第15章 轴对称 期末单元复习卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级数学 第十五章 轴对称 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）   1.下列微信表情是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2.下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A.成轴对称的两个图形全等 B.直角三角形两锐角互余 C.对顶角相等 D.全等三角形的面积相等 3.如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A. B. C. D. 4.如图，，，点在的垂直平分线上，若，则为（    ） A. B. C. D. 5.学习情境·问题讨论如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（    ） A.小明说得不对 B.小亮说得对，可添条件为“” C.小亮说得对，可添条件为“” D.小亮说得对，可添条件为“平分” 6.如图，若，，的周长为，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（   ） A. B. C. D. 7.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（    ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 9.如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 10.如图，在等边中，、分别是上的点，连结交于点，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（    ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为_____________________． 12.如图，，，与关于直线对称，则____________． 13.点关于轴的对称点，则_________． 14.如图， 中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点．若，则的周长为__________． 15.如图， 已知等边三角形， 作， 点是延长线上一点， 点 到点 ，的距离相等， 且， 则的度数是____________． 16.如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则_________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ） 17.（6分）已知命题“如果，那么．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 18.（5分）如图．，是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹） 19.（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 20.（7分）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，试求的周长． 21.（8分）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：． 22.（8分）如下图，在中，，平分交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）求证：直线是线段的垂直平分线． 23.（9分）如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 24.（10分）如图，点在的外部，点在上，交于点，，，． （1）求证：． （2）若，猜想的形状并证明． 25.（12分）如图，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图，在的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图，在的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版八年级数学 第十五章 轴对称 期末复习卷 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分）   1.下列微信表情是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据轴对称图形的概念——在平面内一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形——进行判断即可． 【解答】解：、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； 、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选项正确，符合题意； 、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； 、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； 故选： 2.下列命题中，原命题和逆命题互为逆定理的是（   ） A.成轴对称的两个图形全等 B.直角三角形两锐角互余 C.对顶角相等 D.全等三角形的面积相等 【答案】B 【解析】本题考查了命题与逆命题、轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先写出原命题的逆命题，再根据轴对称图形、直角三角形的性质、全等三角形的性质、对顶角的性质判断原命题与逆命题的真假即可得． 【解答】解：、原命题：成轴对称的两个图形全等，是真命题；逆命题：全等的两个图形是轴对称图形，是假命题；则此项不符合题意； 、原命题：直角三角形两锐角互余，是真命题；逆命题：两锐角互余的三角形是直角三角形（理由是三角形内角和，若两锐角互余，则第三个角为），是真命题；则此项符合题意； 、原命题：对顶角相等，是真命题；逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；则此项不符合题意； 、原命题：全等三角形的面积相等，是真命题；逆命题：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题；则此项不符合题意； 故选：． 3.如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【解答】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ， 弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 4.如图，，，点在的垂直平分线上，若，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两端点的距离相等，以及外角的性质，和的直角三角形的性质进行计算即可． 【解答】解：点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， ； 故选． 5.学习情境·问题讨论如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（    ） A.小明说得不对 B.小亮说得对，可添条件为“” C.小亮说得对，可添条件为“” D.小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【解析】本题考查了垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【解答】解：、可添条件为才能说：直线是的垂直平分线； 、添条件为，则， 不能证明； 、添条件为， 在和中， ， ， ， ， 直线是的垂直平分线； 、添条件为平分， 在和中， ， ， ， ， 直线是的垂直平分线； 故选：． 6.如图，若，，的周长为，下列尺规作图方法中，不能确定的中点的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的定义以及判定判断即可． 【解答】解：，，的周长为， ， ， 、由作图可知为的平分线，不能作出的中点，故本选项符合题意， 、由作图可知为的角平分线，再由等腰三角形三线合一可得能作出的中点，故本选项不符合题意； 、由作图可知为的垂直平分线，能作出的中点，故本选项不符合题意； 、记两弧交点为， 由作图可得是等边三角形，则，再由可得垂直平分，故能作出的中点，故本选项不符合题意； 故选：． 7.如图，在中，，，，于点，是的中点，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查含的直角三角形的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．首先求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“角所对的直角边为斜边的一半”求解即可． 【解答】解：是中斜边的中点，， ， ， ， ， ， ， 在中，． 故选：． 8.如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】此题暂无解析 【解答】， ， ， ， ， ， ， ， 故选．  9.如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【解答】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 10.如图，在等边中，、分别是上的点，连结交于点，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（    ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】D 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证明，再根据全等三角形的性质和大角对大边进行判断． 【解答】解：①为等边三角形， ，． ， ， ， 无法判断，故①说法不正确； ②， ， 故②说法正确； ③，， ， 即， 故③说法正确； ④，， ， ． 综上所述，说法正确的为②③④， 故选：． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为____同旁内角互补，两直线平行_________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题． 【解答】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 12.如图，，，与关于直线对称，则_____________． 【答案】度 【解析】先根据轴对称的性质得出，由全等三角形的性质可知，再由三角形内角和定理可得出的度数． 【解答】解： 与关于直线对称， ， ， ， ． 故答案为：． 13.点关于轴的对称点，则___________． 【答案】 【解析】本题考查了轴对称的点的坐标特征，关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解和，再计算它们的和即可． 【解答】解：点关于轴的对称点， ，， ． 故答案为：． 14.如图， 中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点．若，则的周长为____11_________． 【答案】 【解析】本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分，推出即可求解； 【解答】解：由题意得：垂直平分， ； 的周长, 的周长, 故答案为： 15.如图， 已知等边三角形， 作， 点是延长线上一点， 点 到点 ，的距离相等， 且， 则的度数是_______________． 【答案】度 【解析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练利用相关性质计算角度是解本题的关键． 根据是等边三角形求得，即可得到，再利用等腰三角形的性质可得，利用角度的计算即可解答． 【解答】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点 到点 ，的距离相等， ， ， ， ． 故答案为：． 16.如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则___6________． 【答案】 【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【解答】解：，，， ，，， ， ， ， 又点为中点， ， 是的垂直平分线， 连接， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故答案为：6 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ） 17.（6分）已知命题“如果，那么．” （1）写出此命题的条件和结论； （2）写出此命题的逆命题； （3）判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】条件为：；结论为： 如果，那么 假命题，反例不唯一 【解析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【解答】（1）解：此命题的条件为：，结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题，当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如时，，而． 18.（5分）如图．，是公路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车立站使两个小区到车站的路程一样长，你能确定公共汽车站应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计（尺规作图，不写作法、保留作图痕迹） 【答案】见详解 【解析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂直平分线的性质的应用，连接，的垂直平分线与公路的交点即是公共汽车站的位置，据此即可作答． 【解答】作图如下： 的垂直平分线与公路的交点即是公共汽车站的位置． 19.（7分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】见解答， 点的坐标为或 【解析】（1）根据关于轴轴对称的特点，找到各个点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． 【解答】（1）解：如图，即为所求； （2） ， 点的坐标为或． 20.（7分）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，试求的周长． 【答案】 【解析】根据是的垂直平分线，，可得，，再根据的周长为，可得，问题得解． 【解答】解：是的垂直平分线，，，， 又的周长为， ， ， 即的周长为． 21.（8分）如图，分别是的中点，，垂足为，垂足为．求证：． 【答案】见解答 【解析】连接，利用线段垂直平分线的性质即可证明结论成立. 【解答】 证明：如图，连接， 于是的中点，即垂直平分， （线段垂直平分线的性质）， 为中点，， （线段垂直平分线的性质）， ．   22.（8分）如下图，在中，，平分交于点，连接． （1）若，求的度数． （2）求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】 见解答 【解析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）只要证明，利用等腰三角形的性质即可证明. 【解答】（1）解：平分， ． （2）证明：， ． 又， ， ， 直线是线段的垂直平分线． 23.（9分）如图，为等边三角形，，相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】证明见解答 【解析】（1）证明即可求证； 利用全等三角形的性质及外角性质解答即可； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【解答】（1）解：证明：为等边三角形， ，， 又， ， ； （2）解：， ， ． 24.（10分）如图，点在的外部，点在上，交于点，，，． （1）求证：． （2）若，猜想的形状并证明． 【答案】见解答 等边三角形，见解答 【解析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）根据，得出，，求出，即可证明结论． 【解答】（1）解：证明：， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形． 25.（12分）如图，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图，在的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图，在的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【答案】见解答 见解答 是等边三角形，见解答 【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． 【解答】（1）解：证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）是等边三角形，证明如下： 证明： ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $