3.5确定圆的条件（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦“确定圆的条件”核心内容，涵盖不在同一直线上三点确定一圆、三角形外接圆及外心等知识点。以考古复原圆形瓷器碎片为情境引入，通过回顾圆周角定理等旧知，搭建“经过一点、两点到三点作圆”的探究支架。 特色在于以情境驱动和问题链设计培养核心素养，通过“作圆探究”发展几何直观与空间观念，借助考古情境和猫顾洞口等实例引导用数学眼光观察现实世界，通过尺规作图和逻辑推理强化数学思维，典例与分层练习助力学生理解应用，教师可直接用于高效备课与课堂互动。

北师大版·九年级下册 3.5 确定圆的条件 第三章 圆 学 习 目 标 1．理解平面内确定一个圆的条件，掌握经过不在同一直线上三个点作圆的方法；(重点) 2．理解三角形的外接圆、三角形外心等概念；(重点) 3．利用三角形外心解决实际问题．(难点) 知识回顾 3.圆周角定理的推论2： 所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 . 4.圆周角定理的推论3：圆内接四边形的对角 . 1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 一半 2.圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角 . 相等 直径 直径 互补 5.确定圆的要素是 和 . 圆心 半径 情境引入 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线.那么，如果不知道圆的圆心和半径时，经过几点能确定一个圆呢? （1）作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ A 做一做 新知探究 探究一：确定圆的条件 以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. · · · · · 新知探究 A B (2)作圆，使它经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ O 作法：1.作线段AB的垂直平分线； 2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点O为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆，则圆O即为过点A，B的圆. 结论：1.经过两点可以作出无数个圆； 2.经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 依据：线段垂直平分线的性质. （3）作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一直线上).你是如何做的？ A B C 新知探究 利用尺规过不在同一直线上的三点作圆的方法如下：1.连接AB，BC； 2.分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O； 2.以点O为圆心，以OB的长为半径作圆. 则⊙O就是所要求作的圆. O 你能作出几个这样的圆？ 新知探究 在上面的作图过程中，因为线段AB，BC的垂直平分线只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等，所以经过A，B，C三个点可以作一个圆，并且只能作一个圆. O A B C 新知探究 A B C （4）过如下三点能不能作一个圆? 为什么? 过在同一直线上的三个点不能作圆. 新知探究 确定圆的条件： 知识归纳 不在同一直线上的三个点确定一个圆. O A B C 新知探究 1.下列关于确定一个圆的说法中，正确的是（　　） A.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆 C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个顶点能确定一个圆 C 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. A B C 做一做 新知探究 探究二：三角形的外接圆及外心 O 根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可知过△ABC的三个顶点可以确定一个圆. 新知探究 三角形的外接圆： 知识归纳 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 定义： 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三条边的垂直平分线的交点. 性质： 三角形的外心： O A B C 新知探究 A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 锐角三角形的外心位于三角形内部； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外部. 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 做一做 新知探究 2.下列语句中，正确的是( ) A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B．钝角三角形的外心在三角形内部 C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C 新知探究 议一议 你能确定一个圆形纸片的圆心吗？你有哪些方法？与同伴进行交流. 1.对折法:换2个不同方向对折圆形纸片，两条折痕（直径）的交点就是圆心; 2.弦垂直平分线法:作圆上两条不平行弦的垂直平分线，两线交点为圆心; 3.直角三角板法:直角顶点贴圆周，直角边与圆交点连线为直径；换位置再作一条直径，两直径交点是圆心. 典例分析 如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B，C不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力同时顾及三个洞口？作出这个位置． 例1 解：如图，连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求. 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)． (1)求∠DAO的度数； (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． 例2 典例分析 解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，∠DOA＝90°， ∴∠DAO＝30°； 典例分析 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积． (2)∵点D的坐标是(0，3)， ∴OD＝3. 在Rt△AOD中， OA＝OD·tan∠ADO＝3， AD＝2OD＝6， ∴点A的坐标是(3，0)． ∵∠AOD＝90°， ∴AD是圆的直径， ∴△AOB外接圆的面积是9π. 巩固练习 基础巩固题 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(　　) A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 B 2.小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则这个圆的半径长为（ ） A.cm B.cm C.cm D.cm B 巩固练习 基础巩固题 3.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M B 4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( ) A．△ABE    B．△ACF    C．△ABD    D．△ADE B 巩固练习 基础巩固题 6.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是________． 5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是________． B A C O 70° 7.△ABC的外心在三角形的内部，则△ABC是______三角形． 锐角 巩固练习 基础巩固题 8.如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BCO=20°，求∠A的度数． B A O C 解：连接OB， ∵OC=OB，∠BCO=20°， ∴∠OBC=20°， ∴∠BOC=180°-20°-20°=140°， ∴∠A=140°=70° 巩固练习 基础巩固题 9.如图，在△ABC中，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，延长AE交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，CD，CE. (1)若∠CBD＝40°，求∠BAC的度数； (2)求证：点D是△BCE的外心． 解：(1)∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝2∠CBD＝80°, (2)证明：∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE， ∴BD＝CD. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∴BD＝ED＝CD， ∴点B，E，C在以点D为圆心的同一圆上， ∴点D是△BCE的外心. ⌒ ⌒ 课堂小结 确定圆的条件 确定圆的条件 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外接圆 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作这个三角形的外接圆. 这个三角形叫作这个圆的内接三角形. 锐角三角形的外心位于三角形内部； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外部. 圆心和半径 不在同一直线上的三点确定一个圆. 作业布置 1.必做题：习题3.6第1-3题。 2.探究性作业：习题3.6第4题。 感谢聆听! $