专题04 函数的概念与图象专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末复习

专题04函数的概念与函数图象 ⑧基础知识（思维导图) 数北≠0)-a:≥0》-4化≠0-g>0 -x-1>0 、悬合型末交集 求通数阳三动可 由内而外看十1-102（任-1）之0 V1-10g(e-1≠0 0定义城 △=+1(1+1,2+1) f红+1)的定义域为(1,2)，求f()的定义域 ()中z位于位于整体位置 得，1()的定义域为(2,3 抽象数一整体与局部即短 g(:)中位于位于局部位置 r△=x+1e(1,2) ~(x)的定义域为(1,2)，求：+1)的定义域 得，fe)的定义域为(0,1 y=:+vz+1 数的三要素查域一0图象法一一次二次.反比例一如y=x2一五，？E(2,3)一0t法 = :十1=10关注定义城 一如，fe)-2(月=x一把z背换为得，f月-2（回）=！一联立求解 0待定系数法一如，已知f(:)是一次函数，f八(e)=上，求f(e)一●方程组 对应关系 如，()-2f(-)=x一把x替换为-x得，-)-2()=-无一兼立求编 ●法一已知f(e+1)=之，求f八知)一令多+1=t一0关注定义城 年三章函数 函数的&表示 相同函融一定义域对城关蒸相同一书-（红-1）-如-2)与y-1g号不母同一数一而y-(1-)-g(:+1)与形-19是同一数一考德定义域 平移一左加右减上加下减 嗣 如，函数=一2少-的图像y=2一y=2一=2-1一y=-2- 桑的表示一●腰新试法一●表格法一散点图一●图象法一雷象变渔十对粉一代一以，一f(以，一f代-) 折一f(e),/(-x儿，f(x川 区到一(-1,2引，(-0，+0∞) 基础题型 题型一函数的辨析、求值 方法点拨： 1.变量y是x的函数：要求一个x有唯一一个y和它对应 2.判断两个函数是否相同：定义域和对应关系完全一致 3.抽象函数求值：赋值法 例题解析： ⊙图象 例一 函数概念辨析 ⊙解析式 例三 ⊙图表一 例三 函数的辨析、求值 相同函数判断 ⊙基础概念一例四 ⊙分段函数求值 例五 函数求值 。符合函数求值一 例六 ⊙抽象函数求值一例七 例1.下列四个图中，能反映变量y是x的函数的是() 例2.下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是() 筒除的 例3.下列从集合A到集合B的对应关系f中，y是x的函数的是() A.A=B=R,对应关系f:x→y=产 1 B.A=B=0,+0）,对应关系f:x→y=x C.A=B=R,对应关系∫：x→y=√ D.A=B=R,对应关系∫：x→y2=x 例4.下列各组函数是同一函数的是() A.y=N与y=1 B.y=Vx-1)2与y=x-1 C.y=与y=x D.y=+x与y=x x2+1 r+2r<-3 1 例5.已知函数f(x) ,则f四)=() Vx+3,x≥-3 A.-1 C.2 D.√6 例6.若函数f(x)=x-1，gx)=x2,则f[g3)]=() A B.9 C.4 0.9 0 例7.若x∈[0，+o),y∈[0，+o),f(x+y)=f(x+f(y),且fx)不恒为0，则() A.f(0)=-1 B.f(2)=2f1) C.f(0)=1 D.f(2)=4f(1 变式突破： 1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是() B 2.(多选)下列从集合A到集合B的对应关系中是函数的是() B A B 1 A 1 B 3 2 23 56 7 4 3 4 8 B A B 1 2 1 5 3 4 23 6 5 7 7 8 4 8 3.(多选)下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是() 4.(多选)下列对应为集合B到C的函数是() A.B=0,+oo),C=R,xEB,f :x y,y2=x B.B=R,C=R,xEB,f:xy,y=x C.B={2,4,5,C={4,6,8,10,x∈B,f:x→2x D.B=Z,C=Q,x∈B,f:x→y,y=5x 5.函数fx):{1,2,3→{1,2,3}满足ff(x)=f(x,且f(1=1,则这样的函数个数有() A.2个 B.4个 C.6个 D.10个 6.下列函数中，与函数f(x)=x-1川为同一函数的是() A.)=Vt-1 1-x,x≤0 B.u(x)= x-1,x>0 C.vr)=-x D.g(t)=t-1,121 2-x(x<0) 7.已知函数f(x)= ,则f(f(-2) 、 x2(x≥0) 8.已知f(x-1)=x2,则f(f(2)= 9.若定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足fy)=yfx)+xf(y),则f四=一 题型二函数的定义域 方法点拨： 1.常考函数的定义域：①.[f(”=f()0:②.→（≠0，③ N四÷f≥0：@.1og,到-f川>0：⑤.am到→f号+k红，keZ 2.抽象函数定义域的3大核心要点：无论函数形式多抽象，定义域都是针对x而言；“括 号内整体范围相同是解题灵魂；复合多层抽象函数：从外层到内层逐层拆解 例题解析： 。例一一 根式、分母 常规函数的定义域 。例二 真数.根式 ⊙例三 0的0次幂 ⊙例四一 X局部一整体 函数的定义域 抽象函数的定义域 ⊙例五 X整体一局部 ②例六一X局部一整体一局部 实际问题中定义域 ⊙例比 根据定义域求参数 ⊙例八 例1.函数f(x)=V2r-3+1 3的定义域为() B.-0,3)U(3,+o】 例2.函数f(x=ln(x++V8-2的定义域为 例3函数f树=-的定义域为 3-x 例4.已知函数y=f(x)的定义域为1,2，函数y=∫(2x+1)的定义域是」 例5.若函数fx+2)的定义域为-，，则8(=女+的定义域为二 1 例6.已知函数2x-的定义域为-2,2则fx+1的定义域为一 例7.己知矩形的周长为定值Q,设它的一条边长为x,则矩形面积的函数S=∫(x)的定义域 为() A.(0,+o) B.(0,a C.0,+oo) D 2 例8."0<a≤16”是“函数f(x)=Var2-ax+4的定义域为R"的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 变式突破： 1.函数f(x)= =x的定义域是() 2x-1 A〔别 B.1,+0 D.(-0,-1) Vx-1 2.函数y= 的定义域为() log x-2 A.[1,+oj B.(3,+0 C.1,3)U3,+0）D.1,3U3,+0 3运数37-广约定义拔为一 5.设全集U=R,集合A={x|-1<x<4,B={x|y=ln(x-2},则AVuB)=() A.（-0,4 B.-0,4 C.（-1,+0 D.R 6.已知函数∫(x-1的定义域为[0,3，则函数f(2x-1)的定义域为() A.【-3, c.[1,J 7.函数y=V√2+2cosx的定义域为】 8.已知函数f 2 的定义域为x-2gx≤2，则函数☒的定义域为《) x+1 A.(-l, B.(-1,I) C.[-4,0)U(0,4] D.「-4，-)U(-1,4 10.已知等腰三角形ABC的周长为10，且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的 定义域为() A.{x/X∈R} B.{x/X>0} C.x/0<x<5} 11.若f(x)=√ax2+2x+a的定义域为R,则a的取值范围是 12.若函数f(=ar2+4ax+4 1 的定义域为R,则实数a的取值范围为 题型三函数的值域 方法点拨： 1.通用步骤 确定定义域：明确自变量x的取值范围（优先考虑分式分母、偶次根号、对数真数等限制） 判断函数类型：根据解析式特征选择对应方法（如二次函数用配方法，分式用分离常数法） 结合定义域求值域：利用单调性、最值或边界值确定值域，复杂函数可借助图像辅助分析； 验证结果：代入特殊点（如端点、极值点）检验值域是否合理。 2.求函数值域的一般方法： 函数类型 首选方法 关键点 示例函数 y=ax2+ba+ c(a≠0) 配方法 开口方向+定义域端点值 y=x2-2x+3(x∈ 0,4) y=当 分母不为0，分离后 分离常数法 y≠是 = 换元法（设t= y=z+Var+b t≥0，转化为二次函数 v√ax+b) y=x+v2r-1 y=x+(k>0) 基本不等式/单调性 等号条件是否在定义域内 y=x+(x∈[1,3) y=sin2 x+cosx+1 换元法（设t=cosx) t∈[-1,1川，二次函数 值域 y=-cos2 x +cosx+2 例题解析： 。例 常见函数的值域 ⊙例十 分段函数 根式型函数的值域 例 Q例三 分式型函数的值域 例四 函数的值域 复合函数的值域 ●例五 ®例六 根据值域求参数 Q例九一分段函数 根据值域求定义域 。例比 例1.下列函数中，值域是0，+0)的是() A.y=Vx2-2x+1 B.y=x2-2x,xe0,+0 2 x2+2x+,eN C.y= D.y=x+可 例2.函数y=2x-V-x的值域为()· A.(-0,2] B.[2,+o0) C.(0,2] D.[0,2] 例3函数)=十子，e4,的敏大值是() A.5 B.6 C.7 D.8 例4.函数y=3+1的值域为（) 9r-34 A.(0,+0】 B.（-0,-6 C.（-o,-3-2V2U(0,+∞ D.(-o,0)U[3+2V2,+∞】 例5.已知函数因-g=+>0,则=g的饭拔为( A.（-0,2)U(2,+o B.[5,+0】 C.(2,+0) D.(2,5] 例6.设函数f=+r+16(25x5a,其中实数a>2.若f的值域为9,1，则a的 取值范围是() A.(2,4] B.[4,6 C.(2,8] D.[4,8] 例7.已知函数f(x)=32x-2·3+2,定义域为M，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的 是() A.M=[0,l0g2] B.M≤(-0，log32] C.log32∈M D.0EM 专题04 函数的概念与函数图象 基础知识（思维导图） 基础题型 题型一 函数的辨析、求值 方法点拨： 1.变量是的函数：要求一个有唯一一个和它对应 2.判断两个函数是否相同：定义域和对应关系完全一致 3.抽象函数求值：赋值法 例题解析： 例1.下列四个图中，能反映变量是的函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由函数的定义逐个判断即可. 【详解】对于ABC三个图象，都出现一个对应两个的情况，不符合函数定义， 对于D，符合一个有唯一一个和它对应，符合函数定义， 故选：D 例2.下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 例3.下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以A不符合题意； 对于B，当时，对于函数， 任意一个，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，所以B符合题意； 对于C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，所以C不符合题意； 对于D，令，由对应关系，可得，不符合函数的定义，所以不是的函数，所以D不符合题意. 故选：B. 例4.下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误； 对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误； 对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确． 故选：D． 例5.已知函数，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算即得. 【详解】函数，所以. 故选：C 例6.若函数，，则（    ） A． B．9 C．4 D． 【答案】D 【分析】代值计算即可. 【详解】由题可得：，则. 故选：D 例7.若，且不恒为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题设式子进行赋值可判断ABC，举特例可判断D. 【详解】由题意，， 令，得，，故AC错误， 令，得，故B正确， 设，则，满足， 且不恒为0，而，则，故D错误. 故选：B 变式突破： 1.下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应，逐个判断即可. 【详解】由函数定义知，定义域内的每一个都有唯一函数值与之对应， ABD选项中的图象都符合；C项中对于大于零的而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义. 故选：C. 2.（多选）下列从集合到集合的对应关系中是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】结合函数定义可知集合中任意一个元素在集合中都有唯一确定的元素与之对应， 故A，B正确； 集合中7在集合中没有元素与之对应，故C错误； 集合中3在集合中有两个元素与之对应，4没有元素与之对应，故D错误. 故选：AB. 3.（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 4.（多选）下列对应为集合B到C的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合函数定义，逐项判断是否满足集合中每个元素，集合中都有唯一确定的元素与之对应即可得. 【详解】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 时，集合有唯一元素与之对应， 故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有， 即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确； 故选：BCD. 5.函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．10个 【答案】C 【分析】先分析出值域中包含元素，然后分别根据值域中包含个元素进行分类讨论，由此求得结果. 【详解】因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 6.下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 7.已知函数，则 . 【答案】2 【分析】由分段函数求值即可． 【详解】， 则． 故答案为：2 8.已知，则 . 【答案】 【分析】先在等式中，令得，再令求解即可. 【详解】在等式中，令得， 所以． 故答案为： 9.若定义在上的函数满足，则 . 【答案】 【分析】利用赋值法直接求解即可. 【详解】对于，令得，解得. 故答案为： 题型二 函数的定义域 方法点拨： 1.常考函数的定义域：①.；②. ；③.；④. ；⑤. 2.抽象函数定义域的3大核心要点：无论函数形式多抽象，定义域都是针对x而言；“括号内整体范围相同”是解题灵魂；复合多层抽象函数：从外层到内层逐层拆解 例题解析： 例1.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C 例2.函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用对数函数和二次根式的性质，得出对数函数的真数大于0，根式内表达式大于等于0，两者的交集即为函数的定义域． 【详解】， ，解得． 故答案为：． 例3.函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由定义域的概念得到求解即可. 【详解】由解析式可得：，解得且， 所以定义域为， 故答案为： 例4.已知函数的定义域为，函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据定义域的定义得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为 故答案为： 例5.若函数的定义域为，则的定义域为 ； 【答案】 【分析】由函数的定义域求解即可． 【详解】由定义域为，得，则， 由，得． 所以g（x）定义域为． 故答案为： 例6.已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意求出函数的定义域为，再由求解，即得. 【详解】因为函数的定义域为，所以； 由解得， 因此的定义域为. 故答案为： 例7.已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长的定义和边长的范围可得选项. 【详解】边长为，另一条边长为，得，所以， 故选：D. 例8.“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式恒成立求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由，解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 变式突破： 1.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式和分式有意义列式求解. 【详解】由已知可得，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A. 2.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0和偶次方根下非负列出不等式，结合对数函数的定义域及运算法则求解即可. 【详解】由题意得，即，解得， 则函数的定义域为． 故选：D 3.函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题意可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，，解得或， 所以的定义域为. 故答案为： 5.设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先明确集合，再利用集合的混合运算求. 【详解】由，所以. 所以，. 故选：A 6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域. 【详解】因为的定义域为，所以中，所以， 在中令，解得， 所以的定义域为， 故选：B. 7.函数y＝ 的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的图象解不等式即可得函数定义域. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由，即， 由图象及函数的周期性和单调性可知的解集为， 从而函数的定义域为：. 故答案为：. 8.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的定义得的定义域，进而可得所求结果. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 所以的定义域为， 故函数中的需满足得， 故函数的定义域为． 故选：A. 10.已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边为正、两边之和大于第三边，列出关于的不等式组，解出即可. 【详解】由题意知解得<x<5 即定义域为 故选：D. 11.若的定义域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，对恒成立求解. 【详解】因为的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，，不符合题意； 当，解得， 综上的取值范围是 ， 故答案为： 12.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得的解为，求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以的解为，即的图象与轴没有交点， 当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意； 当时，要使的图象与轴没有交点， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围. 故答案为： 题型三 函数的值域 方法点拨： 1.通用步骤 确定定义域：明确自变量 x的取值范围（优先考虑分式分母、偶次根号、对数真数等限制） 判断函数类型：根据解析式特征选择对应方法（如二次函数用配方法，分式用分离常数法） 结合定义域求值域：利用单调性、最值或边界值确定值域，复杂函数可借助图像辅助分析； 验证结果：代入特殊点（如端点、极值点）检验值域是否合理。 2.求函数值域的一般方法： 例题解析： 例1.下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本函数的性质，分别求得选项中函数的值域，结合题意，即可求解. 【详解】对于A，由，则函数的值域为，所以A错误； 对于B，由，则函数在时，则，则函数的值域为，所以B错误； 对于C，函数的定义域为，函数，则函数的值域不连续，所以C错误； 对于D，由函数，函数的值域为，符合题意，所以D正确. 故选：D. 例2.函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据函数的单调性进行判断；方法二：利用换元法把函数转化成二次函数，再求其值域. 【详解】方法一：由得定义域为； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增； 所以函数值域为． 方法二：令，则，， 所以， 由于,故函数在上单调递减，且时，函数取到最大值2， 所以函数值域为， 故选：A． 例3.函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 例4.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 例5.已知函数，则的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的值域，再来求的值域. 【详解】对于函数，，当且仅当时等号成立，所以. 令， 则， 由于时，递减，所以， 也即的值域为. 故选：D 例6.设函数，其中实数．若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑函数的单调性，结合值域求a的取值范围. 【详解】函数，由对勾函数的性质可知， 由于在上单调递减，在上单调递增， 且注意到，，， 所以所求a的取值范围是． 故选：D 例7.已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，令，则，结合的值域为，求出的取值范围，进而区间的特征，即可得到正确选项. 【详解】令，则， 由，得，即，得； 由，得（舍）或2，即； 根据的图象特征，知，，. 故选：BCD． 例8.（25-26高一上·陕西延安·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数性质，分别求出和时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当时，，当，， 所以， 当时，，单调递增， 所以，即， 综上，的值域为. 故选：C 例9.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调性求出在上的函数值集合，由已知可得在上的值域包含，再利用导数探讨函数在上的函数值集合即可求出范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为R，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 故选：A 变式突破： 1.下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个选项的函数特征，求出其值域即可判断得解. 【详解】对于A，，显然取尽正实数，因此的值域是，A不是； 对于B，，则，即，函数的值域为，B不是； 对于C，的值域为R，因此的值域为，C是； 对于D，由于，则且，即函数的值域为，D不是. 故选：C 2.函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 3.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由可得， 当时，故，当且仅当时等号成立， 而恒成立，故， 故的值域为， 故选：C 4.函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 5.已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 【答案】D 【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断. 【详解】画出的图象如图所示： 由图可知：，， 根据选项可知：当的定义域为，值域为时， 的可能值为，，，所以D错误. 故选：D. 6.（25-26高一上·四川绵阳·月考）对于任意实数，定义为不超过的最大整数，例如：，，.则函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围求出的范围，再分、、三种情况，分别求出的值，即可得解. 【详解】因为，， 因为，所以， 当，即时； 当，即时； 当，即时； 所以，即函数，的值域为. 故选：A 7.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，若的值域为，则实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，由函数最小值为2可得，再按结合的取值情况求解即得. 【详解】函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意，，即，又，则有， 当时，函数在上的取值集合为，在 上 ，不符合题意， 于是，函数在上单调递增，则， 有，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型四 函数的解析式 方法点拨： 求函数解析式的6大通用方法： 1.待定系数法（已知函数类型） 核心逻辑：若已知函数是一次函数、二次函数、反比例函数等基本类型，设出含待定系数的解析式，代入已知条件求解系数。 2.换元法（抽象函数含复合表达式） 核心逻辑：对于形如的抽象函数，设，反解代入 ，得到的表达式，再替换为。 3.配凑法（换元法的“简化版”） 核心逻辑：将 的解析式直接配凑成关于 的表达式，从而得到 。 4.消元法（已知多个抽象函数方程） 核心逻辑：当已知关于 和 、 和  等对称关系的方程时，联立方程消去未知函数。 5.赋值法（抽象函数含恒等式或奇偶性） 核心逻辑：对于满足特定恒等式（如）或奇偶性、周期性的抽象函数，通过赋予自变量特殊值（如）求出解析式。 6.图像法（已知函数图像或变换关系） 核心逻辑：根据函数图像的平移、对称、伸缩变换规律，由已知图像的解析式推出目标函数解析式。 例题解析： 例1.（25-26高一上·陕西·期末）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 例2.（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过换元求得函数解析式，进而可求解. 【详解】令，则， 所以， 所以， ， 所以， 故答案为： 例3.（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 例4.（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 例5.（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数满足，则的解析式为 ． 【答案】. 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为， 所以，所以， 则的解析式为. 故答案为：. 例6.（25-26高一上·辽宁大连·期中）若，且，则 ． 【答案】 【分析】令，利用换元法求解. 【详解】令，则， 因为， 所以， 故. 故答案为：. 例7.（2025高三上·全国·专题练习）已知函数具有下列性质：①，，；②，，当时，，则函数可能的一个解析式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的运算性质，求解函数解析式； 【详解】由②可知为上的递减函数，且满足①， 故的一个解析式为． 变式突破： 1.（25-26高一上·天津静海·月考）已知是一次函数，且，，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 2.（25-26高一上·天津南开·月考）若函数，则 ． 【答案】 【分析】令求出，即可得对应的函数值. 【详解】令，可得，所以. 故答案为： 3.（25-26高三上·河北衡水·月考）已知函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用换元法得出解析式，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为函数， 设，则， 所以 可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选:B. 4.（25-26高一上·湖南永州·期中）已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方差公式以及换元法可求出函数的解析式. 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故. 故选：C. 5.（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是 . 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 6.（25-26高一上·河南郑州·期中）已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 7.（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 【答案】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 8.（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 题型五 函数的图像 方法点拨： 函数图象的识别： 1. 特殊值法 2. 奇偶性（图像对称） 3. 极限思想 4. 单调性 例题解析： 例1.函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 例2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据扇形的特点结合路程关系进行判断即可. 【详解】小明沿走时，与点的直线距离保持不变， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越小， 沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意. 故选：D 例3.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像的定义域、奇偶性进行判断即可. 【详解】由图像可知函数为奇函数，而选项B的函数很显然是偶函数，所以B错误； 而选项A中，，所以A错误； 图像显示该函数的定义域为，而选项C中，所以C错误； 故选：D. 例4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位，向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，向下平移2个单位 【答案】B 【分析】根据函数图象平移规律求解. 【详解】根据题意，将函数的图象向左平移1个单位，得， 再向下平移2个单位，得. 故选：B 例5.若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域求出新函数定义域判断B,D;取特殊值判断C,根据函数平移伸缩变换判断A. 【详解】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D； 对于C，当时，，不满足图2，故C错误； 将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图， 最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2. 故选:A. 例6.若是定义在上的偶函数，当时，.    (1)求函数的解析式； (2)画函数的图象； (3)若关于的方程有2个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)图象见解析. (3)或 【分析】（1）求出当时对应的函数解析式，结合是定义在上的偶函数以分段函数形式写出解析式即可. （2）结合二次函数对称轴及偶函数性质作图即可. （3）将方程有2个不同的实数解转化为函数图象交点问题，观察图象即可得到范围. 【详解】（1）当时，，所以， 又是定义在上的偶函数，所以当时，， 综上，函数的解析式为. （2）当时，，此时单调增区间为，单调减区间为； 当时，，此时单调增区间为，单调减区间为. 函数的图象如下：    （3）若有2个不同的实数解，即函数与直线有2个交点， 所以由（2）中图象可知，实数m的取值范围为或. 变式突破： 1.函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除B、D； 当时，，，所以，故排除C. 故选：A 2.函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】明确分段函数的解析式，结合函数的单调性和特殊点的函数值，利用排除法排除错误选项即可. 【详解】由函数， 当时，根据函数与函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，故排除BC； 当时， ，故排除A，则D正确. 故选：D 3.海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目的描述分段分析位移s随时间t的变化趋势即可. 【详解】小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会， 所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可排除B， 之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进， 所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC． 故选：D． 4.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数图像，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，故排除A； 对于B，函数的定义域为，故排除B； 对于D，恒成立，当且仅当时等号成立，故排除D. 故选：C. 5.函数的大致图像如图，则其解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要解决这个问题，我们需要根据函数图像的特征，逐一分析每个选项中的函数，看是否符合图像特点. 【详解】由已知函数的图象知：函数的定义域为，且函数值恒大于等于零， 对于A选项，的图象是两条射线， 与已知图象不符，故不正确. 对于B选项,的定义域为，与已知图象不符，故不正确. 对于C选项,当时,是一个单调递增的曲线，当时,是一个单调递减的曲线，整体图象关于对称，且在处平滑连接,与已知图象相符，故正确. 对于D选项,当时，，增长速度较快，当时，，下降速度也较快，与已知图象不符，故不正确. 故选：C 6.已知曲线，，则（   ） A．把向上平行移动1个单位长度，得到曲线 B．把向左平行移动1个单位长度，得到曲线 C．把向右平行移动1个单位长度，得到曲线 D．把上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变），得到曲线 【答案】BD 【分析】利用函数图象变换规律逐项判断即可. 【详解】对于A，把曲线向上平行移动1个单位长度得到曲线， 不为曲线，故A错误； 对于B，把曲线向左平行移动1个单位长度得到曲线，为曲线，故B正确； 对于C，把曲线向右平行移动1个单位长度得到曲线， 不为曲线，故C错误； 对于D，把曲线上各点的纵坐标变成原来的2倍（横坐标不变）， 得到曲线，为曲线，故D正确. 故选：BD. 7.已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)答案见解析，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 易错点 1. 忽略“复合型”定义域的多层限制 2. 换元法中新元范围的“隐形丢失” 学科网（北京）股份有限公司 $