义 考点02求角的正弦值 考点03已知正弦值求边长 考点04求一个角的余弦值 考点05已知余弦求边长 考点06求一个角的正切值 考点07已知正切求边长 考点08特殊角的三角函数值 考点09解直角三角形 考点10锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 考点11锐角三角函数的应用：方向角问题 考点12锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 考点13锐角三角函数与几何综合问题 考点14锐角三角函数与圆综合问题 考点01锐角三角函数的定义 1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A．； B．； C．； D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 考点02求角的正弦值 4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，C，D都在格点（网格线的交点）上．若以为直径的圆经过点B和点C，则的值为 ． 考点03已知正弦值求边长 7．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 9．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 考点04求一个角的余弦值 10．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 11．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，于点，则的值为 ． 考点05已知余弦求边长 13．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 15．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 考点06求一个角的正切值 16．（21-22九年级上·陕西汉中·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 17．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上，且满足，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 考点07已知正切求边长 19．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 20．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 21．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是 ． 考点08特殊角的三角函数值 22．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）计算： ． 23．（25-26九年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 24．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知是锐角，且． 求的值． 考点09解直角三角形 25．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 26．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 27．（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 28．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求：(1)的长；(2)的正弦值． 29．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 考点10锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 30．（24-25九年级上·广西贺州·期末）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为 米． 31．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 32．（25-26九年级上·全国·期末）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走，从点E处看点B，仰角，且点D到点E走了2.2米．求匾额悬挂的高度．（参考数据：，，） 33．（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 考点11锐角三角函数的应用：方向角问题 34．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 35．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东方向且米，景点D在景点A的东北方向． (1)求道路AD的长度（结果保留根号）； (2)若甲从景点A出发沿的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：，） 36．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，） 37．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，） (1)求配送站点与之间的距离； (2)“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？ 考点12锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 38．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 39．（17-18九年级上·江苏苏州·期末）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 40．（24-25九年级上·陕西西安·期末）知识在窗外，世界是教材．中学生的研学活动就是对学校教育的有效补充．秋高气爽的10月，小艺和全班同学一起去研学旅行．午饭后同学们在斜坡上的一棵树下休息．喜欢思考的小艺和小组成员根据所学知识共同设计了一个数学问题：如图，斜坡的坡度，斜坡上的大树垂直于水平面，此时，太阳光与水平面的夹角为，大树在斜坡上的影子长为10米，小艺和小组同学估计这棵树超过了10米，他们的估计正确吗？请说明理由．（参考数据：，） 考点13锐角三角函数与几何综合问题 41．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 43．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）综合与探究：如图1，正方形的对角线交于点O，点E在边上，，交于点F，过点B作的垂线交于点G，连接． (1)求证：； (2)用含有n的代数式表示的值； (3)如图2，若，则n的值为 ． 考点14锐角三角函数与圆综合问题 44．（18-19九年级上·江苏南通·期末） 已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点． (1)求证：P是的外心； (2)若，，求的长； (3)求证：． 45．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是线段延长线上的一点，连接交于点，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（）的条件下，设，． 求关于的函数表达式； 若为的中点，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直角三角形的三边关系（14大高频考点） 14大高频考点概览 考点01锐角三角函数的定义 考点02求角的正弦值 考点03已知正弦值求边长 考点04求一个角的余弦值 考点05已知余弦求边长 考点06求一个角的正切值 考点07已知正切求边长 考点08特殊角的三角函数值 考点09解直角三角形 考点10锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 考点11锐角三角函数的应用：方向角问题 考点12锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 考点13锐角三角函数与几何综合问题 考点14锐角三角函数与圆综合问题 考点01锐角三角函数的定义 1．（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查有关解直角三角形的应用、解题的关键是掌握锐角三角函数．在中，利用勾股定理可判断A选项，利用锐角三角函数可判断B、C选项；利用特殊角的三角函数值可判断D选项． 【详解】解：在中，，， ，A选项结论正确，不符合题意； ，B选项结论正确，不符合题意； ，， 则，C选项结论正确，不符合题意； ，则，D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、求正弦值等知识点，掌握正弦的定义成为解题的关键． 如图：根据直角三角形的性质可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵在中，，是斜边上的中线，， ∴， ∴． 故答案为：． 考点02求角的正弦值 4．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理，求三角函数值，先根据算术平方根定义得出大正方形边长为，小正方形的边长为1．求出三角形的面积，根据三角形面积公式和勾股定理得出，求出，然后再根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：根据题意，大正方形边长为，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为：， 设三角形两直角边为、，则：． 根据勾股定理得：， 联立解得，（负值舍去） ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，C，D都在格点（网格线的交点）上．若以为直径的圆经过点B和点C，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，正弦的定义，勾股定理，先根据直径所对的圆周角为直角得出，再根据勾股定理得出，根据圆周角定理得出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：​． 考点03已知正弦值求边长 7．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在等腰中，，，则点B到直线的距离是（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，过点B作于点D，根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， 即点B到直线的距离是． 故答案为：B． 8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 考点04求一个角的余弦值 10．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则的值是（    ） A．2 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据勾股定理，可得的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图： 由题知，，，， 由勾股定理，得， ． 故选：D． 11．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质， 先作，构造出直角三角形，再结合余弦的定义. 【详解】过点A作，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，. 故选：B． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数． 首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值． 【详解】解：在中， ，，， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 考点05已知余弦求边长 13．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法，几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，，根据余弦值得到相似比，由此得到，求出的面积，根据，结合图象即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 考点06求一个角的正切值 16．（21-22九年级上·陕西汉中·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和正切，利用勾股定理求出三角形的三条边，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 17．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点、、、在格点上，连接、，点在上，且满足，则的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆周角定理以及锐角三角函数，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 如图，以O为圆心，1为半径作，首先算出的正切值，根据圆周角定理可得，进而得到的正切值． 【详解】解：如图以O为圆心，1为半径作， ，， ， ， ， 故选C． 18．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先利用因式分解法解方程可得到，，得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，由折叠得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解： 得，． ， ，， 连接， ，， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ，， ， ∴， 由翻折，使点落在上的点D处， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解一元二次方程，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形，理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 考点07已知正切求边长 19．（24-25九年级下·重庆大足·期末）如图，在正方形中，为上一点，连接，过作于点，延长交的延长线于点．若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，先由正方形的性质得到，，再导角证明，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 20．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，点D是上一点，且，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，解一元二次方程．作的外接圆，作的直径，作于点，利用圆周角定理求得，证明四边形是矩形，推出，利用垂径定理结合圆周角定理求得，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：作的外接圆，作的直径，作于点，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得(负值已舍)， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，是边上的高，点E是的中点，若，，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正切的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据高的定义以及勾股定理可得，再根据直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，即，进而得到；然后运用勾股定理可得，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 考点08特殊角的三角函数值 22．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶． 23．（25-26九年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，乘方运算等知识，熟知特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算出特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解； （2）先计算乘方、特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 考点09解直角三角形 25．（22-23九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，于D，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，求锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）利用勾股定理求出，然后求锐角三角函数的值即可； （2）利用等面积法求出的长，然后求锐角三角函数即可； （3）利用等面积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由等面积法可得，， ∴， ∴； （3）解：由等面积法可得，， ∴． 26．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 27．（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，，是斜边的中线，过点作的垂线与边和的延长线分别交于点和点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可证得，继而得证； （2）由，在中可得，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴在中，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，等边对等角以及三角函数等知识，掌握相似三角形的判定和性质、三角函数的定义是解题的关键． 28．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 29．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，是的中点，连接，过点作，且，连接． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，则的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确的添加辅助线是解答的关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，进而可得，证明四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）过D作于H，先根据菱形的性质得到求得，则，则，设，，利用勾股定理求得x值，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，，则， ∴， 设，， 由得， 解得，则， ∴的面积为， 故答案为：7． 考点10锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 30．（24-25九年级上·广西贺州·期末）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物的高为 米． 【答案】15 【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）， 故答案为：15． 31．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 根据题意，得，， 在中，， 在中，， ，解得， ， 答：大楼的高度约为． 32．（25-26九年级上·全国·期末）某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图①是悬挂巨大匾额的古塔，图②中的线段是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走，从点E处看点B，仰角，且点D到点E走了2.2米．求匾额悬挂的高度．（参考数据：，，） 【答案】匾额悬挂的高度约是3.2米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；过点C作于点F，过点C作于点H，由题意易得，（米），（米），然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点C作于点F，过点C作于点H，如图所示： 则四边形是矩形， 所以， 在中，米，， 所以（米），（米）， 在中，，所以， 所以， 在中，，所以， 因为，， 所以， 解得米； 答：匾额悬挂的高度约是3.2米． 33．（24-25九年级上·河北唐山·期末）某小区应辖区派出所要求在广场竖立一个“打黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固铝合金框架，已知铝合金框架底端G距广告牌立柱距离为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是和． (1)若长为5米，求灯牌的面积； (2)求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号） 【答案】(1)平方米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）通过解直角三角形在中求出，在中求出，进而可求出，再根据矩形的面积公式即可求解； （2）通过解直角三角形求出，，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得米，，，， ∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴平方米． 答：灯牌的面积为平方米． （2）解：∵中，米，， ∴（米）， ∵中，米，， ∴（米）， ∴米， ∴两侧加固的铝合金框架总共用料米． 考点11锐角三角函数的应用：方向角问题 34．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【答案】(1)；1000 (2)53米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， 故答案为：，1000； （2）解：由题意得， 在中，， 答：则灯塔的高度是53米． 35．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在公园里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点D、E均在景点C的正北方向且米，景点B在景点C的正西方向，且米，景点B在景点A的南偏东方向且米，景点D在景点A的东北方向． (1)求道路AD的长度（结果保留根号）； (2)若甲从景点A出发沿的路径去景点E，与此同时乙从景点B出发，沿的路径去景点E，在两人速度相同的情况下谁先到达景点E？（参考数据：，） 【答案】(1)道路的长度约为米 (2)乙先到达点E 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）利用（1）的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答． 【详解】（1）解：过点A作，交的延长线于点，过点A作，垂足为，如图所示： 由题意得： ，， 在中，，米， （米）， （米）， 米， 米， （米）， 米， 在中，， （米）， 道路的长度约为米； （2）解：米，米， （米）， 在中，米， （米）， 在中，， （米）， 甲的路程（米）， 乙的路程（米）， ∵，两人速度相同， ∴乙先到达点E． 36．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图是某风景区的局部简化示意图，风轩亭在翠微亭的正南方向，两亭被一座小山隔开，该风景区计划在，之间修建一条直通的景观隧道．为测量，两点之间的距离，在一条东西方向的小路上的点，处分别观测点，，测得点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上，米，米．求，两点之间的距离．（结果精确到米．参考数据：，，，，） 【答案】，两点之间的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义求出、的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 答：，两点之间的距离约为米． 37．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）如图，点为某市物流中心，该物流中心下设，，三个配送站点，配送站点在的正北方向4.2km处，在的正西方向，在的北偏东37°方向2.5km处，在的北偏东64°方向．（，，，，，） (1)求配送站点与之间的距离； (2)“双11”期间，派送员从物流中心出发，以30km/h的速度沿着到各配送站点派送快递，派送员途径、两个站点各停留10min存放快递，请计算说明派送员能否在50min内到达配送站点？ 【答案】(1)． (2)派送员能在到达配送站点． 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． （1）过点作于，于，先解，求得、长，再证明，，继而求得长，再解即可得到答案； （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，于， 由已知则有，，，， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， 答：配送站点与之间的距离约为． （2）解：∵， ∵， ∴ ∴派送员到达配送站点所需的时间 ∵， ∴派送员能在到达配送站点． 考点12锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 38．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 39．（17-18九年级上·江苏苏州·期末）为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面与通道平行），通道水平宽度为8米，，通道斜面的长为6米，通道斜面的坡度． (1)通道斜面的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面的坡度变缓，修改后的通道斜面的坡角为，求此时的长（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于点N，过点D作于点M，根据已知得出，则，再解Rt，由通道斜面的坡度，得出，然后根据勾股定理求出； （2）先解Rt，求出，得出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点N，过点D作于点M， ∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∵通道斜面的坡度， ∴， ∴， ∴． 即通道斜面的长约为米； 故答案为：； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∴（米）． 答：的长为米； 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 40．（24-25九年级上·陕西西安·期末）知识在窗外，世界是教材．中学生的研学活动就是对学校教育的有效补充．秋高气爽的10月，小艺和全班同学一起去研学旅行．午饭后同学们在斜坡上的一棵树下休息．喜欢思考的小艺和小组成员根据所学知识共同设计了一个数学问题：如图，斜坡的坡度，斜坡上的大树垂直于水平面，此时，太阳光与水平面的夹角为，大树在斜坡上的影子长为10米，小艺和小组同学估计这棵树超过了10米，他们的估计正确吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】他们的估计正确 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过E作水平地面的平行线，交的延长线于点H，在中，根据坡度定义和勾股定理可求出米，米，在中，根据正切的定义求出米，进而求出，即可求解。 【详解】解：他们的估计正确， 理由如下： 过E作水平地面的平行线，交的延长线于点H， 则， 在中，， 设米，则米， ∴米 又米， ∴， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米， 即大树的高度约为11.2米，超过了10米， 故他们的估计正确。 考点13锐角三角函数与几何综合问题 41．（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在等边中，点D是边上一点（点D不与B，C重合），连接． 点D关于直线的对称点为点E，连接交于点N． 在上取一点F，使，延长交于点G． (1)若，求的度数（用含α的代数式表示）； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及解直角三角形等知识，解题的关键是利用等边三角形和轴对称的性质构造辅助线，通过角度转化和线段关系推导，将所求问题与已知条件建立联系．​ （1）利用等边三角形性质得，结合得；通过角的和差关系表示；再根据三角形内角和定理求出的度数． （2）在上截取构造证明利用轴对称性质得、及；结合证四边形是平行四边形，得故通过直角三角形中与之间关系及的关系推导与的数量关系． 【详解】（1）如图1， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）．理由如下： 如图2中，在上截取，连接，，，交于点H， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N，则由轴对称可知：，， 在中，， ， 42．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 43．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）综合与探究：如图1，正方形的对角线交于点O，点E在边上，，交于点F，过点B作的垂线交于点G，连接． (1)求证：； (2)用含有n的代数式表示的值； (3)如图2，若，则n的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由余角的性质可得，由“”可证，可得； （2）延长交于点H，可推出，可证明，即，由条件得，由，可证，设，则，，可得，，最后可求解的值； （3）延长交于点M，设，则，可证，再根据相似比例关系即可求n的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，. ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. ∵，， ∴. ∴； （2）解：如图1，延长交于点H. ∵，，， ∴. ∵，， ∴ ∴. ∵， ∴. ∵， ∴ ∴. 设， 则，. ∴，. ∴； （3） 解：如图2，延长交于点M.设，则. 同（2）可得. ∵， ∴，. ∴ ∴， 即.解得，（舍去）. ∴若，则n的值为. 【点睛】本题四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形，解直角三角形等相关知识点，利用方程的思想解决问题是本题的关键． 考点14锐角三角函数与圆综合问题 44．（九年级上·江苏南通·期末） 已知：如图，内接于为直径，弦于是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，分别交于点． (1)求证：P是的外心； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆的性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由互余证得，进而得到答案． （2）分别求得、、的长，再证得，进而由相似比即可求得的长． （3）根据圆周角定理得到，得到，根据相似三角形的性质得到，推出，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵是弧的中点，为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴P是的外心； （2）解：∵， 设，则，则 ∴ 由垂径定理得 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：由垂径定理得 ∵ ∴ ∽ 即 ． ∵ ∴， ∴ 45．（24-25九年级下·湖南·期末）如图，已知是的直径，弦于点，是线段延长线上的一点，连接交于点，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)在（）的条件下，设，． 求关于的函数表达式； 若为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)；． 【分析】（）利用垂径定理，圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可； （）设，则，利用直角三角形相似的判定定理和性质定理求得，，，利用直角三角形的边角关系定理和（）的结论解答即可； （）过点作于点，由（）的结论得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，则，利用已知条件得到与的关系，进而得到，的长度，利用已知条件化简即可得出结论； 过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质用的代数式表示出，，利用三角形的面积公式化简运算即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦于点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∴； （3）解：过点作于点，如图， 则， 由（）知：， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 过点作于点，过点作于点，如图， ∵为的中点，， ∴垂直平分，， ∴，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形是判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造相似三角形或直角三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $