小专题培优4 一线三等角模型-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

小专题培优4一线三等角模型 (10年3考) 模型特点 有三个等角的顶，点在同一条直线上 等角在线同侧 (K型) ,点P在线段AB上，∠1=∠2=∠ 常见模型 等角在线异侧 (背靠背型) 点P在线段BA的延长线上.∠1=∠2=∠3 (1)△ACP∽△BPD; 结论 (2)若AC=BP或AP=BD或CP=PD,则△ACP≌△BPD 通过“三角形的内角和等于180”和“同角（等角）的余角（补角）相等”证明角相等. 解题策略 当图中有边对应相等，则证全等；否则，证相似 【知识拓展】特殊图形中的一线三等角问题： 例如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,点D在线段BC上运动（点D不与点B,C 重合)，连接AD,作∠ADE=45°，DE交AC于点E. (1)求证：△ABD∽△DCE: (2)若△ADE是以AE为底的等腰三角形，求CD的长 【分析】①在直线BC上从左向右找出三个相等的角： ②∠ADC=∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE,由①可以推出另外一对相等的角是： 10 /////IlnI针对训练I// 1.如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，连接AD,在AD上取两点E,F,连接CE,BF 若∠CED=∠BFD=60°，求证：△ACE兰△BAF. B D 2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D,E,F分别为边BC,CA,AB上的点，∠FDE=∠B. (1)求证：△BDF∽△CED; (2)若BD=2,CD=3,CE=4,求BF的长. 3.如图，AB=BC,AB⊥BC,点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA=PD.若∠A=24°，求∠D的 度数. 11AC=EC 例3解法I:在△ACD和△ECD中 ∠ACD=∠ECD. CD =CD. .△ACD≌△ECD(SAS). ∴.AD=ED,∠A=∠DEC. ·∠A=2∠B,.∠DEC=2∠B. .∠DEC=∠B+∠EDB,∴.∠B=∠EDB, .△BDE是等腰三角形，AD=DE=BE=2. ·EC=AC=3,.BC=BE+CE=2+3=5. 解法2：.CD平分∠ACB,∴.∠1=∠2 又：CD=CD,CB=CE,.△CDB≌△CDE,.∠B=∠E. .·∠BAC=2∠B,∴.∠BAC=2∠E. 又：∠BAC=∠3+∠E,∴.∠3=LE, ..AE=AD=2. AC=3,..CE=AC+AE=5,..BC=5. 针对训练4>【解析】解法1（截长）：如解图1，在AB上 截取AE,使AE=AC,连接PE,在△AEP和△ACP中， (AE=AC. ∠1=∠2，.△AEP≌△ACP(AS),.PE=PC.在 AP=AP」 △PBE中.BE>PB-PE.即AB-AC>PB-PC E B D D 解图1 解图2 解法2（补短）：如解图2，延长AC至点M,使AM=AB,连 (AB=AM, 接PM.在△ABP和△AMP中，了 ∠1=∠2，.△ABP≌ AP=AP. △AMP(SAS),∴.PB=PM.在△PCM中，CM>PM-PC,即 AB-AC>PB-PC. 针对训练5解：解法1（截长）：如解图1，在AB上截取 AM=AC,连接DM. 解图1 AD是∠BAC的平分线，∴.∠CAD=∠MAD. 又.AC=AM,AD=AD,∴.△ACD≌△AMD, ∴.CD=MD,∠C=∠AMD. 又：AB=AC+CD,.AB=AM+MD, ∴.BM=MD,∴.∠B=∠MDB. .∠AMD=∠B+∠MDB,∴.∠C=∠AMD=2∠B. ·∠BAC=60°，∴.∠B+∠C=180°-∠BAC=120°. ∴.∠B=40° 解法2（补短）：如解图2，延长AC至点N,使得AN=AB,连 接DN. 解图2 :AD是∠BAC的平分线，·.∠BAD=∠NAD. 又：AB=AN,AD=AD,∴.△ABD≌△AND, .∠B=∠N. AB=AN=AC+CN.AB=AC+CD .∴.CN=CD,∴.∠CDN=∠N, ∴.∠ACB=∠CDN+∠N=2∠N=2∠B. .·∠BAC+∠ACB+∠B=180°， .60°+2∠B+∠B=180°，.∠B=40° 方法460：120：90：ADF:90:DE2:90:AEG:120:FDG 例410【解析】如解图，将△BDE绕点D顺时针旋转 120°得到△CDP,则∠DCP=∠DBE..·∠DBE+∠ACD= 360°-∠A-∠BDC=180°，.∠DCP+∠ACD=180°，∴.点 A,C,P共线.由旋转可知DE=DP,∠BDE=∠CDP. ∠BDC=120°，∠EDF=60°，.∠BDE+∠CDF=60°， ∴.∠CDP+∠CDF=60°，∴.∠PDF=∠EDF=60°.在△DEF (DE=DP. 和△DPF中，∠EDF=∠PDF,∴△DEF≌△DPF(SAS), DF=DF. EF=FP,.EF=FC+BE,.△AEF的周长=AE+EF+ AF=AB+AC=10. 针对训练6解：如解图，将△AEC绕，点A顺时针旋转90°得 到△AFB,连接FD,过点A作AH⊥BC于点H, 则△AEC≌△AFB, B D H E C ∴.∠ABF=∠ACB,∠BAF=∠CAE,AE=AF,FB=EC 在Rt△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°， .∴.∠ABF=45°，.∴∠FBE=45°+45°=90°， ..BD+BF2=DF2」 ∠DAE=45°，.∠BAD+∠CAE=45°， .∠BAD+∠BAF=45°，∠DAE=∠DAF, (AD=AD. 在△DAE和△DAF中，了 ∠DAE=∠DAF AE=AF. ∴.△DAE≌△DAF(SAS),.∴DE=DF, .BD2+CE2=DE2. BD=3,CE=4,∴.DE=5, .∴.BC=BD+DE+CE=12. :AB=AC,∠BAC=90°，AH⊥BC, 六AH=BH=CH=2BC=6, .S△H+S△Bc= 0.An*宁c8,M=宁x(3+4)× 6=21. 小专题培优4一线三等角模型 例【分析】①∠B=∠ADE=∠C:②∠BAD=∠CDE. (1)证明：：∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45°=∠ADE. .·∠ADC=∠BAD+∠B,∠ADC=∠ADE+∠CDE ∴.∠BAD=∠CDE,∴.△ABD∽△DCE. 23 (2)解：：△ADE是以AE为底的等腰三角形，.AD=DE. 由(1)知△ABD∽△DCE,∴.△ABD≌△DCE, .∴.CD=AB=6. 1.证明：：△ABC是等边三角形 .∠BAC=60°，AB=CA,∠BAF+∠EAC=60°. .∠CED=∠BFD=60° ∴.∠AEC=∠BFA=180°-60°=120°. .∴.∠BAF+∠FBA=180°-∠AFB=60°， ∴.∠EAC=∠FBA L∠AEC=∠BFA. 在△ACE和△BAF中 ∠EAC=∠FBA. AC=BA. .∴.△ACE≌△BAF(AAS). 2.(1)证明：.AB=AC,.∠B=∠C ∠FDE=∠B,∴.∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠CDE, ∴.∠BFD=∠CDE. 又：∠B=∠C,∴△BDF∽△CED. (2)解：由(1)可知△BDF∽△CED 0需即子=号 3.解：如解图，作DH⊥BC交BC的延长线于点H. .AB⊥BC,DH⊥BC,PA⊥PD ∴.∠B=∠APD=∠H=90°， ∴.∠A+∠APB=90°，∠APB+∠DPH= 90°，∴.∠A=∠DPH=24 又.PA=PD,.△ABP≌△PHD (AAS), .AB=PH,PB=DH. .'AB=BC,∴.BC=PH,∴，PB=CH=DH,∴.∠DCH=45 .·∠DCH=∠DPC+∠PDC, .∠PDC=45-24°=21° 小专题培优5手拉手（旋转)模型 例证明：∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED, ∴.AB=AC,AE=AD ·∠BAC=∠DAE. ∴.∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD .△ABE≌△ACD(SAS),.BE=CD. 1.60【解析】：△ABC和△CDE都是等边三角形，.AC= BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°，÷.∠ACB+∠BCD= ∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,.△ACD≌△BCE (SAS),.∴.∠CAD=∠CBE.又∠AMC=∠BIMP,∴.∠APB= ∠ACB=60° 2.(1)证明：.四边形ABMN和四边形ACDE是正方形 .AN=AB,AC=AE,∠NAB=∠CAE=90°. ·.∠NAC=∠NAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE, .∠NAC=∠BAE,∴.△ANC≌△ABE(SAS), .∠ANC=∠ABE. (2)解：如解图，设NC与AB的交点为O B .四边形ABMN是正方形， .∠N4B=90°，.∠ANC+∠AON=90°. .·∠BOP=∠AON,∠ANC=∠ABE, 24 .∴.∠ABP+∠BOP=90°，.∴.∠BPC=∠ABP+∠BOP=90° Q为BC的中点，BC=6P0=之BC=3 小专题培优6对角互补模型 例解：如解图，连接AD,过点D分别作DG⊥AB于点G, DH⊥AC于点H. .·△ABC为等边三角形，·.∠BAC=60° .∠EDF=120°，∴.∠EAF+∠EDF=180°， ·.∠AED+∠AFD=180° .:∠AED+∠DEG=180°，∴.∠DEG=∠DFH. D为BC边的中点，.AD平分∠BAC,DG=DH I∠DEG=∠DFH. 在△DEG和△DFH中，了∠DGE=∠DHF, DG=DH. .∴.△DEG≌△DFH(AAS),∴.DE=DF=6. 过点E作EP⊥BC于点P. ∠BDE=45..EP=)DE=32. ∠B=60BB=2 -EP=2w6. 3 BP D C L.证明：如解图，延长BC到点E,使CE=AB,连接DE. .∠ABC+∠ADC=180°，∴.∠4+∠A=180°. 又·∠1+∠4=180°， D ∴.∠A=∠1. 又.·AD=CD .△DAB≌△DCE(SAS), E ∴.∠2=∠E,BD=DE 4 ·∠3=∠E=∠2， 3 .BD平分∠ABC B 2. ,【解析】解法1：如解图1，过点E分别作EM⊥BC于 点M,EN⊥CD于点N,则四边形EMCN是矩形，.EM= CN..·四边形ABCD是矩形，.∠BCD=90°..·EF⊥BE, .∠EBC+∠EFC=360°-∠BCD-∠BEF=180°.又： ∠EFC+∠EFN=18O°，∴.∠EFN=∠EBC.又∠ENF= ∠EMB,.△ENF∽△EMB,∴ EF ENEN EB EM-C示：ENL CD, AD1GDEN/AD,△CNE∽△CDA,X-A0-=三 CN CD 3 EF 5 EB 3 B M 解图1 解图2 解法2：如解图2，连接BF,取BF的中点O,连接OE,OC. .:四边形ABCD是矩形，EF⊥BE,.∠BEF=∠BCF=90° .OE=OB=OF=OC,B,C,F,E四点共圆，∠EBF= ∠ECF=∠ACD心tan∠EBF=tan∠ACD,BE=CD3: