2.4线段的和与差（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦线段的和与差核心知识点，从定义出发明确线段和（一条线段长度等于另两条或多条线段长度总和）与差（一条线段长度等于另两条线段长度相减结果）的概念及表示方法，关联中点定义建立和差关系，通过计算应用实例形成从概念到应用的学习支架。 该资料以思维导图梳理知识脉络，结合竹竿截断、绳子对折剪断等生活情境设计练习题，引导学生用数学眼光观察现实世界，培养抽象能力与几何直观。通过方程求解线段长度提升运算能力与推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

2.4线段的和与差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 线段的和 · 定义：若一条线段的长度等于另外两条（或多条）线段长度的总和，则称这条线段是另外两条（或多条）线段的和。 · 表示方法：如果点(C)在线段(AB)的延长线上，且，，那么线段(AC)就是线段(AB)与线段(BC)的和，可表示为。 线段的差 · 定义：若一条线段的长度等于另外两条线段长度的相减结果（通常用较长线段减去较短线段），则称这条线段是另外两条线段的差。 · 表示方法：如果点(C)在线段(AB)上，且，（(b > a)），那么线段(BC)就是线段(AB)与线段(AC)的差，可表示为。 线段中点与和差的关系 · 中点定义：若点(M)是线段(AB)的中点，则。 · 和差表达：由中点定义可得。 简单计算与应用 · 已知线段长度求其和或差：直接代入数值进行加减运算。例如，若，，且点(B)在线段(AC)上，则；若点(C)在线段(AB)上，则。 · 根据和差关系求线段长度：利用线段的和差关系建立方程求解。例如，已知点(C)在线段(AB)上，，，设，则，由可得，解得，即，。 型 习 练 题 线段的和与差 1．竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 4．已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 线段中点的有关计算 6．已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 7．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 8．如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 9．如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 线段之间的数量关系 11．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 12．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 13．如图，点D是的中点，点B是的三等分点，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 14．点C在线段上，若三条线段中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是（   ） A．6 B．4或6或8 C．4或6 D．6或8 15．若，，三点在同一直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ）． A． B． C．或 D．或 线段n等分点的有关计算 16．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 17．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 18．已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 19．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 20．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4线段的和与差 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 线段的和 · 定义：若一条线段的长度等于另外两条（或多条）线段长度的总和，则称这条线段是另外两条（或多条）线段的和。 · 表示方法：如果点(C)在线段(AB)的延长线上，且，，那么线段(AC)就是线段(AB)与线段(BC)的和，可表示为。 线段的差 · 定义：若一条线段的长度等于另外两条线段长度的相减结果（通常用较长线段减去较短线段），则称这条线段是另外两条线段的差。 · 表示方法：如果点(C)在线段(AB)上，且，（(b > a)），那么线段(BC)就是线段(AB)与线段(AC)的差，可表示为。 线段中点与和差的关系 · 中点定义：若点(M)是线段(AB)的中点，则。 · 和差表达：由中点定义可得。 简单计算与应用 · 已知线段长度求其和或差：直接代入数值进行加减运算。例如，若，，且点(B)在线段(AC)上，则；若点(C)在线段(AB)上，则。 · 根据和差关系求线段长度：利用线段的和差关系建立方程求解。例如，已知点(C)在线段(AB)上，，，设，则，由可得，解得，即，。 型 习 练 题 线段的和与差 1．竹竿作为一种常见的天然植物材料，具有多种作用和功效，如图，将一根竹竿从处分成两部分，截断后的各段竹竿中有一段长为，若，则这根竹竿的原长为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，比例，正确理解比例关系及分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时， ， ， ； 当时，则， ． 综上，这根竹竿的原长为或． 故答案为：C． 2．如图1，已知线段、，则图2中线段可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的和与差，正确的识别图形是解题的关键．根据线段的和差倍分及结合图形即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．如图，C，B是线段上的两点，若，，那么与的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，熟练掌握线段的和差运算是解题关键．先求出，再根据和求解即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 4．已知线段，点C在直线上，，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．点 C 在直线 上，需分两种情况讨论：当 C 在线段上时， ；当 C 在线段 的延长线上时，． 【详解】解：因为点C在直线上，有两种情况： ① 当点C在线段上时， ② 当点C在线段的延长线上时， ∴的长为或． 故选：C． 5．已知直线上、、三点，如果线段，线段 ，那么线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差，掌握线段的和差计算方法，图形结合分析是解题的关键． 根据线段的位置分类讨论：①如图所示点在点的左边；②如图所示点在点的右边；根据线段的和差计算方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：①如图所示点在点的左边，，， ∴； ②如图所示，点在点的右边，，， ∴； ∴的长度为或． 故选：C． 线段中点的有关计算 6．已知点，，在同一条直线上，如果，线段，点为线段的中点，则的长为（   ） A．6或15 B．3或15 C．6或 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点的有关运算． 点A、B、C在同一直线上，但位置关系不确定，需分两种情况讨论：当B在线段上时；当A在线段上时，根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴． 情况1：当B在线段AC上时， ； 情况2：当A在线段上时， ； 综上，的长为3或15． 故选：B． 7．有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段两点间的距离，理解题意、分类作出相应图形是解题的关键． 分两种情况讨论：①当A、C或B、D重合且剩余两端点在重合点同侧时；②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时；让分别作出相应图形，并结合图形求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当A、C或B、D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 由图可得：； ②当B、C或A、D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 由图可得：； ∴两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 8．如图，线段上有C，D两点，且，C是的中点，则线段的长为（    ） A．15 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，掌握知识点是解题的关键． 先由线段之间的关系得到，再由线段中点的定义可得，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴． 故选B． 9．如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．根据线段中点的性质得出，根据点在上，且，得到，由即可求解． 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 10．题目：“如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．若已知是折线的“折中点”，为线段的中点，，，求线段的长．”甲答，乙答，丙答，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才正确 C．甲、丙的答案合在一起才正确 D．三人的答案合在一起才正确 【答案】C 【分析】本题主要考查与线段中点有关的计算，线段的和差,熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 先根据中点定义即可求解线段的长；再分两种情况：当“折中点”在上时；当“折中点”在上时，根据“折中点”的定义,结合线段的和差即可求解． 【详解】解：∵点为线段的中点，， ∴， ∴， ①如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当“折中点”在上时， ∵点是折线的“折中点”， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述， 的长为6或14， 即甲、丙的答案合在一起才正确， 故选：C 线段之间的数量关系 11．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从点P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这根绳子原来的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长．根据题意，分两种情况：（1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；（2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为 ，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ∵，即， ∴，即线段是最长的一段， ∵最长的一段为 ， ∴，解得， ∴这条绳子的原长为； （2）当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：， ， ∴线段是最长的一段， ∵最长的一段为， ∴，解得， ∴， ∴这条绳子的原长为； 故选：C． 12．如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离的应用，解此题的关键是能根据题意求出符合条件的两个解． 根据比例设，则，分为两种情况：①当含有线段的绳子最长时，，②当含有线段的绳子最长时，，求出每个方程的解，代入求出即可． 【详解】解：根据题意，设，则， ①∵将一根绳子对折后得到线段，从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为， ∴当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是 ； ②当含有线段的绳子最长时，， 解得：， 即绳子的原长是； 故答案为或． 故选：C. 13．如图，点D是的中点，点B是的三等分点，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段和与差计算、有关线段中点的计算等知识，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键．由点B是的三等分点求出，由点D是的中点求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点B是的三等分点，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴． 故选A． 14．点C在线段上，若三条线段中，有其中1条线段是另外1条线段的2倍，则称点C是线段的“巧点”，若，点C是线段的巧点，则的长是（   ） A．6 B．4或6或8 C．4或6 D．6或8 【答案】B 【分析】本题考查了线段上两点间的距离，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况，分类讨论计算即可． 【详解】解：当点C是线段的“巧点”时，可能有三种情况： ①时，； ②时，； ③时，； 综上分析可知：的长是4或6或8． 故选：B． 15．若，，三点在同一直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差、线段中点的定义，本题要分点在的延长线上和点在线段上两种情况讨论．当点在的延长线上时，；当点在线段上时，． 【详解】解：如下图所示，当点在的延长线上时， 线段，，点，分别是线段，的中点， ，， ； 如下图所示，当点在线段上时， 线段，，点，分别是线段，的中点， ，， ； 综上所述，线段的长为或． 故选：D． 线段n等分点的有关计算 16．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 17．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．根据点M、N为线段的三等分点，可得，再由点P为线段的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 18．已知线段长为12，点是线段的三等分点，点是线段上一点，且满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和与差，分和当两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，如图： ∵， ∴； 当时，如图： 则：， ∵， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 19．已知、、、四个点在同一条直线上，，为的中点，且，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，根据题意画出图形，再分点在、之间与点在点的延长线上两种情况进行讨论．熟练掌握线段等分点的性质和线段的和差计算及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图1， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， ∵为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的长是或． 20．如图，在线段上，且，是线段的中点，是的三等分点（），则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了中点的定义，三等分点，线段的和差，根据三等分点及可得，进而可得，得到，即可判断①；进而可得，得到，再根据中点的定义得到，即得，即可判断②；由可得，据此可判断③；由，进而可判断④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的三等分点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有②④， 故答案为：②④． 学科网（北京）股份有限公司 $