重庆市渝东九校2025-2026学年高二上学期期中联合性诊断测试数学试题

渝东九校联盟高2027届（高二上）期中联合性诊断测试 数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C B 0 A 0 C 8 0 AC ABD 题号 11 答案 ACD 12.4 13. -9 14.V5 参考答案： 8.D 【分析】根据梅内克缪斯理论，求出圆锥顶角O为锐角，直角还是钝角，进而判断轨迹类型 即可 【详解】对于(1)，：AP、AB、AC两两垂直，AB∩AC=A,AB,ACC平面ABC, .PA⊥平面ABC, :∠OPM=∠APM,.O点在以PM为轴的圆锥面上， af=AG,AM=Mc=C,÷tan∠APM=M=} PA=2 1 2×2_4 设圆锥顶角为0，则tan0=tan2∠4APM=,是 =>0, 1- 4 所以顶角0为锐角，即点O的轨迹是椭圆的一部分，故（1)正确： 对于(2)，当∠OPC=∠APC时，O点在以PC为轴的圆锥面上， 丽=AG,am∠APc=l,故∠Pc=吾 此时圆锥顶角日=2∠APC=交为直角， 2 所以O的轨迹是抛物线的一部分，故(2)正确： 对于(3)，当∠OPN=∠APN时，O点在以PN为轴的圆锥面上， AP=AC,AM=MC=CN, 3 2× m乙aPN-}m0=m2∠iPv 2 -12<0, 9 5 1- 4 所以顶角0为钝角，即点O的轨迹是双曲线的一部分，故(3)正确： 综上，真命题的个3. 故选：D. 11.ACD 【详解】对于A选项，当点P为BC中点时， 丽c-（丽+丽(ac+G)(c+丽c+丽)=-1+0+0+1=0所以 PB,⊥BC,故A正确： 对于B选项，当点P位于点A时，∠AB,C=60°为直线PB,与平面BB,CC所成角，故B错 误； 对于C选项，当点P位于点A(或棱BC上)时，点P到平面AB,C的距离最远， 此时四面体PAB,C的体积最大，以点A为例，此时 ag业4s-号g仙非号}225亭24兰，改c正确对于D 2 3 选项，若PB=2√2，如图， C 在棱BC上取点D,使BD=1,在棱AB上取点E使BE=1, 在棱AC上取中点H,则B,H=6,r=V2V2-(N6=√2， 则点P的轨迹由圆弧AE,CD,DE,AC构成，且其所在圆的半径依次为4B=2√2， BC=2V2,BD=2,HC=√2，圆心角依次为45,45°，60,180°， 圆孤花CD,D,C的长分别为5，。，乐5，故点P的轨迹的长为(2反+子x, 元，2 2 元，3 故D正确： 故选：ACD 14.5 【分析】由题意求得A,F的坐标，设出F',运用双曲线的定义可得PF=PF+2a,则 △APF的周长为PA+PF+AF=PA+PF'+2a+AF,运用三点共线取得最小值，可得 b=2a,由a,b,c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值 【详解】由题意可得A(0,b),F(c,0),设F(-c,0), 由双曲线的定义可得PF-PF=2a, PF=PF+2a, |AF曰AF'=Vb2+c2, 则△APF的周长为PA+PF+AF=|PA+PF+2a+AF≥2AF+2a, 当且仅当A,P,F共线，取得最小值，且为2a+2Wb+c2, 由题意可得4b=2a+2Wb+c2,即b=2a,c=Va2+b2=√5a, 则e=c=5 故答案为：√ -5-76 15解：0ka6-4-52分) 做直线AB的方程为：y-7一G优+4y.即6x+5y+I1=04分，不求出直线 程只利用斜率相等且说明AB两点不在1上也同样给分) 故直线AB与直线1平行；(6分) (2)线段AB中点坐标为，)8分) 易求得AB中垂线斜率k=。,(0分刎 6 故中垂线方程为y-1=二(x-1),即5x-6y+1=0(13分) 6 16.(1)由题A(00,0),M(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(2,0,0),B(0,2,0) AM=1,0,1),PC=(2,2,-2),PD=(2,0,-2)2分) 设平面PCD法向量n,=(x,y,z), 4-Pc=2x+2y-2z=0,令x1,则y=0,2=1川=0， n…PD=2x-2z=0 (4分)】 :.AM/m,故直线AM1平面PCD口分)（不用空间向量，利用传统证明方式证明 同样给分) (2)由题BM=(1,-2,1),PB=(0,2,-2)(9分) 设BM与平面PCB夹角为0，设平面PBC方向量n2=(x,y,z) ,PC=2x+2y-2z=0 令y=1,则x=0,z=1.n2=(0,1,) n,.PB=2y-2z=0 (12分) 则wom-2。g 故M与平面PCB夹角正弦值为 6(15分) 17.(1)C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)的标准方程为C:(x+2)+(y-1=5-a(a∈R), 故圆心为(-2,1)，(1分) de,=上2+1+5-2N2,故M8l-22-22-2 V12+12 ∴.P=3,(4分) ∴.5-a=r2=9,故a=-4,(5分) (2)直线方程可化为m(x+y-3)+x+2y-5=0(6分) .x+y-3=0 ,故x=1 (8分) x+2y-5=0y=2 :.直线过定点P(1,2)(9分，考虑到学生实际情况，求解的过程可认为是证明的过 程) (3)C:(x+2)+(y-1)=9, 由于P(1,2)在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为x=1,满足题意，(10分) 当切线斜率存在时，设其方程为：y=k(x-1)+2, 则3=上3k+2-1刂 V+，解得k=-4 3,13分) 故方程为y=二3x+0 综上所述切线方程为：y=-4x+0或x=115分)（只要答题卡上有两条直线就可以 3t 3 给满分，如果没有x=1这条直线扣2分) 18.(1)在△ABC中，AC⊥BC,MN∥AC,所以MN⊥BC, 所以在四棱锥P-ACNM中，MN⊥PN,MN⊥NC, 又PNONC=N,PN,NCc平面PWC,所以Mw⊥平面PWNC, 又PCc平面PNC,所以MN⊥PC.(4分) (2)当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，平面PMN⊥平面ACNM. 又平面PMN∩平面ACNM=MN,MW⊥PN,PNc平面PMN, 所以PN⊥平面ACNM, 故以N为坐标原点，NM,NC,NP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系， 如图所示， 则N@ao.42号a》c0号o小后a所以号o 设平面PMC的一个法向量为m=(x,,), 又元-（号》-} --0 所以 ,令3=1，解得x=1,y=2, 所以平面PMC的一个法向量m=(1,2,1).(6分) 设平面PM0的一个法向量为m,=(x22,2), 又m（@=(号o m·MP= 4 4 35 33-0 所以 -+号0 2 令y2=1,解得x2=22=2,所以平面PMQ的一个法向量m2=（2,1,2).(8分) 设平面PMC与平面PMQ的夹角为0， m'm 2+2+2 6 所以cos9=cosm,m2= mm. V1+4+1×V4+1+43? 即平面PMC与平面PMQ的夹角的余弦值为Y5.(10分) 3 (3)以C为坐标原点，直线CA和CN分别为x,y轴，过C作平面ACNM的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设P(0,3,)(u>0),N(0,t,0)(0<t<2),Q(-1,0,0), A(-2,0,0),M(t-2,t,0), AM=(t,0),P2=(-1,-S,-u), 又AM⊥PQ,所以AM.P0=-t-st=0,解得s=-1,(12分) 则P(0,-1,u),则PM=(t-2,t+1,-u）), 又PM=√2PN,所以(t-2)+(t+1)'+(-u)=2(2-t)', 整理得r2=3-61,且心=3-《>0,1>0，得0<1<分14分) 易得平面ACM的一个法向量为i=(0,0,1),设直线PM与平面ACM所成角为B, PM.n sinB=cos PM,= u M同-2y++1旷+u2 则sinp= 3-6t 3-6t6(1-2t)6(1-2t) 6 -++旷+3-02r-8+8e-4B+l-20-20 +6’ 令1-21=∈(0，)，函数f()=元+9+6在(0,1)上单调递减，f()>0=16, 因此0-2+72+6>16，则0<m0 8,解得0<sinB< VG 4 6 所以直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围是O, (17分)（最后一问其他 4 建系方式也可，只要结果正确即可得满分) 19.(1)因为椭圆C的离心率e=5,所以S-5,即a=2c 2 a 2 因为双曲线的焦点F(W2,0)恰好是该椭圆的一个顶点， aV,所以c=,b=1,所以椭圆C的方程为，+y广1 (2)若直线I的斜率存在，故设直线I的方程为y=x+m. [y=kx+m, 由x2, 2+2=, 消去y,得（2k2+1)x2+4mx+2m2-2=0,(6分) 所以设A(xy),B(x2,y2),则 -4km -2m-2,△=1km242k412m2-2>0，(8分） x+=2k2+1x3=2K2+1, 所以=（红+m(,+m=龙5+++im:2 2k2+1 所以OA.OB=xx2+yy2= 3m2-2k-2.①(10分) 2k2+1 因为直线1和圆M相切，所以圆心到直线1的距离d= |ml√6 V1+k23, 鉴理得m-引+)园（12分) 将②代入①，得OA.OB=0,显然以AB为直径的圆经过定点0(0,0)(14分) 若直线率不存在，圆品聚得比时圆的方程为r+y户-25：=0，是然他过原点0G 分) 综上可知，以AB为直径的圆过定点(0,0).(17分)渝东九校联盟高2027届（高二上)期中联合性诊断测试 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 预测难度系数：0.43 命审题学校：梁平一中涪陵高中长寿一中命审题人：温学靖刘小波陈艳勤 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡 上。2.请将答案正确填写在答题卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线V3x+y+1=0的倾斜角为() A. B. π C. 3 D. 5π 6 3 6 2.己知直线1：(m+2)x+(m-1)y-5=0与12：(m-1)x+3y-2=0垂直，则实数 m的值为() A.-5 B.1或-5 C.1 D.-1或5 3.关于空间向量，下列四个结论正确的是() A.共线的单位向量都相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.相反向量指方向相反的两个向量 D.任意两个空间向量一定共面 1若双击线口于茶=as0b>0的离心车为5，则C的断近线方程为() A.√2x±y=0 B.x±V2y=0 C.3x±y=0 D.x±V3y=0 5.圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为() A.(x-1)2+y-3)2=2 B.(x+1)2+(y+3)2=2 C.(x-1)2+0y+3)2=2 D.(x+1)2+0y-3)2=2 6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=AD=1,AA=2,∠ADC=∠ADD,=120°， ∠CDD,=60°，则AC=() 试卷第1页，共4页 A.1 B.3 C.√1 D.万 7.已知点M(-3,0),点P是圆N:x2-6x+y2-55=0上一动点，线段MP的垂直平 分线交NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为() A. x2.y2 =1 B =1 C. x2 y2 =1 D. =1 169 167 916 8.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)为了解决倍立方问题而 发现了圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两 个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角)分别是锐角、直角、钝角的三种圆 锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、 抛物线和双曲线.如图，四面体P-ABC中，APAB、AC两两垂直，AP=AC, AM=MC=CN,点O为底面ABC内的一个动点. (1)若∠OPM=∠APM,则点O的轨迹是椭圆的一部分： (2)若∠OPC=∠APC,则点O的轨迹是抛物线的一部分： (3)若∠OPN=∠APN,则点O的轨迹是双曲线的一部分. 以上几个命题中，真命题的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线：x-y+2=0,则下列说法正确的是() A.点P(2,4)在直线1上 B.I在y轴上的截距为-2 C.1与坐标轴围成的三角形的面积为2 D.直线1到2x-2y+1=0的距离为2 10.圆01：x2+y2=1和圆02：x2+y2+2x-2y=0的交点为A,B,则下列说法正 确的是() A.公共弦AB所在的直线方程为2x-2y+1=0 试卷第2页，共4页 B.线段AB中垂线方程为x+y=0 C.公共弦AB的长为V 4 D.P为圆O,上一动点，则P到直线AB距离的最大值为5+1 11.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=2√2，BB=2,点P为正三棱柱表面上异 于点B的点，则() A.存在点P,使得PB⊥BC B.直线PB,与平面BBCC所成的最大角为45 C.若P4B,C不共面，则四面体PAB,G的体积的最大值为4W固 D.若PB=2√2，则点P的轨迹的长为(2√2+)π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.椭圆女+上=1的长轴长为 34 13.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为3，M是AD的三等分点（靠近D点）， 则AB.CM= 4.双曲线C。-a>0.b>0的右焦点和虚轴上的一个端点分别为RA点。 为双曲线C左支上一点，若△APF周长的最小值为4b,则双曲线C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知两点A(-4,7),B(6,-5)和直线1：6x+5y=0的方程. (1)判断直线AB与直线I的位置关系： (2)求线段AB的垂直平分线的方程. 16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形， PA⊥底面ABCD,且PA=2,M是棱PD的中点，以A为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系 (1)证明：直线AM⊥平面PCD: (2)求直线BM与平面PCB所成角的正弦值， 试卷第3页，共4页 17.已知直线1：x+y+5=0,该直线与圆C:x2+y2+4x-2y+a=0(a∈R)交于A,B两点， 且AB=2. (1)求a的值： (2)直线n:(m+1)x+(m+2)y-3m-5=0, (i)证明直线n过定点，并求出该定点P的坐标： (ii)求过点P且与圆C相切的直线方程， 18.t如图1，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,M,N分别是BA,BC边上的 动点（不同于端点），且MN∥AC,将△BMN沿MN折起到△PMN的位置，得到四 棱锥P-ACNM,如图2所示，点Q是线段AC的中点. B 图1 图2 (1)求证：MN⊥PC: (2)若PN=2NC,当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，求平面PMC与平面PMg 的夹角的余弦值： (3)若AM⊥PQ,求直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围. 19.已知椭圆C:京+ =1的离心率e= v B2 2，左、右焦点分别为F,E,双曲线 x2-y2=1的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点， (1)求椭圆C的方程； (2)已知圆M:x2+y2= 的切线1与椭圆相交于4，B两点，那么以4B为直径的 3 圆是否通过定点？若是，求出定点的坐标：若不是，请说明理由， 试卷第4页，共4页