江苏省南通市如皋市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷（人教版）

2025~2026学年度第一学期如皋市九年级第三次质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回， 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用05毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置， 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.抛物线y=(x-2)2+1的顶点坐标为（▲） A.（-2,1) B.(-2,-1) C.(2,1) D.(1,-2) 2.函数y=的图像经过点(-2，-4)，则下列点中不在此函数图像上的是（▲） A.(4,2) B.(1,8) C.(2,-4) D.(-1,-8) 3.已知△ABC一△DEF,相似比为号，若AB=6,则DE的长为（▲） A.4 B.9 C.12 D.18 4.在平面直角坐标系x0y中，以原点0为位似中心，把△AB0缩小为原来的号，得到CD0,则点A(-4,2) 的对应点C的坐标是（▲） A.(-2,1)或(2，-1)B.（-2,1) C.(-8,4) D.(-8,4或(8，-4 5.如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO的延长线交⊙O于点B,连接AB.若∠P=26°，则∠B的度数为（▲） A.64° B.52 C.42 D.32 A E D 地面 B 第5题 第7题 第8题 第9题 6.若点AK1,-1),BK2,-2),C(飞3,3)都在反比例函数y=2+的图象上，则x1,X2,X3的大小关系是（▲） A.x1>x2 >X3 B.x1>x3>X2 C.x3<X1<x2 D.x1<x2<x3 第1页，共6页 7.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且 拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（▲） A.100sin65 B.100c0s65° C.100tan65° D.100 sin65 8.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实 际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问 勾中容方几何.”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的 边长为（▲） A B号 C. D 9.如图，直线l1/几2，直线m分别交l1、L2于点A、B,以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m 同侧的点C、D,∠ADB=35°，AB=9,则CD的长等于（▲） A.5π B.4n c 00 1O.如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP,CP,将线段CP绕点P顺 时针旋转90°后得到线段PQ,连接AQ.若AB=1,则△APQ的最大面积是（▲） A月 B.23 C21 D.241 2 2 4 VA A G D P B B B{------- B 第10题 第12题 第15题 第16题 二、 填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共20分.不需写出解答过程， 请把最终绮果直接填写在答题卡相应位置上) 11.已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,则tanB=▲ 12.如图，AB是⊙0的直径，C,D,E在⊙0上，若∠C=125°，则LE=▲. 13.已知圆锥的侧面积为10πcm2,底面圆的半径为2cm,则该圆锥的母线长为▲cm. 14.已知：点P(m,D在直线y=-x+2上，也在双曲线y=-上，则m2+n2的值为▲一。 15.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tanzAOC-子且点A落在反比例函数y=3上，点B 落在反比例函数y=(k≠0)上，则k=▲ 第2页，共6页 16.如图，正方形ABCD中，M、N分别是AD、BC边上的点，将四边形ABNM沿直线MN翻折，使得点A、B 分别落在点A′、B'处，且点B'恰好为线段CD的中点，A'B'交AD于点G,作DP1MN于点P,交A'B 于点Q.若AG=4,则正方形ABCD的边长是▲一·PM的长=_▲ 三，解答题（本大题共8小题，共100分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 混或演算步骤) 17.本小题10分) (1)计算sin245°+2cos30°-tan60°； (2)如图，AB/CD,AD,BC相交于点E.若AE=2,DE=4,BE=2.5,求CE的长. B ▲▲▲ ▲▲▲ D 18.(本小题10分) 已知二次函数y=Qx2+bx+c的图象如图所示，顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于 VA C(-1,0)和D两点. (1)求此抛物线的解析式： (2)结合图象填空： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解是： ②不等式ax2+bx+c≤0的解集为. ▲▲▲ ▲▲▲ 19.(本小题10分) 求证：圆内接平行四边形是矩形， 下面己经画出了图形，并写出了己知和求证，请将该命题的证明过程补充完整， 已知：如图，口ABCD内接于⊙O. B 求证：口ABCD是矩形. 证明： ▲▲▲ ▲▲ 第3页，共6页 20.(本小题12分) 如图，一次函数y=-x+5的图象与函数y=(n>0,x>0)的图象交于点A(4和点B. (1)求n的值： (2)若x>0,根据图象直接写出当-x+5>时x的取值范围； (3)点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交函数y=的图象于点Q,若△P0Q的面积为1，求点P的坐标. 0 ▲▲▲ ▲▲▲ 21.(本小题10分) 如图，四边形ABCD内接于⊙O,E为CD延长线上一点，AE/BD· (1)若LACB=Qa,试用含a的式子表示LDAE; (2)若AE是⊙O的切线，AD=5,BD=8,求⊙O的半径. ▲▲△ ▲▲▲ 22.(本小题10分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AE L CD,垂足为F. (1)求证：△CAE∽△CBA; (2)若CD=4,AE=6,求线段AC的长度. E B ▲▲▲ ▲▲△ 第4页，共6页 23.(本小题12分) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点A的直线与⊙O相切于点A,在直线l上取一点D,使 得∠DAC=∠DCA. (1)求证：直线DE是⊙O的切线： (2)若CE=4W3,BE=4,求图中阴影部分的面积（结果保留π）， B 24(本小题13分) 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安 排通道数之间的关系， 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-己入场人数： 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人： 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式： y=-x2+60x+100(0≤x≤30). 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，己入场人数为，排队人数w与安检时间x的函数关系 式为 【模型应用】 (2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少： ②尽量少安排安检通道，以节省开支 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 第5页，共6页 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化 等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性. 黑点表示观众 00 安检口。O0O0 O 礬 00 安检口000O0 0 0 安检口000O0 0 0 0 通道未开放 ▲▲△ ▲▲▲ 25.(本小题13分) 如图（①），平面直角坐标系x0y中，已知点A(43),反比例函数y=(k>0)的图象分别交矩形AB0C的两边4C, AB于E、F两点(E、F不与A重合)，沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合. (1)AE= (用含有k的代数式表示)： (2)如图(2)，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时. ①证明：EF/BC ②计算：CE的长度 (3)若折叠后，连接AD,△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标. B 图(1) 图(2) 第6页，共6页 答案与解析 1.【答案】  【解析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标是． 由抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等．由反比例函数图象上点的坐标特点找到横纵坐标的积不等于的点即可． 【解答】 解：函数的图象经过点， ． A、，在反比例函数图象上，不符合题意； B、，在反比例函数图象上，不符合题意； C、，不在反比例函数图象上，符合题意； D、，在反比例函数图象上，不符合题意． 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：，相似比为，， ，， 解得， 经检验，符合题意， 故选：． 4.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或以原点为位似中心，把缩小为原来的，即位似比是，根据位似的性质即可求解． 【解答】 解：根据题意得，位似比是，且位似比是的三角形有两个，， 乘以得，；乘以得，， 故选：A． 5.【答案】  【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，先根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的切线， ， 又， ， ， 故选：． 6.【答案】D 【解析】先根据反比例函数的性质得到反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ，，， 点、在第三象限，点在第一象限， ， 故选D． 7.【答案】  【解析】解：如图，过点作于， 在中，， 则米， 故选：． 过点作于，根据正弦的定义解答即可． 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】D 【解析】解：连接，如图所示： 由条件可知， 根据作图可知：， ，， ， 由条件可知， 的长为． 故选：D． 连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，过点作于点，过点作交延长线于点，连接交弧于点， 则， 又， ， ， 由旋转得， ≌， ， ， ， ， 即当点在时，的值最大为长， 四边形是正方形， ， ， 的值最大为， 的最大面积是， 故选：． 过点作于点，过点作交延长线于点，连接交弧于点，则可得到≌，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：中，， ． 故答案为：． 直接利用正切的定义求解． 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切的定义是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】本题考查了圆内接四边形，直径所对圆周角是直角，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，求出，根据圆周角定理得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是的直径， ， ， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】 解：设圆锥的母线长为， 圆锥的底面周长， 则， 解得， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，利用整体代入法求代数式的值，正确得出，之间关系是解题关键． 直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出以及的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案． 【解答】 解：点在直线上， ， 点在双曲线上， ， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ， ， 设，则， 点， 点在反比例函数上， ， 负值已舍，则点， ，， ， 四边形为菱形， ，， 点， 点落在反比例函数上， ， 故答案为：． 16.【答案】   【解析】设，，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，得出，，根据，得出，求出，设，根据勾股定理得出，求出，求出，连接，延长交于，证明四边形是平行四边形，得出，，根据，即可求出结果． 【详解】解：四边形是正方形，设， ， 由翻折可知，，设， 点恰好为线段的中点， ， 在中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，即 ，， ， ， ， ，，，， 设， 在中，则有，即， 解得， ， 连接，延长交于，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ． 故答案为：；． 17.【答案】解：原式 ； ， ， ， ．  【解析】根据特殊角的三角函数值求解即可； 根据平行线分线段成比例定理求解即可． 本题考查特殊角的三角函数值，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 18.【答案】【小题】 解：由图象可知抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于点， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小题】   或   【解析】  本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 由图象可知抛物线顶点为，故设抛物线解析式为，代入点即可求得的值；   根据抛物线的对称性求得点，的对称点，然后根据图象即可求得． 解：抛物线对称轴为直线， 关于直线的对称点是， 关于的一元二次方程的解是； 故答案为：； 抛物线对称轴为直线， 的对称点是， 不等式的解集为或， 故答案为：或． 19.【答案】证明：四边形是平行四边形， ， 四边形内接于， ， ， 四边形是矩形．   【解析】本题考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质得到，由四边形内接于，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 20.【答案】【小题】 解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得； 【小题】 解：由得， 联立一次函数和反比例函数，得 解得， 故， 由图像可知，的取值范围为； 【小题】 解：设，且，交轴于点，如图； ， ， ， 解得， 点的坐标为或．      【解析】  本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解将点代入一次函数，求出的值，得点的坐标，把点的坐标代入反比例函数即可得到答案；   求出点的坐标，由函数的图像即可得到取值范围；   设，根据三角形的面积公式即可得到答案． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题。 21.【答案】【小题】 ， ． ． ． 【小题】 连接，，交于点． 是的切线， ，即 ． ， ． ． 在中，，，则由勾股定理得． 设的半径为，则 ． 在中，由勾股定理得， ． 即 ． 解得 ． 的半径 ．   【解析】  根据平行线的性质可得，由同弧所对的圆周角相等可得，等量代换即可求解．   连接，，交于点根据勾股定理求得，设的半径为，则 ，根据在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． 22.【答案】证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽；  ．  【解析】证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽； 解：∽， ， 中，是斜边的中线，， ， 又， ， 设，则， 在 中，， ， 即． ， ． 先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明∽； 由∽可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出的值即可解决问题． 本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 23.【答案】【小题】 证明：如图，连接，    ， ， 又， ， ， 直线与相切于点， ， ， 点在上，是的半径， 直线是的切线． 【小题】 解：设半径，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， 故图中阴影部分的面积为：．   【解析】  本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定的知识，正确作出辅助线是解题的关键．连接，由得，结合依据题干有，又因为直线与相切于点，点在上，是的半径则有所求结论．   本题主要考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确作出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键．利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径，根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积． 24.【答案】，；   排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人；   最少开条通道．理由见解析．  【解析】若开设条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为用表示，若排队人数为，则与的函数表达式为； 故答案为：，； ， 当时，； 答：排队人数在第分钟达到最大值，最大人数为人； 设开了条通道， 则：， 对称轴为， 排队人数分钟包括分钟内减少， ，即：， 又最多开通条， ， 为正整数， 最小值为， 最少开条通道． 根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为用表示，与的函数表达式为； 根据二次函数的性质可得出结论； 运用二次函数的性质解答即可． 本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． 25.【答案】【小题】 【小题】 证明：， ， ， 点在上， ， ， ， 又， ， ， ． ， ， 根据折叠可得， ， ， ． 【小题】 解：连接交于，过点作于， 由折叠的性质得， 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 当时，如图， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 当时， ， ， ，即， ， 此时三点共线且点与点重合，不符合题意，舍去， ， 综上所述，所求点坐标为或．   【解析】  根据点的坐标可得点的纵坐标为，则，可得，从而得的长； 【详解】解：四边形是矩形，且， ， 点在反比例函数上，点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：；   求出，证明，推出；利用平行线的性质和等腰三角形的判定和性质证明即可；   连接交于，过点作于，由折叠的性质得，分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别计算和的长确定点的坐标即可解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 第三次月考试卷 考场/座位号： 准考证号 姓名： 班级： [o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 1] [1] [1] [1] [1] 1 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] ▣▣ [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] 4] [4] 问银 [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] t [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [ 正确填涂■ 缺考标记☐ [8] [8] [8] [8l [8l c [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题 I[A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 11 12 13 14 15 16. 主观题 17.(1)计算sin245°+2cos30°-tan60° (2) A 公 D 囚囚■ 18. 4 3 B 1 19. B Q 囚囚■ ■ 20. A 0 B 21. A D ■ ■ 22. F 1 C E I I 23. l D 0 B E I 1 ■ 囚■囚 24.(1) (2) (3) 囚■囚 ■ 口 e 2025～2026学年度第一学期江苏省如皋市九年级数学 第三次质量监测试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1.抛物线的顶点坐标为(  ▲   ) A. B. C. D. 2.函数的图像经过点，则下列点中不在此函数图像上的是(  ▲   ) A. B. C. D. 3.已知，相似比为，若，则的长为(  ▲   ) A. B. C. D. 4.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是(  ▲   ) A. 或 B. C. D. 或 5.如图，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接若，则的度数为(   ▲  ) A. B. C. D. 第5题 第7题 第8题 第9题 6.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(   ▲  ) A. B. C. D. 7.“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长米且拉线与地面夹角为如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计，则风筝离地面的高度可以表示为(▲ ) A. B. C. D. 8.九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和，则它的内接正方形的边长为(  ▲   ) A. B. C. D. 9.如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的点、，，，则的长等于(   ▲  ) A. B. C. D. 10.如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接若，则的最大面积是(  ▲   ) A. B. C. D. 第10题 第12题 第15题 第16题 2、 填空题（本大题共6小题，11～12每小题3分，13～18每小题4分，共20分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11.已知中，，，，则    ▲     ． 12.如图，是的直径，在上，若，则     ▲      ． 13.已知圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的母线长为    ▲       14.已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为___▲___。 15.如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则   ▲        ． 16.如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点若，则正方形的边长是      ▲      ．的长       ▲      ． 三．解答题（本大题共8小题，共100分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.本小题分 计算； 如图，，，相交于点若，，，求的长． ▲▲▲ ▲▲▲ 18.本小题10分 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于和两点． 求此抛物线的解析式； 结合图象填空： 关于的一元二次方程的解是          ； 不等式的解集为          ． ▲▲▲ ▲▲▲ 19.本小题分 求证：圆内接平行四边形是矩形． 下面已经画出了图形，并写出了已知和求证，请将该命题的证明过程补充完整． 已知：如图，内接于． 求证：是矩形． 证明： ▲▲▲ ▲▲▲ 20.本小题2分 如图，一次函数的图象与函数的图象交于点和点． 求的值； 若，根据图象直接写出当时的取值范围； 点在线段上，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为，求点的坐标． ▲▲▲ ▲▲▲ 21.本小题分 如图，四边形内接于，为延长线上一点， ． 若，试用含的式子表示； 若是的切线，，，求的半径． ▲▲▲ ▲▲▲ 22.本小题10分 如图，在中，，是中线，，垂足为． 求证：∽； 若，，求线段的长度． ▲▲▲ ▲▲▲ 23.本小题12分 如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得． 求证：直线是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积结果保留 ▲▲▲ ▲▲▲ 24.本小题分 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件：若该演出场地最多可开放条安检通道，平均每条通道每分钟可安检人． 【模型构建】若该演出前分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： 当开通条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为______，排队人数与安检时间的函数关系式为______． 【模型应用】 在的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ 已知该演出主办方要求： 排队人数在安检开始分钟内包含分钟减少； 尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量如突发情况、安检流程优化等进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． ▲▲▲ ▲▲▲ 25.本小题分 如图，平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点、不与重合，沿着将矩形折叠使、两点重合．           用含有的代数式表示； 如图，当点恰好落在矩形的对角线上时． 证明：   计算：的长度 若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． ▲▲▲ ▲▲▲ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $