第6章 第1节 圆的相关概念与性质-【众相原创·赋能中考】2026年中考数学课堂精讲册（河北专用）

I∠ABN=∠CDM, 在△ABN和△CDM中 AB=CD. N∠BAN=∠DCM. ∴.△ABN≌△CDM(ASA),.AN=CM,∠ANB=∠CMD. ∴.∠ANM=∠CMN,.AN∥CM, .四边形AWCM为平行四边形 判定依据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.145.甲、丙 第三节矩形 ①平行且相等②直角③相等④2⑤两对角线的交点 ⑥AB·BC⑦直角⑧直角⑨相等 1(1)50:50:80:(2)①10：5：②28；48：312：④24 2.53.C 4.选择①②均可，证明略. 5.(1)全等：①△BAC≌△EAC:②∠BAC=∠EAC,∠BCA= ∠ECA,∠B=∠E:③AB=AE,CB=CE: (2)等腰：(3)(4)①14：2以点C为圆心，BC长为半 径的圆弧：2√4T-10:(5)菱；12+25 第四节菱形 ①相等②相等③垂直平分④平分⑤2 ⑥两对角线的交点⑦24C,BD⑧邻边⑨相等 ①垂直①垂直平分 1(00,(2y05:20:24:@号4③70号 5 2.C 3.(1)AD=BC.理由略.(2)证明略. 4.（1)∠BAD的平分线和∠ABC的平分线：AF=AB,BE= AB:BD的垂直平分线. (2)4.证明略. (3)答案不唯一，以下两种作法均可 第五节正方形 ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥45° ⑦45°⑧4⑨两对角线的交点⑩1：2①相等 2直角3相等④直角⑤垂直6相等⑦AC=BD 8AC⊥BD 1.(1)90:45:(2)67.5:22.5: (3)①8√2：42：②32：16：③4√2 2.证明略 3.A 4.(1)证明略.(2)80：(3)90；(4)不可能 5()A:(2)正方形：22；76.2-月 7(1)全等：相等：(2)：(3)：(43，(5)4 8 第六章圆 第一节圆的相关概念与性质 ①圆心②半径③圆心④BD⑤2⑥优弧⑦劣弧 ⑧圆心⑨圆上⑩圆心①圆心②平分B平分 ④垂直5平分6BM⑦1⑧一半9相等②①直角 ①直径②ADC8号2490雪互补函180° 1.D2.乙 3.(1)①A.②证明略.(2)C 4.(1)B:(2)①4：3：2：8：②32：(3)535.8 6.(1)90°；64°；64°；(2)64°：32°7.2 8情况-解答过程：∠ACB=2∠A0B=30 情况二解答过程：如解图，在弦AB所对的优弧上取一点 1 C,连接AC,BC,则∠ACB=2∠40B=30°，∠ACB= 180°-∠AC'B=150° 30°或150° C B 9解答过程略.万-或+！ 2 2 10.情况一解答过程：连接0C,则0D=√0C2-CD=1, ..AD=0A-OD=1...AC=VAD+CD=2. 情况二解答过程：连接0C,则0D=√OC2-CD=1, ..AD=0A+OD=3,..AC=AD+CD*=23. 2或2√3 第二节与圆有关的位置关系 ①<②=③<④相切⑤=⑥1⑦>⑧垂直 ⑨半径0一个①垂直2半径B一个④PB 5∠BW了角平分国10B 2①0E ①0F(①@的答案可调换)2垂直平分32 40B50C(②④5的答案可调换) 1(1)圆上；圆外；圆内；相交：(2)相切：相离 2.(1)4:(2)2:(3)2或4 3.证明：(1)连接0C,如解图1. OA=0B,C为AB的中点，.0C⊥AB. 又：0C是⊙0的半径， .直线AB是⊙0的切线. 0 B D 解图1 解图2 (2)过点O作OD⊥AB于点D,如解图2.第六章圆 第一节 圆的相关概念与性质 一阶教材知识全梳理 9对接教材人教：九上第二十四章P79~P91:冀教：九上第二十八章P145~P166,P172~P176;北师：九下第 三章P65~P88,P97~P99. 知识点1)圆的相关慨念与基本性质 1.相关概念 (1)如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一 个端点A所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作① 线段 圆 OA叫作② (2)圆心为0、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如图中的线段CD,BD 弦 经过③ 的弦叫作直径，如图中的线段④ 【技巧点拨】直径是一个圆中最长的弦；直径等于半径的⑤ 倍 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 条弧都叫作半圆.如图中的半圆BD 圆上任意两点 大于半圆的弧叫作⑥ (用三个点表示)， 弧 间的部分叫作 如图中ABD D 圆弧，简称弧 小于半圆的弧叫作⑦ 如图中CD 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫作等弧（注意： 长度相等的孤不一定是等孤) 圆心角 顶点在⑧ 的角叫作圆心角，如图中∠AOB,∠AOD 顶点在⑨ 并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，如图 圆周角 中∠BDC 2.基本性质 圆是轴对称图形，过⑩ 的每一条直线都是它的对称轴： 对称性 圆也是中心对称图形，① 是它的对称中心 旋转不变性 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合 3.圆的确定 (1)由圆心和半径可以确定一个圆： (2)不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆. 102 知识点②弧、弦、圆心角之间的关系 内容 数学表达 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 如图，在同圆或等圆中，有以下三个结论： 定理 弧相等，所对的弦也相等 (1)圆心角相等： ∠AOB=∠A'OB'; 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么 推论1 它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 (2)弧相等：AB=A'B; (3)弦相等：AB=A'B' 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么 推论2 只要满足其中一个，另外两个一定成立，即“知 它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 求二” 知识点③垂径定理及其推论(2022年版课标调整为考查内容)（重点） 内容 数学表达 垂直于弦的直径② 弦， 如图，有以下五个结论： 定理 并且B 弦所对的两条弧 (1)AD=BD:(2)AC=BC; (3)AM=⑥ 平分弦（不是直径）的直径④ (4)AB⑦ CD; M B 推论 于弦，并且⑤ 弦所对的 (5)CD是⊙0的直径 D 两条弧 只要满足其中两个，另外三个一定成立，即“知二求三” 【技巧点拨】(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形， 利用勾股定理求解如图1，+（号）2=r； (2)如图2，AB是⊙0的弦，C是圆上的动点，则当点C在优孤AB上，且C0⊥AB时，SABc取得最 大值 图 图2 知识点4)圆周角定理及其推论（重点） 内容 示例 条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 定理 如图，AB是⊙O的直 8 径，C,D在⊙0上，则： 推论1 同弧或等弧所对的圆周角⑨ ∠ABC=∠②② 半圆（或直径）所对的圆周角是0 =38 ∠AOC, 推论2 90的圆周角所对的弦是④ ∠ACB=④ 103 知识点⑤圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆内接多 概念 边形，这个圆叫作多边形的外接圆 (1)圆内接四边形的对角巧 (如图，∠ABC+∠ADC=②6 性质 (2)圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角（如图」 ∠DCE=∠BAD) 【知识拓展】连接圆内接四边形的对角线，则必然存在两组相似三角形，如图， △ABF∽△DCF,△ADF∽△BCF 二阶母题变式练考点 教材·真题·课标 考点1圆的相关概念与基本性质(2022.24,2021.16) 1.嘉嘉在半径为5cm的⊙O中测量弦AB的长度，则下列测量结果中一定错误的是() A.4cm B.5 cm C.8 cm D.11 cm 2.(冀教九上P148T2变式)嘉淇利用含45°角和30°角的一副直角三角板分别拼成如图所示 的图形，则 图中四点共圆.（填“甲”“乙”或“甲和乙”） 考点2弧、弦、圆心角之间的关系 3.(人教九上P84思考变式)如图，AB,CD是⊙0的两条弦 (1)若AB=CD ①连接OA,OB,OC,OD,下列结论不一定成立的是 0 A.OA=OB=AB B.∠AOB=∠COD C.AB=CD D.点O到AB,CD的距离相等 ②连接BC,AD,求证：BC=AD, (2)若AB=2CD,则弦AB与弦CD的大小关系是 A.AB>2CD B.AB=2CD C.AB<2CD D.AB=CD 【特别提醒】(1)在运用圆的相关定理、推论时，一定要有“同圆或等圆”的前提.若给出等孤， 则确定是在同圆或等圆中，而等弦和长度相等的孤不一定是在同圆或等圆中；(2)在同圆或 等圆中，若AB=2AB,则∠AOB=2∠A'OB'成立，但AB=2A'B'不成立. +十十十十十十十+++十+十十+十++++十十+十+++十+++++++++++++ 104 考点3垂径定理及其推论（必考） 4.如图，CD是⊙O的直径，且CD=10,AB是弦且不是直径，CD⊥AB于点E. (1)下列结论不一定正确的是 (） A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.AD=BD (2)若AB=8. ①AE= ,0E= ED= CE= ②若F是⊙O上的动点（不与，点A,B重合），则△ABF面积的最大值为 (3)若劣弧AB沿AB所在直线向上翻折，恰好经过圆心O,则AB= 5.(人教九上P83T1变式)如图，AB为⊙0的弦，半径OC交AB于点D,AD=DB,OC=5, OD=3,则AB的长为 B 考点4圆周角定理及其推论(10年4考；2025.21) 6.如图，AB为⊙0的直径，C,D是⊙0上的两点，∠BAC=26 (1)∠BCA的度数为 ,∠B的度数为 ,∠ADC的度数为 (2)若OD∥BC,则∠DOB的度数为 ,∠DAB的度数为 考点5圆内接四边形(2020.14) 7.（冀教九上P174T5变式)如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为 (0,2),M为第三象限内OB上一点，∠BM0=120°，则⊙C的半径为 B 0 M 105 三阶分层设问攻重难 重难点2025年河北21题考法一圆的性质中的分类讨论 类型1求弦所对的圆周角度数，但该角的顶点的位置不确定时，需分类讨论 8.在⊙0中，弦AB所对的圆心角∠AOB=60°，C是⊙0上异于A,B的点，求∠ACB的度数， 情况一：圆周角顶点在弦所对的优弧上 情况二：圆周角顶点在弦所对的劣弧上 解答过程： 解答过程： 综上所述，∠ACB的度数为 类型2已知两弦，但两弦的位置不确定时，需分类讨论 9.已知⊙0的半径为1，AB,CD是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=√3，CD=√2.求弦AB和弦CD 之间的距离. 情况一：两条弦位于圆心的同侧 情况二：两条弦位于圆心的异侧 解答过程： 解答过程： 综上所述，弦AB和弦CD之间的距离为 类型3点到弦的距离确定，但位置不确定时，需分类讨论 10.已知⊙O的半径为2，圆上一点C到直径AB的距离CD为3，连接AC,求AC的长. 情况一：A,C两点在圆心的同侧 情况二：A,C两点在圆心的异侧 解答过程： 解答过程： 综上所述，AC的长为 温馨提示 请完成分层练习册P89~P91习题 106