2.7角的和与差（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“角的和与差”核心内容，系统梳理角的和差概念、角平分线定义及几何表示、和差计算方法，延伸至余角补角等特殊角知识，通过思维导图构建从概念到应用的递进式学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，题型涵盖三角板拼图、光线反射、时钟角度等情境，培养几何直观与应用意识，通过角度四则运算与实际问题提升运算能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2.7角的和与差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 角的和与差的概念 · 角的和：如果一个角的度数等于另外两个角的度数相加的结果，那么这个角就叫做另外两个角的和。 · 角的差：如果一个角的度数等于另外两个角的度数相减的结果（大角减小角），那么这个角就叫做另外两个角的差。 2. 角的平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 几何表示：若射线(OC)是的平分线，则，或。 3. 角的和差计算 · 直接计算：已知两个角的度数，直接相加或相减求它们的和或差。 例如：，，则，。 4. 余角和补角（与角的和差相关的特殊角） · 余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。 几何表示：若，则与互为余角，，。 · 补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 几何表示：若，则与互为补角，，。 型 习 练 题 三角板中角度计算问题 1．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角板有关的计算问题，根据题意，得，则，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 2．一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度的和差计算，平角的意义，解题的关键是熟练掌握三角板中的角度信息．根据平角得到，再由，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得：，即可求解； 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴； 故选：A 4．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为． 根据余角的概念得到，进而根据比大计算即可． 【详解】解：因为和互余， 所以． 又比大， 所以， 代入得， 解得， 所以． 故选：B． 5．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．在及中，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，，， 在中，， 故选：B． 角度的四则运算 6．如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的和差计算与角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质及角的和差关系是解题的关键． 先求出的度数，再利用角平分线的定义得到的度数，最后通过角的差计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ OD平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 7．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 8．如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【详解】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 9．如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，根据作图可知，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：由作图可知， . 故选：C． 10．如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 实际问题中角度计算问题 11．在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线在外时， ， 综上，的度数为或， 故选C． 12．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 13．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 14．如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先找出图中所有的锐角，然后利用锐角之和为列出方程，解方程即可． 【详解】解：图中的锐角有：，，，，，， ∵，且图中所有锐角之和为， ∴， 故， 故选：B． 15．一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用三角形板求角的度数，由图可知，再结合即可求出的度数． 【详解】解：根据图形，得， 故选：A． 角平分线的有关计算 16．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 17．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】为水面，入射角为， ， 故选 C． 18．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 19．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 20．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】先根据每个刻度间的角度确定12点或6点的位置，即可确定此时的时间． 【详解】解：由图知：时针转动了4小格，每一小格代表： ， 即时针转了24°， ∵分针每转动1°，时针转动 ，由此知： 分针转动： ， 由每一大格对应30°知： ， 即分针走了9大格，3个小格，从而确定12点位置： 由此确定此时是10点48分； 故答案为：A． 【点睛】此题考查角度的计算，根据指针的位置确定12点是关键． 余角补角的计算 21．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 22．如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义， 由角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 故选：A． 23．已知，是的角平分线，则（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据角平分线的定义．根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角． 【详解】是的角平分线，， ． 因此，． 故选：D． 24．如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据平角的定义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵分别是，的平分线，，， ∴，， ∵是平角， ∴， ∴， 故选：D． 25．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 26．已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．若两个角的和为，则这两个角互为余角．已知一个角的度数，用减去该角即得其余角的度数． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 27．若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角的概念，根据补角的定义，两个角的和等于，因此的补角为减去即可． 【详解】解：∵，且补角之和为， ∴的补角． 故选：D． 28．已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角与补角的定义，掌握知识点是解题的关键．根据余角与补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即这个角的补角为． 故选D． 29．已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 30．已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角与补角，解题的关键是熟记概念，余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 根据与互补求出，再计算的余角即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， ∴的余角为． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7角的和与差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 角的和与差的概念 · 角的和：如果一个角的度数等于另外两个角的度数相加的结果，那么这个角就叫做另外两个角的和。 · 角的差：如果一个角的度数等于另外两个角的度数相减的结果（大角减小角），那么这个角就叫做另外两个角的差。 2. 角的平分线 · 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 · 几何表示：若射线(OC)是的平分线，则，或。 3. 角的和差计算 · 直接计算：已知两个角的度数，直接相加或相减求它们的和或差。 例如：，，则，。 4. 余角和补角（与角的和差相关的特殊角） · 余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。 几何表示：若，则与互为余角，，。 · 补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 几何表示：若，则与互为补角，，。 型 习 练 题 三角板中角度计算问题 1．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．一副含及的三角板拼成如图所示的图案，点B、C、D在同一直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 4．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 5．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 角度的四则运算 6．如图，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 8．如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 9．如图，光线射到镜面上的点处，入射光线与镜面的夹角为，嘉琪通过尺规作图作出了经过镜面反射后的光线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 实际问题中角度计算问题 11．在同一平面内有，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 12．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 13．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 14．如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 15．一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 角平分线的有关计算 16．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 17．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （   ） A． B． C． D． 18．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 19．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 20．如图是一个时钟某一时刻的简易图，图中的条短线刻度位置是时钟整点时时针（短针）位置，根据图中时针和分针（长针）位置，该时钟显示时间是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 余角补角的计算 21．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．已知，是的角平分线，则（        ） A． B． C． D． 24．如图，是平角，，，分别是，的平分线，则（   ） A． B． C． D． 25．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 26．已知，则的余角等于（     ） A． B． C． D． 27．若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 28．已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（   ） A． B． C． D． 29．已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 30．已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $