计数原理课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习课时作业：计数原理 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1,从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有() A.12种 B.18种 C.20种 D.21种 2x-- 的展开式中x的系数为() 1 A.-80 B.-40 C.40 D.80 信号源 3.如图中有一个信号源和五个接收器接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到 ⊙ 信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的 六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五 个接收器能同时接收到信号的概率是() 4希 B元 4.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定 的直线与含有四个顶点的平面构成的正交线面对”的个数是() A.48 B.18 C.24 D.36 5.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名 学生来自不同年级的概率为() B号 C. D. 2 6.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活 动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有() A.120 B.60 C.30 D.20 7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有() A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 8.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两 层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(). A.C40C2种 B.C00·C0种 C.C0oC0种 D.C40o·C20种 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 、1）314 9.已知r-二 的展开式中各项的系数之和为0，则() A.a=1 B.二项式系数的和为1314 C.展开式中每一项x的指数都是偶数D.展开式中不存在常数项 10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是() A.共有60种不同的坐法 B.空位不相邻的坐法有32种 C.空位相邻的坐法有24种 D.两端不是空位的坐法有12种 11.用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有() A.一共可以组成96个数 B.一共可以组成120个数 C.一共可以组成偶数60个 D.一共可以组成72个大于2000的数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种.13.将甲，乙， 丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A 家庭的不同安排方法数有■ 种 14.a1、42、4、a4、4是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的i∈{2,3,4}，4-1和41中至少有一个大于4， 则满足要求的排列的总数为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出(2≤m≤19)件 进行检验，假设每箱产品中均恰有2件不合格品， (1)若=2，求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值. 16.(15分)甲、乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位 数作为“茎排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边. 甲队乙队 159 775541603556788 854322172 318 甲、乙两小组组员身高分布茎叶图 (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数： (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组 的平均身高都增大？ 17.（15分)小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1,2,3,4,5中的某个数字. (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率： (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5. 18.(17分)从A,B,C等7人中选出5人排成一排 (1)A,B,C三人不全在内，有多少种排法？ (2)A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C与A,B都不相邻，都多少种排法？ (3)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 19.（17分)2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校T的“强 基计划”入围资格.经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校T的强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高 考分数高于690分的学生分别有1名和2名.高校T的强基计划校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都 要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+,A,B三个等级，两科中至少有一科得到A, 且两科均不低于A,才能进入第二轮.己已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取 31 1 得A,4,B的概率分别为，日，8：总分不高于690分的同学在每科笔试中取得A,A,B的概率分别为 亏，15：进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A,则免面试，并被高校r提前录取：若两科笔试成绩只有一 31 个，则要参加面试。总分高于690分的同学面试通过的藏率为号，总分不高于690分的同学面试通过的概率 的同学也将被高校T提前录取、若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同 “强基计划”. (1)分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校T提前录取的概率； (2)从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效T的“强基计划'入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两 位同学都通过“强基计划被高校T提前录取的概率. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：计数原理 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．20种 D．21种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计算原理求解即可. 【详解】7名男运动员选1名组对有7种选法，3名女生选1名组对有3种选法，则不同的选法共有种． 故选：D. 2．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得，则所求系数为，故选：D 3．如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先将左端的六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五个接收器能同时接受到信号必须全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结果，再运用古典概型概率公式即可得出所求事件的概率. 【详解】 由题意，设右端连线方式如图，对于左端的六个连线点，将其随机地平均分成三组，共有种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，则1必须与3,4,5,6中的其中一个相接，接好后，2只有2种情况可选，剩下的接线点只有1种接法，所以共有种结果.同理，右端连线方式变化时，左端的接线方法也有15种，其中有8种可以接收到信号.故这五个接受器能同时接收到信号的概率是. 故选：D. 4．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答. 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）； 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有（个）.故选：D 5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，所以这2名学生来自不同年级的概率为.故选：D. 6．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B. 7．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种，故选：C. 8．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 【答案】AC 【分析】令可判断A；由二项式的系数和可判断B；利用展开式的通项可判断C；在通项中令可判断D. 【详解】对于，令，得，解得，故A正确； 二项式系数的和为，故B错误； 展开式的通项为，因为1314为偶数，所以展开式中每一项的指数都是偶数，故C正确； 令，得，所以展开式中存在常数项，故D错误. 故选：AC. 10．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【分析】对于A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；对于B，利用插空法；对于C，利用捆绑法；对于D，利用特殊元素优先法. 【详解】对于A，共有种不同的坐法，故A正确； 对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误； 对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误，故选：AC. 11．用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确．故选：ACD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有 种．（用数字表示答案） 【答案】 【分析】根据组合数及乘法原理计算求解. 【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种． 故答案为：. 13．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 【答案】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种.故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法.故答案为：. 14．、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为 . 【答案】 【分析】先判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数. 【详解】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件，综上所述，共有种排列满足条件， 故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，假设每箱产品中均恰有件不合格品． (1)若求检验一箱产品时恰好抽到件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到件不合格品的概率大于，求的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据超几何分布，求出事件概率. （2）根据超几何分布，写出事件概率，根据组合数的计算方法，求参数的值. 【详解】（1）根据超几何分布可知18件正品，2件次品，抽2件，恰好抽到件次品的概率. （2）18件正品，2件次品，抽件，至少抽到件不合格品的对立事件为抽出的全部为合格品，则至少抽到件不合格品的概率，即， 可得，化简得， 解得，约为，所以的最小值为6. 16．（15分）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173 厘米，乙组第60百分位数为厘米； (2)； (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组. 【分析】（1）直接利用百分位数计算公式即可； （2）根据组合公式和古典概率公式计算即可； （3）求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）. 【详解】（1）甲队：， 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米； 乙队：， 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为厘米． （2）记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件，. （3）， 要使两组平均身高都增大，则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组即可． 17．（15分）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字． (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率； (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率的乘法公式计算； （2）先计算最大数的概率，再结合即可证明. 【详解】（1）． （2）记为这五张卡片上最大的数字，则． 由， 由，所以这五张卡片上最大的数字最可能是5. 18．（17分）从等人中选出人排成一排. (1)三人不全在内，有多少种排法？ (2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 【答案】(1)1800 (2)144 (3)1560 【分析】（1）根据全排列，去掉在内的情况即可由排列和组合求解， （2）根据相邻和不相邻问题，利用捆绑法和插空法即可求解， （3）分四类情况即可求解. 【详解】（1）从7人中任选5人排列共有种不同排法，三人全在内有种不同排法， 由间接法可得三人不全在内共有种不同排法； （2）因A，B，C都在内，所以只需从余下4人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法， 由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法； （3）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法，共有种排法； 综上，共有1560种不同排法. 19．（17分）2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校的“强基计划”． (1)分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校提前录取的概率； (2)从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取的概率． 【答案】(1)总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率为；该生被高校提前录取的概率为 (2). 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式即可求得结果； （2）分别求出总分不高于690分和总分高于690分的学生被高校提前录取的概率，再分别求出甲班和乙班各随机抽取2名学生被高校提前录取的概率，从而利用互斥事件概率公式即可求得结果. 【详解】（1）总分高于690分的某位学生进入第二轮,记为事件A， 所以， 总分高于690分的某位学生被高校提前录取，记为事件B， 所以. （2）总分不高于690分的某位学生被高校提前录取，记为事件C， 所以， 从甲班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取，记为事件E， ， 从乙班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取，记为事件F， ， 故所求概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学一轮复习 课时作业：计数原理 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．20种 D．21种 2．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 3．如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　） A．48 B．18 C．24 D．36 5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 7．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 8．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 10．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（   ） A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有32种 C．空位相邻的坐法有24种 D．两端不是空位的坐法有12种 11．用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有 种．13．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 14．、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出件进行检验，假设每箱产品中均恰有件不合格品． (1)若求检验一箱产品时恰好抽到件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到件不合格品的概率大于，求的最小值. 16．（15分）甲、乙是两个体育社团的小组．如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边．    (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率； (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组．是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组的平均身高都增大？ 17．（15分）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字． (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率； (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5． 18．（17分）从等人中选出人排成一排. (1)三人不全在内，有多少种排法？ (2)都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？ (3)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 19．（17分）2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校的“强基计划”入围资格，而且甲班和乙班高考分数高于690分的学生分别有1名和2名．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，三个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；总分不高于690分的同学在每科笔试中取得，，的概率分别为，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不高于690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若甲、乙两个班本次高考总分不低于680的同学都报考了高校的“强基计划”． (1)分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校提前录取的概率； (2)从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两位同学都通过“强基计划”被高校提前录取的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：计数原理 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.从7名男运动员和3名女运动员中选出2人组队参加乒乓球混合双打比赛，则不同的选法共有() A.12种 B.18种 C.20种 D.21种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计算原理求解即可 【详解】7名男运动员选1名组对有7种选法，3名女生选1名组对有3种选法，则不同的选法共有7×3=21种 故选：D 1 2x- 的展开式中x的系数为() A.-80 B.-40 C.40 D.80 【答案】D 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于 2x:由=项展开式的通项得工-C2)广(-y-2cx”, 令5-2r=1解得r=2,则所求系数为(-1)2.22.C=80,故选：D 3.如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收 到信号若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六 组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是() 信号源 4 1 4 8 A. B. D. 45 36 C.5 15 【答案】D 【分析】 先将左端的六个接线点随机地平均分成三组可能出现的所有结果找出来，再根据五个接收器能同时接受到信号必须 全部在同一个串联线路中，求出此种情况可能出现的结果，再运用古典概型概率公式即可得出所求事件的概率 信号源 2 【详解】3 4 5 6 由恩意，设右端连线方式如图，对于左端的六个连线点，将其随机地平均分成三组，共有CC℃=15种结果，五 A 个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，则1必须与3,4,5,6中的其中一个相接，接好后，2只有 2种情况可选，剩下的接线点只有1种接法，所以共有CC,C=8种结果.同理，右端连线方式变化时，左端的接线 方法也有15种，其中有8种可以接收到信号.故这五个接受器能同时接收到信号的概率是P=8 5 故选：D 4.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定 的直线与含有四个项点的平面构成的正交线面对”的个数是() A.48 B.18 C.24 D.36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答 【详解】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线， 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24（个）： 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个， 不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直， 所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36（个）.故选：D 5.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名 学生来自不同年级的概率为() 1 2 B. C. D 3 2 3 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C?=6件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C℃=4，所以这2名学生来自不同年级的概率为。3 42 =二故选：D 6.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活 动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有() A.120 B.60 C.30 D.20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解。 【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e, 假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A?=12种方法， 同理：b,C,d,e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5×12=60种故选：B. 7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有() A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案， 【详解】首先确定相同得读物，共有C。种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A?种， 根据分步乘法公式则共有C。A?=120种，故选：C 8.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两 层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有(). A.CbC种 B.C0。·C种 C.C8C种 D.C8·C0种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案， 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60.40人，高中部共抽取6020 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C。C。种. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知ax- 1）1314 的展开式中各项的系数之和为0，则() A.a=1 B.二项式系数的和为1314 C.展开式中每一项x的指数都是偶数D.展开式中不存在常数项 【答案】AC 【分析】令x=1可判断A:由二项式的系数和可判断B:利用展开式的通项可判断C:在通项中令1314-2k=0可 判断D. 【详解】对于 -令x三1，得(a-1)=0,解得a=1,放A正确 二项式系数的和为2314，故B错误： 展开式的通项为T1=（1)广Cx4-2(亿=0,12，，1314)，因为1314为偶数，所以展开式中每一项x的指数都是偶 数，故C正确： 令1314-2k=0,得k=657,所以展开式中存在常数项，故D错误 故选：AC 10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是() A.共有60种不同的坐法 B.空位不相邻的坐法有32种 C.空位相邻的坐法有24种 D.两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【分析】对于A,采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；对于B,利用插空法；对于C,利用捆绑法； 对于D,利用特殊元素优先法。 详解)】对于A,共有CAI-7X13x2x1=60种不同的坐法，故A正确 对于B,空位不相邻的坐法有AC-3×2x1×4X336种，故B错误： 2×1 对于C,空位相邻的坐法有A=4×3×2×1=24种，故C正确： 对于D,两端不是空位的坐法有3×2×3=18种，故D错误，故选：AC 11.用数字0,1,2,3,4组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有() A.一共可以组成96个数 B.一共可以组成120个数 C.一共可以组成偶数60个 D.一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可 【详解】对于AB,四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数4×4×3×2=96个，A正确，B错误： 对于C,若个位数为0，则有4×3×2=24个，若个位数不为0，则有2×3×3×2=36个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数24+36=60个，C正确： 对于D,四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数3x4×3x2=72个，D正确.故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有种.（用数字表示答 案) 【答案】18 【分析】根据组合数及乘法原理计算求解. 【详解】从3位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，只有1位女生入选，则不同的选法有C,C=3×6=18种. 故答案为：18 13.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲 恰好被安排在A家庭的不同安排方法数有 种 【答案】60 【分析】按照A家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①A家庭只有志愿者甲，另外4人分配到其他的3个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有CA=36种： ②A家庭除了甲还有另一名志愿者，另外3人分配到其他的3个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有 C4,A;=24种.故志愿者甲恰好被安排在A家庭共有36+24=60种不同安排方法.故答案为：60 14.a1、42、4、44、4是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的i∈{2,3,4,4-1和41中至少有一个大于4， 则满足要求的排列的总数为· 【答案】16 【分析】先判断出5的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解出满足要求 的排列的总数 【详解】因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位， 当5排在第一位时，若4排在第二位，此时排列可以是(5,4,1,2,3)，(5,4,2,1,3)，(5,4,3,1,2)，(5,4,3,2,1)，共4种 情况 当5排在第一位时，若3排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是(5,3,1,2,4)，(5,3,2,1,4)，共2种情况： 当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是(5,2,1,3,4)，共1种情况： 当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是(5,1,2,3,4)，共1种情况： 由上可知，当5排在第一位时，共有4+2+1+1=8种情况， 同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件，综上所述，共有16种排列满足条件， 故答案为：16. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每箱产品在交付用户之前都要从中随机抽出(2≤m≤19)件 进行检验，假设每箱产品中均恰有2件不合格品 (1)若m=2,求检验一箱产品时恰好抽到1件不合格品的概率； (2)若检验一箱产品时至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值. 【路案10兴 (2)6 【分析】(1)根据超几何分布，求出事件概率 (2)根据超几何分布，写出事件概率，根据组合数的计算方法，求参数的值， 【详解】(1)根据超几何分布可知18件正品，2件次品，抽2件，恰好抽到1件次品的概率P=C,C=18 C395 (2)18件正品，2件次品，抽件，至少抽到1件不合格品的对立事件为抽出的全部为合格品，则至少抽到1件不 合格品的概率P=1-生>05，即 C2 s05, A 18! Am 可得”= 18-m!_(20-m19-)1 . 20！ 19×20 2,化简得m2-39+190<0, A (20-m! 解得39-V761 39+V761 << 约为5.71<<33.30，所以m的最小值为6. 2 2 16.(15分)甲、乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位 数作为“茎”排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边. 甲队乙队 159 775541603556788 854322172 318 甲、乙两小组组员身高分布茎叶图 (1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数； (2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率： (3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、乙两组 的平均身高都增大？ 【答案】(1)甲组第60百分位数为173厘米，乙组第60百分位数为166.5厘米： (3)把甲组的其中一个167厘米的组员调到乙组， 【分析】(1)直接利用百分位数计算公式即可： (2)根据组合公式和古典概率公式计算即可： (3)求出两者平均数，则所调的人员身高应该两平均数之间（不包括两平均数）， 【详解】(1)甲队：i=12×60%=7.2, 所以甲组的第60百分位数为从小到大排列的第8位组员身高，为173厘米： 乙队：i=10×60%=6, 所以乙组的第60百分位数为从小到大排列第6位和第7位组员身高的平均数，为166+167=16.5厘米. 2 (2)记甲乙两队各选取一名组员，两人身高均在170厘米以上为事件A,P0=”因=CC三7 n(2)C2C。120 （3)G=167x2+165×2+164+178+175+174+173+172×2+183-171.25, 12 -159+160+163+165×2+166+167+168×2+172.165.3 X/ 10 要使两组平均身高都增大，则从甲组调到乙组的组员身高应在两平均数之间（不包括端点平均数），所以把甲组的 其中一个167厘米的组员调到乙组即可. 17.（15分)小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1,2,3,4,5中的某个数字， (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率： (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5. 【路案1@ (②)证明见解析 【分析】(1)根据独立事件的概率的乘法公式计算： (2)先计算最大数的概率，再结合P(X=5)>】即可证明 2 【详解】(1)P=4×3x2x1=24 5555625 (2)记X为这五张卡片上最大的数字，则P(X=)=[--1)],1=1,23,45. 由∑p(X=)=1,，由P(x-5)=1- ) 5 一3125>2，所以这五张卡片上最大的数字最可能是5 18.(17分)从A,B,C等7人中选出5人排成一排 (1)A,B,C三人不全在内，有多少种排法？ (2)A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C与A,B都不相邻，都多少种排法？ (3)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答） 【答案】(1)1800 (2)144 (3)1560 【分析】(1)根据全排列，去掉A,B,C在内的情况即可由排列和组合求解， (2)根据相邻和不相邻问题，利用捆绑法和插空法即可求解， (3)分四类情况即可求解 【详解】(1)从7人中任选5人排列共有A种不同排法，A,B,C三人全在内有CA种不同排法， 由间接法可得A,B,C三人不全在内共有A;-CA;=1800种不同排法： (2)因A,B,C都在内，所以只需从余下4人中选2人有C种不同结果，A,B必须相邻，有A2种不同排法， 由于C与A,B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有A?种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的 2人所产生的3个空位中有A种不同排法， 由乘法原理可得共有CAAA=144种不同排法： (3)分四类：第一类：所选的5人无A、B,共有A;=120种排法： 第二类：所选的5人有A、无B,共有CCA4=360种排法： 第三类：所选的5人无A、有B,共有CC4A=480种排法： 第四类：所选的5人有A、B,若A排中间时，有CA=240种排法， 若A不排中间时，有CCCA=360种排法，共有C(A4+CCA)=600种排法： 综上，共有1560种不同排法. 19.(17分)2023年高考分数公布后，经过相关部门的计算，本次高考总分不低于680的同学可以获得高校T的“强 基计划”入围资格.经统计甲班和乙班分别有3名和4名学生获得高校T的强基计划'入围资格，而且甲班和乙班高 考分数高于690分的学生分别有1名和2名.高校T的强基计划'校考分为两轮.第一轮为笔试，所有入围同学都 要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A,A,B三个等级，两科中至少有一科得到A, 且两科均不低于A,才能进入第二轮.己知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取 得，4，日的概率分别为，号，意：总分不高于690分的同学在每科笔试巾取得4，，8的概率分别为， 1 专，进入第喜轮的同学，若两科笔试成赞均为4，则免面试，并被高校？提前录取：若两科笔试成绩只有一一 个4，则要参加面试，总分高于690分的同学面试通过”的概率为号，总分不高于690分的同学面试通过的减率 为)，面试通过的同学也将被高校r提前录取。若甲、乙两个班木次高考总分不低于680的同学都报考了商校：的 “强基计划. (1)分别求出总分高于690分的某位学生进入第二轮的概率以及该生被高校T提前录取的概率： (2)从甲、乙两班随机抽取一个班，再从该班获得高效T的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，求这两 位同学都通过强基计划被高校T提前录取的概率， 【答案】（①）总分商于690分的某位学生进入第二轮的概率为。：该生被高校T提前录取的概率为？ 23 Q14 【分析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式即可求得结果： (2)分别求出总分不高于690分和总分高于690分的学生被高校T提前录取的概率，再分别求出甲班和乙班各随 机抽取2名学生被高校T提前录取的概率，从而利用互斥事件概率公式即可求得结果. 【详解】(1)总分高于690分的某位学生进入第二轮，记为事件A, 所P国-P1小=含 总分高于690分的某位学生被高校T提前录取，记为事件B, 所以@Prr)P3号2 282 (2)总分不高于690分的某位学生被高校T提前录取，记为事件C, 所以PC)=P(4Ar)+P4A)=X+x2xx-月 115 131 9 339353' 从甲班获得高效T的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划被高校T提 前录取，记为事件E, Pg)-cg×x+xx1+14 C23C3392727’ 从乙班获得高效T的“强基计划”入围资格的学生中随机抽取2位学生，且这两位同学都通过“强基计划被高校T提 前录取，记为事件F, 器好器登片5品 枚所求照车2)宁到号品品 2