小专题培优2 与角平分线有关的常见辅助线作法-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学二轮专项突破（河北专用）

垂直平分BC,.BE=CE,∴.∠BCE=∠B=15°，∴.∠ACE ∠BCA-∠BCE=60°.在Rt△AEC中，∠ACE=60°， ∴.∠AEC=90°-∠ACE=30°，∴.CE=24C=16(cm)..·BE= CE,.∴.BE=16cm. D E B 针对训练524【解析】如解图，连接AF,AD.:点E是 △ABC的外心，P,Q分别是AB,AC的中点，.EP⊥AB, EQ LAC,.'.AF=BF=5,AD DC=4..DF=3,..DF2+ AD2=AFP,.∠ADF=90°.BC=BF+DF+DC=5+3+4= 1 12,Sac=2BC·AD=2×12x4=24 作法5【方法解读】BE;AB;0E;BE;BC:AB:2 例5A 针对训练6解：连接OC. :A为BC的中点， ∴.OA⊥CB,CE=BE .·∠ADC=30°，∴.∠A0C=60° 设o0的半径为r,在Rt△COE中，0E-- 1 =c0s60°= 2 ∴.=2，即0C=2,0E=1, ∴.CE=W0C2-0E2=√3， .:.BC=2CE=2√3. 小专题培优2与角平分线有关的常见辅助线作法 作法1【方法解读】PB:△BOP 例1C【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F.AD 是∠BAC的平分线，DE⊥AB,.DE=DF=2.又：S△Bc= SAum+SAD=9.AC=4.ABX2+-1 2 ×4×2=9,解得 AB=5. B 针对训练1证明：如解图，过点E作EM⊥BC于点M. D C .∠A=∠D=90°，.DA⊥AB,DA⊥CD .·BE平分∠ABC,.AE=ME .E是AD的中点，∴.AE=DE=ME DA⊥CD,EM⊥BC,∴.CE平分∠DCB. 作法2【方法解读】等腰；OB;△BOP 例2号【解析J如解图，延长BD,4C交于点E:AD平 分∠BAC,ADLBD,A=AB=1B.AC=13 C是AE 13 的中点在R△ADE中，CD=2AE= B4 A 针对训练2解：如解图，延长AN交BC于点D. CN⊥AW,∴∠ANC=∠DNC=90°， 又.·∠ACN=∠DCN,CN=CN .△ANC≌△DNC(ASA),.∴.CD=AC=3,AN=ND. 又M是边AB的中点， .MN是△ABD的中位线， BD-2MN=2x2-4 55 459 .△ABC的周长=AC+AB+BC=3+5+3+ 551 作法3【方法解读】等腰 例310：5【解析】·OP平分∠AOB,.∠AOP=∠BOP. PC∥OB,∴.∠CPO=∠BOP,∴.∠CPO=∠AOP,∴.PC OC..PC=10,.0C=10.如解图，过点P作PE⊥OA于点 E.PD⊥OB,OP平分∠AOB,PD=PE.PC∥OB, ∠AOB=30°，·.∠ECP=∠A0B=30°.在Rt△ECP中， PE=PC=5..PD=PE=5. 0 D B 针对训练3解：解法1：如解图1，过点D作DE∥AB交BC 于点E,则∠ABD=∠BDE. D B E 解图1 BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, .∠BDE=∠DBC,BE=DE. 设BE=DE=a,则CE=8-a. DE∥AB,.△CDE∽△CAB 倍微子年得骨 3 8 16 CD CE BE=DB=3,CE=3六ADBE2 解法2：如解图2，过点A作AF∥BD交CB的延长线于点 F,则∠FAB=∠ABD,∠F=∠DBC. 4 D P. B C 解图2 21 BD平分∠ABC,·∠ABD=∠DBC, ∴.∠FAB=∠F,∴.FB=AB=4. AF/BD.ADFR CD CB 2, 作法4【方法解读】△BOP 例4证明：如解图，在BC上截取BE=BA,连接DE. BD平分∠ABC,.∠ABD=∠EBD. 又AB=BE,BD=BD..△ABD≌△EBD ∴.AD=ED,∠A=∠BED. .AD=CD,∴.ED=CD,∴.∠DEC=∠C. .·∠BED+∠DEC=180°，∴.∠A+∠C=180° B 针对训练4证明：如解图，在BC上截取BF=AB,连接DF B .BD是∠ABC的平分线，·.∠1=∠2. (AB=FB. 在△ABD和△FBD中，了∠1=∠2 BD=BD, ·.△ABD≌△FBD(SAS), ∴.DF=DA=DE,∠A=∠BFD 又.∠A=100°，∠ABC=40° .∠ACB=40°=∠ABC,∠DFC=180°-∠BFD=80°， ∠ABD=20°， ∴.∠FDC=60° .·∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=60° ∴.∠FDC=∠EDC,∴.△DCE≌△DCF(SAS) ∴.CE=CF,∴.BC=BF+CF=AB+CE,即BC=AB+CE 小专题培优3常见的构造全等三角形的方法 方法1△EDB:△BDE:△CND:△CFD 例1(1)证明：如解图1，延长AD到点G,使得DG=AD,连 接BG D是BC的中点，∴BD=CD. 又.∠1=∠2，∴.△BDG≌△CDA(SAS), ∴.BG=CA,∠G=∠A 又.∠BED=∠CAD,∴.∠G=∠BED ∴.BE=BG,∴.BE=AC B 解图1 解图2 (2)解：如解图2，延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG 由(1)可知∠G=∠A,∠3=∠G,∴.∠3=∠A 又∠3=∠4，.∠4=∠A,.AF=EF=2. 针对训练1解：如解图，延长CD到点T,使得DT=CD,连 22 接BT B A .·BD=AD,∠ADC=∠BDT,∴.△ADC≌△BDT ∴.BT=AC=5,∠T=∠ACD=90°， .CT=√BC-BT=12, SAAW=SAA+SA=ScBT CT=30. 方法2△FEA:△DCE 例2解法1：AB=AC,∠B=∠ACB. '.EG∥AC,∴.∠EGB=∠ACB=∠EBG, ∴.BE=EG=CF, .EG∥CF,.∴.∠DEG=∠DFC,∠DGE=∠DCF .△DEG≌△DFC(ASA),.DE=DF. 解法2：.AB=AC,.∠B=∠ACB. .·EH∥BC,∴.∠AEH=∠B,∠AHE=∠ACB, ∴.∠AEH=∠AHE, ∴.AE=AH,.AB-AE=AC-AH,即BE=CH .BE=CF,..CF=CH. :EH∥BC,.由平行线分线段成比例，可知DE=DF 针对训练2解：如解图，延长CE,B4交于点F A B 4 D AB∥CD,.∠1=∠F. CE平分∠BCD,.∠1=∠2， ∴.∠2=∠F,∴.BC=BF 1∠F=∠1， 在△AFE和△DCE中，了∠4=∠3， AE=DE, ·.△AFE≌△DCE,.AF=DC=5. .BC=BF=AB+AF=7. 针对训练3证明：如解图，过点D作DH∥BC于点H, E F B 则∠DIE=∠FBE,∠HDE=∠BFE 又.DE=EF,∴.△DIE≌△FBE. ∴.HE=BE. .AC=BC,.∠A=∠ABC. .·DH∥BC,∴.∠AHD=∠ABC .∠A=∠AHID,DA=DH, .△ADH是等腰三角形 .DG⊥AB,.由等腰三角形三线合一，得AG=GH ·.AG+BE=GH+IHE=EG :AG+BG+版=ABBG=子AB 方法3△AED:△AFD小专题培优2与角平分线有关的常见辅助线作法 作法1已知角平分线+边上垂直，可向另一边作垂直 例1(2024承德期末变式)如图，AD是∠BAC的平分线，DE1AB园方法解读 于点E,S△AC=9,DE=2,AC=4,则AB的长是 ()【图示) A.3 B.4 C.5 D.6 M 【条件】OP平分∠MON, 针对训练1如图，E是AD的中点，BE平分∠ABC.若∠A=∠D=PA⊥OM. 90°.求证：CE平分∠DCB. 【辅助线作法】过点P作 射线ON的垂线PB. 【结论】PA= △AOP≌ 作法2已知角平分线+平分线上垂直，可构造等腰三角形 例2如图，在四边形ACDB中，AB=13,AD平分∠BAC,BD⊥AD园方法解读 于点D,连接cD,4C=则CD的长为 【图示】 M 0 0 B N 针对训练2如图，M是△ABC的边AB的中点，∠ACN=∠BCN,【条件】OP平分LMON, AP⊥OP. LAW,AC=3,AB=5,MN=5,求AABC的 【辅助线作法】延长AP 交ON于点B 【结论】△AOB是 三角形，OA= △AOP≌ 4 作法3已知角平分线+平行，可构造等腰三角形 例3(2024秦皇岛校级模拟)如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB, 园方法解读 PD⊥OB于点D,PCOB交OA于点C.若PC=10,则OC= 【图示】 PD= P N D B 【条件】OP平分∠MON. 【辅助线作法】PQ∥ON. 针对训练3多解法如图，在△ABC中，AB=4,BC=8,点D在AC 【结论】∠1=∠3， 边上，且BD平分LABC,求CD的值 △0PQ是 三 角形 【拓展】也可作角平分线 的平行线，如： M 作QC∥OP交NO的延长 线于点C,则∠3=∠4， △COQ是等腰三角形. 作法4只有角平分线，可构造轴对称图形（即截长补短法构造全等三角形） 例4如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC, 园方法解读 求证：∠A+∠C=180°. 【图示】 01 B N c 【条件】OP平分∠MON. 【辅助线作法】作AP关 于OP的对称线段BP. 针对训练4如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是 【结论】△AOP≌ ∠ABC的平分线，延长BD至点E,使DE=AD,连接CE.求证： BC=AB+CE. 5