12.3 等腰三角形-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版）

12.3等腰三角形 12.3.1等腰三角形的性质 知识梳理 有两条边 的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都 定义 叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 等腰三角形的 相等（简写成“ ”)； 等腰三角形 性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合（简写成“ 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直 对称性 线就是它的 定义 三条边都 的三角形叫做等边三角形 等边三角形 性质 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 对称性 等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴 针对训练 1.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角 的度数为 ( B A.100° B.80 C.70° D.40 (第4题图) (第5题图) 2.下列关于等边三角形的性质的说法错误5.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC, 的是 AB=5cm,则DC的长为 cm A.三条边都相等 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是 B.三个角都相等 △ABC内一点，且BD=CD. C.只有一条对称轴 求证：∠ABD=∠ACD. D.是等腰三角形 3.若等腰三角形的两边长分别为3和6，则 这个等腰三角形的周长为 ( ) A.12 B.15 C.18 D.12或15 4.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB= AD,∠BAD=30°，则∠ADC的度数为 ·20· 12.3.2等腰三角形的判定 知识梳理 如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.即有两个角相等的三角形 等腰三角形 是等腰三角形.（简写成“ ”). 的判定 拓展：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三 角形 等边三角形 三个角 的三角形是等边三角形； 的判定 有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形 针对训练 A.4 cm B.3 cm 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=3, C.2 cm D.无法确定 则AC的长为 ( 5.如图，AC和BD相交于点O,且AB∥ A.2 B.3 C.4 D.5 DC,OA=OB.若OC=2cm,则OD的 长为 cm. (第1题图) (第4题图) B 2.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下， (第5题图) (第6题图) 其中能判定△ABC是等腰三角形的 6.如图，∠A=∠DBC=36°，∠C=72°，则 是 图中的等腰三角形的个数是 A.∠A=45°，∠B=65 7.如图，D为△ABC的边AB的延长线上 B.∠A=75°，∠B=30° 一点，过点D作DF⊥AC,垂足为F,交 C.∠A=40°，∠B=60° BC于点E,且BD=BE.求证：AB=BC. D.∠A=60°，∠B=50 3.在△ABC中，AB=AC,∠A=∠C,则 △ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.无法确定 4.一块三角形木板的残余部分如图所示， 测量出∠A=100°，∠B=40°，AB= 4cm,则这块三角形木板另一边AC的 长是 ·21·12.2.3角边角 第1课时角边角 知识梳理 相等ASA 针对训练 1.B2.C3.124.∠ADB=∠ADC5.(1)证明：.∠BCE=∠DCA,.∠BCE+ ∠ACE=∠DCA+∠ACE,即∠BCA=∠DCE,在△BCA和△DCE中， ∠BCA=∠DCE, AC=EC, ∴.△BCA≌△DCE(ASA).(2)解：：△BCA≌△DCE,.∠B= ∠A=∠E, ∠D=15°.∠A=25°，..∠BCA=180°-∠A-∠B=140°. 第2课时角角边及对应边上的线段相等 知识梳理 相等对边 AAS相等 针对训练 1.D2.C3.34.证明：AE=CF,.AE-EF=CF-EF,即AF=CE.在△ADF ∠D=∠B, 和△CBE中， ∠A=∠C,.△ADF≌△CBE(AAS)..DF=BE.5.(1)证明：，E AF=CE, ∠A=∠ECF, 是DF的中点，∴.DE=FE.在△ADE和△CFE中， ∠AED=∠CEF,.△ADE≌ DE=FE, △CFE(AAS).(2)解：△ADE≌△CFE,.AD=CF=8..BD=AB-AD=7. 12.2.4边边边 知识梳理 相等SSS 针对训练 AB=AD. 1.A2.125°3.AB=DC4.证明：在△ABE和△ADF中，AE=AF,∴△ABE≌ BE=DF, △ADF(SSS).∴·∠BAE=∠DAF.∴.∠BAE+∠EAF=∠DAF+∠EAF,即∠BAF =∠DAE.5.证明：BF=CD,∴BF-CF=CD-CF,即BC=DE.在△ABC和 AB=ED, △EDF中，JAC=EF,∴.△ABC≌△EDF(SSS).∴∠B=∠D.∴.AB∥DE. BC=DF, 12.2.5斜边直角边 知识梳理 直角边HL 针对训练 1.A2.C3.60°4.=5.证明：DE⊥AC,BF⊥AC,.∠AFB=∠CED=90°.在 AB=CD, Rt△ABF和Rt△CDE中， ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴.∠BAF= BF=DE. ∠DCE.∴.AB∥CD. 12.3等腰三角形 12.3.1等腰三角形的性质 知识梳理 相等两个底角等边对等角等腰三角形的三线合一对称轴相等60°3 针对训练 1.C2.C3.B4.105°5.2.56.证明：.AB=AC,.∠ABC=∠ACB.BD= CD,.∠DBC=∠DCB..∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,即∠ABD=∠ACD. 82 12.3.2等腰三角形的判定 知识梳理 等角对等边都相等60° 针对训练 1.B2.B3.B4.A5.26.37.证明：BD=BE,.∠D=∠BED.∠BED= ∠CEF,.∠D=∠CEF.DF⊥AC,∴.∠AFD=∠CFE=90°..∠A+∠D=90°， ∠CEF+∠C=90°.∠A=∠C.AB=BC. 12.4逆命题和逆定理 12.4.1互逆命题和互逆定理 针对训练 1.B2.B3.解：(1)2(2)选①②作为条件，③作为结论，证明如下：在△AED和 ∠A=∠C △CEB中，∠AED=∠CEB,∴.△AED≌△CEB(AAS).∴AE=CE.(答案不唯一) AD=CB, 12.4.2线段垂直平分线 针对训练 1.C2.B3.证明：：∠1=∠2，∠3=∠4，∴.EB=EC,∠1十∠3=∠2十∠4，即 ∠ABC=∠ACB.∴·点E在BC的垂直平分线上，AB=AC.∴点A在线段BC的垂直 平分线上..AD垂直平分BC. 12.4.3角平分线 知识梳理 相等相等 针对训练 1.B2.33.(1)BCDC(2)ABAD4.40°5.3006.证明：：DE⊥AB,DF⊥ DB=DC,:.R△BDE≌ AC,∠E=∠CFD=9O.在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, Rt△CDF(HL)..DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,.AD是∠BAC的平分线. 7.证明：CD⊥AB,BE⊥AC,且∠1=∠2，∴.OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°，又 :∠BOD=∠COE,∴.△OBD≌△OCE(ASA)..OB=OC, 第13章勾股定理 13.1勾股定理及其逆定理 13.1.1直角三角形三边的关系 第1课时勾股定理 知识梳理 a2十b=c9 针对训练 1.C2.B3.D4.解：(1)由勾股定理，得c=√a2+6=√2+32=√10.(2)：a:b =3:4,∴.设a=3x,则b=4x.由勾股定理，得a2十b2=c2,∴.(3x)2十(4x)2=102,解得 x=2(负值已舍去)..a=3x=6,b=4x=8.5.解：在Rt△ADC中，AD=16,CD= 12,由勾股定理，得AC=√/AD+CD=√/162十122=20.在Rt△ABC中，BC=15,由 勾股定理，得AB=√AC+BC=√20+15=25. 第2课时勾股定理的简单应用 针对训练 1.B2.C3.B4.1005.2.5m6.解：(1)根据题意，得∠ACB=90°，AC=30m, AB=50m,∴.BC=√AB-AC=√502-30产=40(m).∴.BC的长为40m.(2)这辆小 汽车没有超速.理由如下：，该小汽车的速度为40÷2=20(m/s),20m/s=72km/h< 80km/h,.这辆小汽车没有超速. 13.1.2直角三角形的判定 知识梳理 直角三角形直角正整数 针对训练 1A2.C3.A4.合格5.2 2 6.(1)证明：AB=13,AD=12,BD=5,.AB= 83 AD2十BD.∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.(2)解：由(1)可知∠ADB=90°， .∠ADC=90°.△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，AD=12,AC=15,由勾股定 理，得DC=√AC-AD=√15-12z=9.7.解：5十12=13，∴.AC+AB2= BC.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90.SC=AB·AC=合BC·AD,即 合×12X5=号×13AD.AD-g 13.1.3反证法 针对训练 1.C2.D3.C4.∠ACB∠CAE∠ACB∠CAE 13.2勾股定理的应用 针对训练 1.D2.130cm3.(x-2)2+(x-4)2=x 第14章数据的收集与表示 14.1数据的收集 14.1.1数据有用吗 14.1.2亲自调查获取一手数据 针对训练 1.A2.153.40.25 14.1.3检索文献获取二手数据 针对训练 解：从数据中能获得以下信息：①我国人口总数在逐年增加；②我国城镇人口比重在逐 年提高，2000年以前提高的速度相对较慢，2000年以后提高的速度明显加快：③1990 年以后，乡村人口逐年下降 14.2数据的表示 14.2.1频数分布直方图 针对训练 1.C2.解：(1)正正10正5(2)补全频数分布直方图如图. ↑频数 (3)由频数分布直方图知，气温x满足17≤x<22的天数最多， 15 01217222732温度/℃ 有10天.（答案不唯一）3.解：(1)抽取的学生总人数为15÷10%=150.a=150× 20%=30,b=45÷150×100%=30%.(2)补全频数分布直方图如图. +频数 (3)该校被评为“良好”的学生约有(40%十20%)×1800= 60H 50 40F 30 30, 20L 15 10 60708090100成绩/分 1080(名). 14.2.2扇形统计图 针对训练 1.A2.A3.解：(1)八年级参加兴趣小组的人数为68÷34%=200.(2)参加其他兴 趣小组的学生人数为200×(1一19%一26%一34%)=42. 14.2.3容易误导读者的统计图 知识梳理 (1)宽度高低长短(2)折线(3)扇形 针对训练 解：(1)由图可知：小苗的年龄最大，小强的年龄最小.(2)小苗的年龄比小强大18一 13=5(岁).(3)容易.因为纵轴上的数值不是从0开始的.(4)纵轴上的数值应从0开始 即可 84