专题3 统计与概率-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

.x的正整数解为1. 15.解：(1)2x2-3x-1+(-x2+x+5)=x2+(k-3)x+4. 当k-3=4,即k=7时，该式子为x2+4x+4,可以因 分解， .k可以为7.（答案不唯一）》 (2)①(2x2-3x-1)-(-3x2-x+6)=5x2-2x-7≠-x2+kx 5,闯关失败 ②k的值为-4.【解法提示】(-x2+kx+5)-(2x2-3x-1)= -3x2+(k+3)x+6,由题意知-3x2+(k+3)x+6=-3x2-x 6,∴.k+3=-1,∴.k=-4 专题二全等三角形的判定与性质 1.(1)证明：.AB∥CD,∴.∠A=∠D. .:AE=DF,.AE+EF=DF+EF,即AF=DE、 I∠B=∠C, 在△ABF和△DCE中】 ∠A=∠D, AF=DE. ·.△ABF≌△DCE(AAS). (2)解：BF=CE,BF∥CE.理由如下： 由(1)知△ABF≌△DCE, ∴.BF=CE,∠AFB=∠DEC ·.BF∥CE. 2.证明：(1)四边形ABCD是矩形 .AD=BC,AD∥BC,∠C=90°，.∠ADF=∠DEC. .·AF⊥DE,·.∠AFD=90°， I∠AFD=∠C, 在△ADF和△DEC中！ <DF=EC. N∠ADF=∠DEC, .∴.△ADF≌△DEC(ASA). (2)由(1)知△ADF≌△DEC,∴.AD=DE. AD=BC,∴.DE=BC, ∴.DF+EF=EC+BE, 又.·DF=EC,∴.EF=EB 3.证明：(1)，·△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90° ∴.AD=BD,∠ADC=90°=∠BDF (DC=DF 在△ADC和△BDF中， K∠ADC=∠BDF! AD=BD ∴.△ADC≌△BDF(SAS). (2)由(1)知△ADC≌△BDF ∴.∠CAD=∠DBF, ∴.∠CAD+∠ACD=∠DBF+∠ACD=90°， ∴.∠BEC=180°-（∠DBF+∠ACD)=90°，∴.BE⊥AC 4.(1)证明：∠CBD=∠ABE, ∴.∠CBD+∠ABD=∠ABE+∠ABD,即∠ABC=∠EBD」 I∠A=∠E 在△ABC和△EBD中 ∠ABC=∠EBD. AC=ED ∴.△ABC≌△EBD(AAS),∴.BD=BC (2)解：由(1)知△ABC≌△EBD, .∠BCA=∠BDE=60°. BD=BC, .△BCD为等边三角形，.∠DBC=60°. ·F为CD的中点 .∠DBF=∠DBC=30. 2 5.(1)证明：AD∥BE.∠A=∠B, (AC=BE. 在△ADC和△BCE中， ∠A=∠B, AD=BC. .△ADC≌△BCE(SAS),∴.∠ADC=∠BCE. (2)解：∠A=50°，∠ADC=30°， ·.∠BCD=∠A+∠ADC=80°， 由(1)得△ADC≌△BCE. .∴CD=EC,∠ADC=∠BCE=30° .∴.∠CDE=∠CED,∠DCE=∠BCD+∠BCE=110° .·∠CDE+∠CED+∠DCE=180°， .2∠CDE+110°=180°，.∠CDE=35° 6.证明：(1)DE⊥AB,∴.∠BED=∠AED=90° .·∠CFD+∠AFD=180°，∠B+∠AFD=180°， .∠CFD=∠EBD ∠C=∠BED 在△CDF和△EDB中 ∠CFD=∠EBD DF=DB. .∴.△CDF≌△EDB(AAS). (2)由(1)知△CDF≌△EDB. .DE=DC. DE⊥AB,DC⊥AC, .AD平分∠BAC 7.(1)证明：AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC, .PD=PE. 在Rt△APD和Rt△APE中， SAP=AP, PD=PE. .Rt△APD≌Rt△APE(HL), .AD=AE. SPN=PM. (2)解：在R△PEV和Rt△PDM中，PE=PD. .∴.Rt△PEN≌Rt△PDM(HL),.NE=MD. AM=AD+MD=5.AD=AE=AN+NE=AN+MD .∴.AN+MD+MD=5. .·AN=3,.MD=1,∴.AD=AM-MD=4. 8.(1)证明：由圆周角定理，得∠A=∠B. I∠APC=∠BPD, 在△ACP和△BDP中 ∠A=∠B, AC=BD. .△ACP≌△BDP(AAS). (2)解：.AB为⊙0的直径，.∠ACB=90° .:∠ABC=35°，∴.∠BAC=90°-35°=55 由(I)知△ACP≌△BDP,∴.PA=PB ∠PAB=∠PBA=35°， .∴.∠CAP=∠BAC-∠PAB=20° 专题三统计与概率 1.解：(1)①甲同学测试成绩的平均数为8+8+7+8+9=8 5 (次)， 乙同学测试成绩的平均数为8次， .乙同学第5次的测试成绩为8×5-9-7-10-9=5（次）， 补全折线统计图略 ②乙同学成绩的中位数为9次，众数为9次 (2)(答案不唯一)若选择嘉嘉的说法：由折线统计图知 29 甲同学成绩的波动较小，成绩较为稳定，.选择甲同学： 若选择淇淇的说法：由于乙同学成绩的中位数是9次，众 数也是9次，获胜的可能性较大，而甲同学成绩的众数和 中位数都是8次，均低于9次，.选择乙同学 (3)9 2.解：(1)及格人数为4+7+6=17（人）， 1 ∴.及格率m 20×10%=85%. (2)由图可知，成绩优秀的有4人，成绩良好的有7人，而 成绩的中位数23是排序后第10名与第11名成绩的平 均数. ·该公司成绩排名（从高到低）第10名员工的成绩为 24分， 设排名为第11名员工的成绩为n分， 则24+=23，解得n=22, 2 ·.排名为第11名员工的成绩为22分. (3).20<22 .C(及格，分数范围18≤x<22),D(不及格，分数范围x< 18)等级的员工均需要进修学习，员工进修情况要发生变 化，即成绩平均分要不低于22分，则总分需要增加20× 2=40(分). 由题意可得，至少有4名员工有科研技术奖励分值，员工 进修情况才会发生变化. 1 3解：(1)由题意，得a=10×[2×(82-85)°+2x(83-85)°+ (84-85)2+(85-85)2+2×(86-85)2+(87-85)2+(92- 85)2]=8.2, :两人的平均数相同，但乙的方差比甲小， ·.乙的成绩更稳定. (2)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为 90+89+90+89+90 =89.6(分) 5 在两个人的10次成绩中，甲有4次超过89.6（分）.乙只 有1次超过89.6（分）， ∴甲获奖的概率更高，选甲更合适 (3)选甲更合适.理由如下： .·在两人10次成绩中，甲有4次达到90分或90分以上 乙只有1次达到90分或90分以上，.选甲更合适 4.解：(1)2 (2)列表如下： 太乙真人 无量仙翁 A B (C,A) (C,B) D (D,A) (D,B) E (E,A) (E,B) 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中无量仙翁获胜 的结果有4种。 ·无量仙翁获胜的概率为4-2 6=3 5.解：(1)：共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1 种结果」 30 :落同到图4的概本乃=子 (2)列表如下： 1 2 3 4 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 由表可知，共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的 有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,4)，共4种结果， 4_1 :最后落回到圈A的概率P,=64 ·P,=P2,淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样 6.解：(1)P(A)=2 【解法提示】：x2-5x+6=0,.(x- 2)(x-3)=0,解得x1=2,x2=3,一元二次方程x2-5x+ 6=0的解为2或3，P(A)=2=1 42 (2)画树状图如下： 开始 第一个球 第二个球234134124123 和345356457567 由树状图可知，共有12种等可能的结果，而事件B出现 的结果有4种， 41 P(B)=23 7.解：(1)由条形统计图可知，读6册的有6人，由扇形统计 图可知，读6册的占调查人数的25%， .调查人数为6÷25%=24（人）， .读5册的人数为24-5-6-4=9（人），即被遮盖的数 为9. 调查人数为24人， .读书册数的中位数为排序后第12人和第13人读书册 数的平均数 .排序后第12人和第13人的读书册数均为5册， 册数的中位数是5册. (2)读书超过5册的共有6+4=10（人）， P(选中读书超过5册的学生)-兴高 (3)3 8.解：(1)变小 (2)当>8时，这组数据的平均数变大.理由如下： ·原数据的平均数为4， 2$>4,s>8. (3)画树状图如下： 开始 第一个小球 6 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球 上数的和大于8的结果有4种， ∴.将两次得到的数字添加到原数据中，这组数据平均数 变大的率为吉行 专题四与三角形有关的实际应用题 1.解：(1)由题意可知NH∥AD,FE⊥AD, 如解图，延长FG交NH于点T,则GT⊥NH. .∠GHN=60°， TG=GH·sin∠GHN=8x 2 =43 (cm), .TE=TG+FG+EF=4W5+6+12≈24.9(cm), ·.漏斗口处点N到底座AD的高度约为24.9cm. (2)如解图，过点P作PK∥FG,交NH 于1，过点Q作QK⊥PK, 由题意可知∠PQK=53°， ∴.PK=P0·sin∠POK=PO·sin53o≈ 30×0.8≈24(cm). 2 GH=8 em,PC=3 CH, HE D B PI=PH·sin∠GlN=8x3_43 32=3(cm), 此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为PK-PI+TE+AB≈ 244 3 -+24.9+3≈49.6(cm). 2.解：(1)30：75：5.【解法提示】如解图，过点P作PD1 AC于点D,则△APD、△BPD、△CPD都是直角三角形.由题 可知∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，.∠PAB=30° ∠AP℃=∠APD+∠CPD=75°，由题可知渔船每小时航行 10海里，渔船从A处航行至B处所用时间为30分钟，即 半小时，故AB=2×10=5(海里). (2)设PD为x海里， 在Rt△BPD中，∠BPD=45°， .∠PBD=45°，.BD=PD=x, 在Rt△APD中，∠APD=60°， 六∠A=30°，am∠APp=40=5,os∠APD=PD-号 PD AP 2 ∴.AD=√3PD,AP=2PD. AB=AD-BD...3PD-PD=5, Pm=5+ .AP=2PD=5(√5+1)≈13.65 在△APC中，∠A=30°，∠APC=75° ∴.∠C=180°-∠A-∠APC=75°，∴.∠C=∠APC, .AC=AP≈13.65. 设上午9时渔船航行至E处，则AE=10. ∴.CE=AC-AE≈3.65<5， .该渔船会进入“海况异常”区， 3.解：(1).·AB⊥BF,CD⊥BF,∴.AB∥CD △ECD∽△EBA,ABBE CD CE CB=2米，CD=4米，AB2 BE 1 (2)由题意得∠HGF=∠AGB. .AB⊥BF,HF⊥BF, HF FG ·△FHG∽△BAG,·ABBC 由)知，能，设BE=元米，则AB=2米 1.51 六2x14+x心x=42, 经检验，x=42是所列分式方程的解，且符合题意， .AB=84米 答：开元寺塔的高度AB为84米。 4.解：(1)0A=0B,∠A0B=120°， 六∠AB0=∠A=180°-120 =30° 2 由题意得OENG,∠ODE=∠NMG=90°， ∴.∠OED=∠NGM,.△ODE∽△NMG. 织器4的00=8n (2)如解图，过点O作OH⊥AB于点H,过点E作EILAF 于点I, 在Rt△NMG中，由勾股定理得NG=5m. 同理可证△EIF∽△WMMG, -E即L-20 ·NMNG P45,EI=16m, 由题意得OE∥AF,而OH⊥AF,EI⊥AF, ∴.0H=EI=16m. .·在Rt△OBH中，∠AB0=30°， .B0=20H=32(m), .当0B⊥DF时，48-32=16(m), .风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m. 5.解：(1)如解图，过点D作DE⊥AB于点E. E B .·AB∥CD,DE⊥AB.∠DCB=90°， ∴.∠EDC=∠DCB=∠DEB=90°， .四边形BCDE是矩形， ∴.CD=EB=20m,BC=DE. .∠ADB=82°，∠BDC=45°，∴.∠ADC=127° .∴.∠ADE=∠ADC-∠EDC=37° 在Rt△BCD中，∠BDC=45°，.∠DBC=45°. .∴.CD=CB=EB=DE=20m. 在B△AED中，an∠ADE=AE DE 31专题三 多 类型1统计（近4年连续考查） 1.(2025唐山路南区校级三模)在某次体育 测试中，将甲、乙两名男生5次引体向上的 有效次数整理成如图的折线统计图，其中 乙同学第5次测试成绩尚未记录，已知甲、 乙两位同学5次引体向上测试成绩的平均 数相同 (1)①通过计算补全折线统计图： ②直接写出乙同学5次引体向上测试成绩 的中位数和众数； (2)嘉嘉说：“根据成绩的稳定性，我选择甲 同学代表班级参加校级引体向上比赛.” 淇淇说：“根据去年校级比赛成绩（至少9 次才能获胜)，我选择乙同学代表班级参 加校级引体向上比赛.” 请结合(1)的分析，选择其中一人的说法 进行说理； (3)若乙同学再做一次引体向上，与之前的 5组数据合在一起，发现乙同学6次引体向上 测试成绩的中位数没有发生变化，则乙同学 第6次测试成绩的最小值为 次 ↑成绩/次 甲一乙-- 11 1 9 8 6 第1次第2次第3次第4次第5次 次序 28 充计与概率（必考） 2.(2025廊坊香河县模拟)某公司为检验员 工职业技能水平，对员工进行行业技能测 试，测试满分为30分，成绩分为四个等级： A(优秀，分数范围x≥26)，B(良好，分数 范围22≤x<26),C(及格，分数范围18≤ x<22),D(不及格，分数范围x<18).若该 公司成绩平均分低于该公司所在区域行业 平均分，则该公司的员工需进行进修学习. 该公司员工成绩所属等级及人数统计如图 表1，成绩分析如图表2，该公司所在区域 行业分数和成绩统计如图表3. 图表1： 人数 7 6 B D等级 图表2： 成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率 20 23 20% m 图表3 成绩平均分 成绩中位数 优秀率 及格率 22 23 23% 80% (1)求m的值； (2)若该公司成绩排名（从高到低）第10 名员工的成绩为24分，请你计算出排名为 第11名员工的成绩： (3)若该公司部分员工有科研技术奖励分 值，分值为10分，将科研技术奖励分值重 新算入成绩后，员工进修情况会发生变化， 请求出至少有多少名员工有科研技术奖励 分值. 3.甲、乙两人是某中学数学兴趣小组成员，以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期 间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息， 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）》 日期 2月 2月 3月 3月 3月 4月 4月 4月 5月 5月 队员 10日 21月 5日 14日 25日 7日 17日 27日 8日 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是x甲=85，x2=85;方差分别是s屏=58.4,2=a. 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2021 2022 2023 2024 2025 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加 高中数学联赛，选谁更合适？ (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？ 为什么？ 29 类型2概率(10年4考；2024.21) 4.【热点信息】《哪吒之魔童闹海》之后，天庭 举办了一场擂台赛，要求太乙真人和无量 仙翁参加“法宝法术挑战赛”，于是元始天 尊设计了抽卷轴的方式来决定各自使用的 法宝或法术（卷轴除所写内容外均相同） 规则如下：太乙真人从写有“九龙神火罩” (A)、“山河社稷图”(B)的卷轴中随机抽 取一个：无量仙翁从写有“天元鼎”(C)、 “穿心咒”(D)、“法杖”(E)的卷轴中随机 抽取一个.若太乙真人的法宝能克制无量 仙翁的法宝或法术（克制关系：A克制D,B 克制E),则太乙真人获胜，否则无量仙翁 获胜 (1)太乙真人抽取的卷轴上写的是“山河 社稷图”的概率为 (2)请用列表或画树状图的方法，求无量 仙翁获胜的概率。 5.如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它 有四个面并分别标有数字1,2,3,4.如图 2,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈 游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子 着地一面上的数字是几，就沿正方形的边 顺时针方向连续跳几个边长 如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时 针连续跳3个边长，落到圈D;若第二次掷 得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长， 落到圈B;… 30 设游戏者从圈A起跳， (1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A 的概率P; (2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最 后落回到圈A的概率P,,并指出她与嘉嘉 落回到圈A的可能性一样吗？ 图 图2 6.【学科内融合】在一个不透明的袋子里装 有4个分别标有数字1,2,3,4的小球，它 们除数字外无其他差别. (1)摇匀后随机摸出一个小球，直接写出 小球上的数字是一元二次方程x2-5x+6= 0的解（记该事件为A)的概率； (2)摇匀后一次性随机摸出两个小球，请 用列表法或画树状图的方法求出“两个小 球上的数字之和为偶数”（记该事件为B) 的概率. 类型3统计与概率结合(10年3考) 7.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数 的情况，绘制成不完整的条形图（图1）和 扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了 一部分 ↑人数/人 2 7册 5册 4册 4册5册6册7册读书情况 图1 图2 (1)求条形图中被遮盖的数，并写出册数 的中位数： (2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书 感想，求选中读书超过5册的学生的概率； (3)随后又补查了另外几人，得知最少的读 了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数 的中位数没改变，测最多补查了 人 8.(2025唐山古冶区三模)现有一组数据：1， 2,5,6,6,小明准备再添加两个数，组成一 组新的数据. (1)若添加的数是3,4，则这组数据的平均 数 ;(填“变大”“不变”或“变小”) (2)若添加的数是a,b,记s=a+b,当s满足 什么条件时，这组数据的平均数变大？并 说明理由； (3)在一个不透明的口袋中有4个小球 (除标有数字不同外，其余均相同)，分别 标有数字2,3,5,6，如图，搅匀后从中摸出 一个小球，记下数字，再从剩下的小球中随 机摸出第二个小球，记下数字.将两次得到 的数字添加到原数据中，求这组数据平均 数变大的概率. 31