专练(5)二次函数的图象和性质(3)—实际应用&专练(6)图形的旋转(提分特训)-PDF部分书稿【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

班级： 姓名： 专练（五） 二次函数的图象和性质(3) 实际应用 1.如图，有一个截面边缘为 (1)求抛物线的函数解析式； 抛物线形的水泥门洞.门 (2)已知球门高OB为2.4m,通过计算判 一]门1 洞内的地面宽度为8m, 断球能否射进球门（忽略其他因素）. 一8m一 两侧距地面4m高处各有 v/m 一盏灯，两灯间的水平距离为6，则这 用B 个门洞内部顶端离地面的距离为( x/m A.m B.8m C.m D.m 2.某商场购进一批新型玩具.已知这种玩具 进价为17元/件，且该玩具的月销售量 y(件)与销售单价x(元/件)之间满足一 次函数关系，下表是月销售量与销售单价 的几组对应关系： 销售单价x/(元/件) 20 25 30 35 月销售量y/件 3300280023001800 (1)求y关于x的函数解析式； 4.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的 (2)当销售单价为多少时，月销售利润最 岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 大？最大利润是多少元？ 80m的围网在水库中围成了如图所示的 ①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区 域的面积相等，设BC的长度为xm,矩形 区域ABCD的面积为ym. (1)求y与x之间的函数关系式，并注明 自变量x的取值范围； (2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？ 上0 区域① 区 以域②) ③ 3.足球训练中，小军从球门正前方8m的A 处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当 球离球门的水平距离为2m时，球达到最 高点，此时球离地面3m.现以O为原点 建立如图所示直角坐标系， ·27· 专练（六） 图形的旋转 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个3.已知△CAB和△CDE均为等腰直角三角 顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1), 形，∠DCE=∠ACB=90°， C(4,3). 发现：如图①，当点D落在AC上，点E落 (1)请画出△ABC关于原点对称的 在CB上时，直线AD和直线BE的位置 △AB1C,并写出点A1的坐标； 关系是 ;线段AD和线段BE的 (2)请画出△ABC绕，点B顺时针旋转90°后 数量关系是 得到的△ABC2,并写出点A2的坐标. 探究：在图①的基础上，将△CDE绕点C 逆时针旋转，得到图②. 求证：AD=BE且AD⊥BE; 应用：如图③，四边形ABCD是正方形，E ,-4-3-_241)12 是平面上一点，且AE=3,DE=√2，求CE 长的取值范围 2.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线 段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段 AQ,连接BQ,BP,CP 图① 图② 图③ (1)求证：CP=BQ: (2)若AP=6,BP=8,CP=10,求四边形 APBQ的面积. ·28·理，得BD=√BF+DF=√8+4=45.14.解：(1)连接OD.DF是⊙O的切 或0.6时，才能使超市每天销售甲.乙两种商品共获取的利润为】700元 专练（二）根的判别式和根与系数的关系 -1点M的坐标为(1+正，-2)成(12正，-2)或0,2)或-1,2： 线.D为切点，∴ODLDF,∴.∠ODF=90.°BD=CD,OA=OB..OD是△ABC的中 1,解：0十=4,1=1.(1)(n一3)（一3）=1一3(m十2)+9=1一3×4十9= (3)易得直线AC的解折式为y=r十2.设N(a,a+2)(-2≤a≤0)，则D(4,-d2一a+ 位线，∴OD∥AC,∠CFD=∠ODF=90°，.DF⊥AC(2)号x15.解(1)连接OD 2).∴.DN=(-a2-4+2)-(u+2)=-2-2a=-(a+1)2+1.,-2<-1<0,∴.当 DF是⊙O的切线，.∠(ODF=90.∠AD十∠BDF=90°.OA=(D.∴∠OAD -24(20-=(n+-4n=-4×1=12(3)+4=+n a=一1时，DN有最大值，最大值为， =∠ODA,.∠OAD+∠BDF=90°.：∠C=90,.∠0AD+∠B=90,,∠B= 《十n户一2如亚-一2X1-142.解，1)根据题意，得4=（一22-4（一k-2》 专练（五）二次函数的图象和性质(3)一实际应用 ∠BDF,BF=DF:(2)连接OF.设半圆O的半径为r,则OD=OA=r,AC=4,BC 1.A2.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx十b(k0).根据题意，得 -3,CF=1,∴.XC-4一，DF-BF-3-1=2.由勾股定理，得OD+DF=OF=(0 >0,解得k>一3：(2)答案不唯一，如取k=一2，则一元二次方程为x2一2x=0,解得 23心解箱0y关于x的函数解析式为y=一10+500 +C严∴+2=4-r+,=是放半圆0的半径为骨 =0,=2.3解：(1)川≠0，.方程mx+(3一m)x一3=0为一元二次方程.则4 25k+b=2800. =(3一m)2一4m×(一3)=(m十3)2，：(m十3)≥0，.此方程总有两个实数根：(2)由 ≤x≤53)：(2)设月销售利润为元，则=(.x-17)(-100+5300)=一100.x+ 阶段微测试（十一） 求根公式，得=二8一m法加+》.∴=1=一品.？此方程的两个实数根都 7000r一90100=-100(x-35)+32400.,-100<0,.当x=35时，t取得最大值， 1.D2.D3B4.B5.C6B7.A8.B9.不公平10.号1.3 最大值为32400.答：当销售单价为35元/件时，月销售利润最大，量大利润是32400 为正整数，整数m的值为一1或一3.4.解：(1)，方程x2十3x十m=0有实数根， 元.3.解：(1)由题意，得地物线的顶点坐标为(2,3)，经过A(8.0),.可设地物线的雨 12.号13.解：(1)设袋中蓝球的个数为工”从中任意摸出一个球是白球的概率为 ∴△=3-4X1×m≥0，解得m≤号，(2)n是方程2+3x十m=0的两个根， 数解析式为y=a(x一2)+3.把点A(8.0)代人，得36a十3=0.解得a=一2一抛物 之小2中专解得=山.小袋中蓝球的个数为1：(2②)根据题，可以商出如下 线的函数解析武为y一立红一2+3：(2)当1=0时y一立×4+3=景>2 的树状图：第一次良 泉笑策由树状图可以看出，所有可能出现的 得m=2.即m的值是2.5.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把2=一1代入 球不能射进球门.4.解：(1D设AE-G,由题意，得AE·AD=2BE·BC,AD-BC 第二火白黄蓝白寅蓝白白蓝白白黄 方程(a十e)xr2+2bx+《a-e)=0,得2a一2b=0,∴.a=b,.△4BC是等腰三角形： BE-a,AB-a由题意，得2十3a+2X2u=80u=20-.y-AB: 结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中两次都摸到白球的结果有2种，所以 (2)△ABC是直角三角形.理由如下：，该方程有两个相等的实数根，△=(26)一4(@ 十c)(a一c)=0,.F十c=r,.△AB是直角三角形：(3)△ABC是等边三角形. =a·x=2(20-2ry=-+30r0<x<40(2y=+ P(两次都摸到白球)=立· 14.解：这个游戏对两人不公平.理由如下：列表如下： 'a=b=c..原方程可变形为2a.2十2ar=0.a≠0，r2十x=0,解得n=0,=一1. 第一次 专练（三） 二次函数的图象和性质(1) 30x=-子（一20）2+300，∴.当x=20时，3有最大值，最大值是300. 1 3 4 第二次 1.D2.y=(x+1)+1x=-1(1)172(2)51(3)2y103.解：(1)如 专练（六）图形的旋转 (1.1)(2.1)(3.1)(4,1) 图：（列表略） (2)抛物线y=一(x+1)2十4先向 L.解：(1)如图，△A,BC即为所求，点A的坐标为(-2，一4)：(2)如图，△ABC即 2 (1.2)(2.2)(3,2)(4.2) 为所求，点A的坐标为(4,0) 2.解：(1)：△AC为等边三 3 (1.3)(2.3)(3,3)(4,3) 4 (1.4)(2.4)(3,4)(4,4) 由表可以看出，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中两次数字 (x-2+7 差的绝对值小于2的结果有10种，所以P小明获鞋)-碧-景，则P代小刚获胜)=号 -4-1)+ 4书-外3寸寸方 =是.因为受>是，所以这个游戏对两人不公平。15解：)号 (2)根据题意，可以 右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线=一(x一2)+7，（平 角形，∴∠BAC=60,AB=AC,:线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,AP 画出如下的树状图：表 友由树状图可以看出，所有 移方法不唯一)4解：(1)，0C=3,∴.C(0,3).把C(0,3)代入y=a(x-1)(x-3),得 3a=3,解得a=1..抛物线的解析式为y=(x一1)(x-3),即y=x-4x+3:(2)当 =AQ,∠PAQ=60°，.∠BAC=∠PAQ..∠BAC-∠PAB=∠PAQ-∠PAB,p y=(x-1)(x3)=0时，可得1=1，x=3,则点B(3,0),A(1,0),∴.AB=3-1=2, ∠CAP=∠BAQ.在△APC和△AQB中，"AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ, 可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中<0，>0的结果有4 .△APC2△AQB(SAS),.CP=BQ:(2)连接PQ.AP=AQ,∠PAQ=60, 种，所以P(这个一次函数的图象经过第一二，四象限)=立了 41 “S=2AB攻=之×2X3=3.5.解：二次函数y=(一)+2a一3的图象开 .△APQ为等边三角形.：AP=6,∴.PQ=AP=6.,CP=10,BQ=10.,BP十 口向上，原点坐标为(：，2一3)，对称轴为直线x=位.(1)：函数图象的顶点在x轴上， 重点题型专练答案 PQ=8+6=10=BQ∴△BPQ为直角三角形，∠BPQ=90,易得Suo=7×6 .2a-3=0,解得a=号：(2)：函数的最小值是-1..2a一3=一1，解得a=1:(3)由 专练（一）一元二次方程的解法与应用 ×38=93,S迪wm=Sm0十Sw四=号×6×8+98-24+9及.3解：发 题意，得函数图象的对称轴为直线x=3,a=3 1.解：(1)x1=4.=-2:(2)=-1+/7,=一1-√7：(3)x=0.4=一2：(4)= 现：AD⊥BEAD=BE探究：如图②，廷长BE交AC于点G,交AD于点F. 专练（四）二次函数的图象和性质(2)一最值问题 .∠DCE=∠ACB=90',.∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE,p∠DCA=∠ECB. 3西=一22.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=k虹十b(k≠0)，由所给函数 1.贺2.解1)把A(0,-2代人y=a(r-1)-3,得a-3=一2，解得a=1.六抛物 :△CAB和△CDE均为等鞭直角三角形，∠DE=∠ACB=90,.CD=(CE,CA CB,∴.△CAD2△CBE(SAS)..AD=BE,∠DAC=∠EBC,又，∠BC=∠AGF 用酸可得军用仁威政y与之消的属夏美系式为十回 线的函数解析式为y=(x一1)子一3：B(1,一3)：(2)设点A关于x轴的对称点为C,则 ∠AFG=∠GB=0,.AD⊥BE:应用：如图③，将DE绕点D顺时针旋转90°，得 C(0,2).连接CB,交x轴于点P,连接AP,AB,此时△PAB的周长最小，设直线CB的 (2)根据题意，得（一x+180)(x一100）=1200，解得x1=120,=160.”要在价格上 线段DF,连接EF,AE.由旋转的性质，得∠EDF=9O°，DF=DE=2,.EF= 有竞争优势，x=120,客：当销售单价为120元时.小张每天获得的利润达1200元， 解析武为y=m十%把C0.2)和B1,一3)代人，得2= 3m+.解得2i…直 =2 √DE+DF下=V√（②）+(2)-2.：四边形ABCD是正方形，∴.AD=CD,∠CDA 同时在价格上有竞争优势.3，解：(1)设甲商品的进货单价为x元，乙商品的进货单 ■0°，∠ADE+∠EDF=∠ADE+∠CDA,即∠ADF=∠CDE..△ADF≌△CDE 线CB的解析式为y=一5r+2.把y■0代入y=-5r+2,得0■-5x+2,解得x= 价为y元，则甲商品的零售单价为（十1）元，乙商品的零售单价为(2y一1)元根据题 (SAS),∴.AF=CE.,AE-EF≤AF≤AE+EF,.3-2≤AF≤3+2，p1≤AF≤5 .1CE5. 36千D+22,一=1B.解得一答，甲商品的进费单价为2元：乙商品的 意，得十y-5, 后.·点P的坐标为（号0）3解：1)y=一一x+2(2)由1)，得此抛物线的 y=3. 解析式为y=一一r十2，令y=0,得B(1,0),设Mm,一m一m十2).根据Sw= 进货单价为3元：(2)根据题意，得1-m)(30+1）十(2X3-1-3-m)(30+ 25a#e,得号A0·一m-m+2引=2×2B0·(00,∴2×2×-m-m+2=2, ）=170,整理，得10m-山m+3=0,解得m=0.5,他=0.6答：当m定为0.5m+m一2引-2+m一2=2或m+m一2=一2，解得m=-1生专y区或0或 2 图 第43页（共54页） 第44页（共54页】 第45页（共54页）