专题01 一模常考解答压轴题（高效培优期末专项训练）数学沪教版五四制九年级上学期

专题01 一模常考解答压轴题 考点01 特殊三角形、相似三角形的分类讨论 考点02 以（特殊）平行四边形为载体的综合考查 考点03 以梯形为载体的综合考查 考点04 截长补短的常用考法 考点05 新定义题 考点06 圆综合（与梯形结合、位置关系、平行关系的综合应用等） 考点01 特殊三角形、相似三角形的分类讨论 1．（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 2．（2025·上海宝山·一模）如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． (1)当时，求的长； (2)当时，求值； (3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 3．（2025·上海金山·一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 考点02 以（特殊）平行四边形为载体的综合考查 4．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 5．（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 6．（2023·上海杨浦·一模）已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，． (1)如图，如果，求线段的长 (2)过点E作，垂足为点G，与交于点H． ①求证：； ②设的中点为点O，如果，求的值． 7．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点． (1)当点与点重合时，如果，求的长； (2)当点在线段的延长线上， ①求的值； ②如果，求的余切值． 考点03 以梯形为载体的综合考查 8．（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 9．（2023·上海青浦·一模）如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，． (1)求的长； (2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． 10．（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 考点04 截长补短的常用考法 11．（2025·上海徐汇·二模）如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 12．（2025·上海静安·二模）如图，在中，，点在的延长线上，，，点在边上，，的延长线交线段于点． (1)求证：； (2)当点是的中点时，求证：； (3)已知，，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 考点05 新定义题 13．（2025·上海奉贤·二模）定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形；已知中，点分别在上，连接． (1)如图，是中点，，时，求证：是的镶嵌相似形； (2)如图，当，，是的镶嵌相似形，．求的值； (3)如图，如果，，，是的镶嵌相似形，且与不平行，求的长． 14．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 考点06 圆综合（与梯形结合、位置关系、平行关系的综合应用等） 15．（2022·上海闵行·二模）如图，梯形中，，，，，.点M在射线上，以点C为圆心，为半径的交射线于点N，联结，交射线于点G. (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长. 16．（2024·上海闵行·二模）如图，是的半径，弦垂直于弦，点M是弦的中点，过点M作的平行线，交于点E和点F． (1)如图1，当时． ①求的度数； ②连接OE，求证：； (2)如图2，连接，当时，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域． 17．（2024·上海金山·二模）如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图1，如果，求的值； (3)如图2，如果，求的余弦值． 18．（21-22九年级下·上海杨浦·阶段练习）已知：如图．在梯形中．，，，，，点是上一点（点与点不重合），以为半径的与边相交于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，试判断以为直径的与的位置关系； (3)联结，如果和相似，求的长． 19．（2025·上海嘉定·二模）为的内接等腰三角形，．连接并延长，交于点，交于点，过点作，垂足为点（点不与点重合）． (1)如图1，如果，求的大小； (2)如图2，连接，如果，，求关于的函数解析式（不用写自变量的取值范围）； (3)如果点是线段的黄金分割点，求的值． 20．（2023·上海崇明·三模）新定义：有两边之比为1：的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断和△是否是“勤业三角形”并证明 (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01一模常考解答压轴题 考点归纳 考点01特殊三角形、相似三角形的分类讨论 考点02以（特殊）平行四边形为载体的综合考查 考点03以梯形为载体的综合考查 考点04截长补短的常用考法 考点05新定义题 考点06圆综合（与梯形结合、位置关系、平行关系的综合应用等） 考点专练 考点01特殊三角形、相似三角形的分类讨论 1.(2025上海崇明一模)已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,CD⊥AB,垂足为D,点F是 线段CD上一点（不与C、D重合），过点B作BE⊥AF交AF的延长线于点E,AE与BC交于点H,连接 CE. H D 备用图 ()求证：AH=BH CH EH (2)当CE∥AB时，求CE的长； (3)当△CFH是等腰三角形时，求CH的长. 【答案】(1)见解析 ②CE=14 5 9 【分析】(I)根据题意LAEB=LACB,∠AHC=LBHE,证明△ACH∽△BEH即可求证； (2)根据题意可得△CHEn△AHB,则有∠CEH=LABH,由CE∥AB,得到AH=BH,如图所示，作 垂足是G,由勾股定理、三角函数的计算得到AB=10,©os∠ABC=,在R 1/65 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Cos∠ABC=BG BH 则有了、4 BH5,得到BH=2 ,再根据CE、CH AB,即可求解； (3)根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当∠CFH=LCHF时，可证AH平分∠CAB, 根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得HG；第二种情况：当∠CHF=∠HCF时，可得 mCHP=Bn2C4B,则C,一名即D求棉：奶种情器：当H0P=∠HFC时，结盒 (2)的计算即可求解. 【详解】(1)解：BE⊥AF, LAEB=90°， :∠ACB=90°， :ZAEB ZACB, :∠AHC=∠BHE, :△ACH∽△BEH, AL-CH即AH-BH BH EH CH EH (2)解： AH BH CH EH' ∠CHE=∠AHB, △CHE∽△AHB, :∠CEH=∠ABH, CE‖AB, :ZCEH ZHAB, ∠ABH=∠HAB, :AH =BH, 如图所示，作HG⊥AB,垂足是G, F D HG⊥AB, c-18, 在Rt△ABC中，AC=6,BC=8, 4 .AB=10,coS∠ABC 5 BG=5, 2/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtoBHG中，cOs∠ABC=BG BH 54 BH=5' BH=2 ∴.CH=BC-BH= CE‖AB, 7 CECH CE 即 4 AB BH 10 25, 4 14 ∴CE= 5 (3)解：若△CFH是等腰三角形，那么LCFH=LCHF或LFHC=∠FCH或LHCF=LHFC, 第一种情况：当∠CFH=∠CHF时， :∠CFH=LAFD, LCHF=∠AFD, 又：∠CHF+∠CAH=LAFD+∠FAD=90°， ∠CAH=∠FAD, :∠ACB=90°，即AC⊥BCHG⊥AB, :CH=HG, AH=AH,CH=GH, :△ACH≌△AGH(HL, .AG=AC=6, :BG=AB-AG=4, 在Rt△BHG中，tan∠ABC=HG BG :HG=4×3=3,即CH=3 第二种情况：当LFHC=LFCH时 :∠HCF=∠CAB, .∠CHF=∠CAB, tan∠CHF=tan∠CAB, ACBC CH4C,即6-8 CH6' 3/65 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 cw-3 第三种情况：当LHCF=LHFC时， :∠CFH=∠AFD, ∠HCF=∠AFD, 又∠HCF+∠ABC=∠AFD+∠FAD=90°， LABC=∠FAD :LABC=∠CEA, :ZFAD =ZCEA, CE∥AB, 由(2)可知，在Rt△BHG中，coS∠ABC=BG BH 54 BH5' ·BH=2 .7 CH=BC-BH4冫即CH-了 4 综上所述，CH=3或，或 【点晴】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形 的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键. 2.(2025·上海宝山一模)如图，已知ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=2,点E、F分别在边AC、 AB上（不与端点重合），BE⊥CF,垂足为点D. B 备用图 (I)当CE=1时，求AF的长： (2)当BE=CF时，求tan∠CBE值； (3)连接EF,如果△AEF是直角三角形，求这时四边形BCEF的面积. 【答案】(0)33 7 4/65 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②3 3)44vi0-80或4vi-8 27 3 【分析】(1)过F作F阳1AC,垂足为点五，利用等角的三角函数值相等可得阳=EC=. CH BC2' tan BC-2=-FH,设FH=2x,则AH=3x,可得CH=4x,所以AC=AH+CH=7x=3,求出x值， AC3AH 再利用勾股定理求出AF即可； (2)同(1)思路，证aFHC≌ECB(AAS),即可得解： (3)分两种情况讨论，∠AEF为直角或∠AFE为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方 程求解即可。 【详解】(1)解：过F作FH⊥AC,垂足为点H, --H 3入 B :BE⊥CF, ∠CDB=90°， ∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， 六∠1=∠2， an1=anL2,即F2-EC=1 CH BC2 tanA= BC 2 FH AC3 AH 设FH=2x,则AH=3x, AF=AH2+FH2=13x, CH=4x, .AC=AH +CH =3x+4x=3, AF=3x=313 7 (2)解：过F作FH⊥AC,垂足为点H, 5/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 2-H 3 C 由(1)知，∠1=∠2， ∠ECB=∠FHC=90°，CF=BE, △FHC≌△ECB(AAS), .BC=CH =2,FH=CE, ..AH =AC-CH=1, tan4= BC_2_FH AC 3 AH :FH-2-CE, 3 :tan∠CBE=CE-l BC-3 (3)解：①当∠AEF=90°时，如图， A E D 2 B C 此时FE∥BC, tand=FE_BC 2 AE AC3' 设EF=2x,则AE=3x, EC=3-3x, :3-3x>0, x<1, :∠1=∠2，LBCE=LCEF=90°， △CBEAECF, EC=Cg,即33x=,2 EF EC 2x3-3x 6/65 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x=1±20 9 :x<1, :x=11-20 9 Sg边形BCEF=SABC-SAFE, 2x3-23 =3-3x2 44V10-80 27 ②当∠AFE=90°时，如图， D E 2 :∠1=∠2，∠BDC=∠EDC, ∴.△EDCACDB, CDED ,即CD=BDDE, BD CD 同理△DEF∽△DFB,得DF2=DE·DB, ∴CD2=DF2,即CD=DF, 又：BE⊥CF, .EF EC, tand=FE=BC 2 AF AC3' 设EF=2x=CE,则AF=3x, AE =13x, :AC=AE+CE=(3+2)x=3, 解得x=13-2 3 S因边形BCEr=S.4BC-SAFE -2x3-x2x3r 2 7/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =3-3x2 413-8 3 综上，四边形BCEF的面积为44√i0-80或4v店-8 27 3 【点晴】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程 的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键 3.(2025·上海金山一模)己知ADE的顶点E在ABC的内部，点D、点E在直线AC同侧. B H 图1 图2 备用图 (I)如图I,联结BD、BE、CE,若ABC和ADE是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线. CE:DE=1:2,求S4DE:SABc的比值； (2)如图2，联结BD、BE、CE,∠BAC=∠DAE=n(0<n<90),若AB=AC,AD=AE求∠BEC-∠DBE的 值（用含n的代数式表示）： (3)在等腰三角形ABC中，AB=BC=5,AC=8,BH⊥AC,点E在高BH上，点D在HB的延长线上， 联结AE并延长交边BC于点F,联结DF,DA,，若∠DAE=∠ABH,△ABD与BDF相似时，求EH的长， 【答案】0月 (②)LBEC-∠DBE=n° 3 (3EH= 6或0 【分析】(1)过点A作AH⊥CD于点H,可得AH=√3a,CH=DE=2a,根据勾股定理求出AC=√7a, 限据△8C0△40E,可以求出氵-： (2)先证明△ADB≌△AEC,得到∠1=∠2，再证明∠BEC=∠BAC+∠2+∠3=n°+∠DBE,即可求出 ∠BEC-∠DBE=n°； (3)先求出AH=CH=4,∠ABH=∠CBH,BH=3,①当△ABD△DBF时，证明 ∠1=∠2=∠3，进而证明DF=AF,∴.设AF=DF=5k,则AD=6k,根据△ABD∽△DBF求出 BD-名BF-需C-名过点F作PG上AC于点G,求出FG= 36 12,CG= 9,4AG=61 9 即可求出 EH= ,②当△4BDO△FBD时，则☑E2,明ZABD与LCBD,即回明△ABD≌△PBD,可精 到E、H重合，C、F重合，从而得到EH=0· 8/65 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，过点A作AH⊥CD于点H, B :ADE是等边三角形， :DH =HE=CE, 设DH=HE=CE=a,则AH=√3a,CH=DE=2a, 在RtAAHC中，AC=VAH2+CH2=V7a, :ABC和ADE是等边三角形， △ABC∽△ADE, SDE= DEy-(Fia B (2)解：如图， D :∠BAC=∠DAE=n°， ∠DAB=∠EAC, 又AB=AC,AD=AE, △ADB≌△AEC, .∠1=∠2， :∠BEC=180°-∠EBC+∠BCE） =180°-[180°-（∠BAC+∠2+∠3] =∠BAC+∠2+∠3 =∠BAC+∠1+∠3 =n°+∠DBE ∠BEC-LDBE=n°； (3)解：：AB=BC=5,AC=8,BH⊥AC, .AH=CH=4,∠ABH=∠CBH, BH =BC2-CH2=3, ①如图， 9165 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A H :∠ABH=∠I+∠DAB,∠DAE=∠3+∠DAB,∠DAE=∠ABH, ∠1=∠3， 当△ABDn△DBF时，∠I=∠2， .∠1=∠2=∠3， .∠ADF=∠DAF, ∴DF=AF, :∠ADF=∠DAF, :sin∠ABH=AH-4 AB 5' :s5in∠DMF= 4 设AF=DF=5k,则AD=6k, :△ABDO△DBF, AB DB AD BD-BF DF 即5=BD6k BD=BF=5k' .BD= 25 BF= 2521125 6 6 ×536 .CF=BC-BF= 55 36 过点F作FG⊥AC于点G, FG-FC.sin /c-cG-PC-oc 365121 365-9 .AG=AC-CG= 61 9 :tan∠FAG= EH FG AH AG 11 EH =12 461' 9 10/65