专题02 期末选填压轴题（高效培优期末专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上学期

专题02 期末选填压轴题 考点01 有理数、一元一次方程的综合应用 考点02 余角、补角的应用 考点03 线段与角综合辨析 考点04 一元一次方程的特殊解法、含参数问题 考点05 代数式，一次式的几何应用 考点06 分类讨论数轴、线段、角度等问题 考点07 材料、规律题Ⅰ 考点08 材料、规律题Ⅱ 考点09 新定义题 考点01 有理数、一元一次方程的综合应用 1．一件衣服原价元，则下列叙述正确的是（   ） A．将它降价后出售，售价为元 B．先将它上涨，再降，这时售价比原价便宜 C．先将它上涨，再降价，这时售价与原价相等 D．先将它上涨，再降价，这时售价比原价贵 2．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 3．某寄宿制学校为六年级学生提供住宿，如果每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍；如果每间宿舍安排住4人，就会有42人没有床位．为确保每个学生都能入住，以下方案中最合理的是（   ） A．每间宿舍安排住5人 B．其中34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人 C．其中20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 D．其中21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 4．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮半斗，相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．”（注：古代一斗是10升）译文：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在遇到第3个朋友后，李白正好喝光了壶中的酒，请问各位，壶中原有酒 升． 5．已知和是互为相反数，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在2020年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（    ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．72 B．60 C．27 D．40 考点02 余角、补角的应用 7．如图，O是直线AB上一点，AOD=120, AOC=90,OE平分BOD，则图中彼此互补的角共有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 8．如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 9．如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 考点03 线段与角综合辨析 10．下列说法中错误的有（    ）． （1）一个锐角的余角比这个角大； （2）一个锐角的补角比这个角大； （3）一个钝角的补角比这个角大； （4）直角没有余角，也没有补角； （5）同角或等角的补角相等； （6）若与互余，与互余，则与也互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 12．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（   ） A．以为顶点的角共有15个 B．若，，则 C．若为中点，为中点，则 D．若平分，平分，，则 13．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 考点04 一元一次方程的特殊解法、含参数问题 14．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为 ． 15．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 16．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 17．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 考点05 代数式，一次式的几何应用 18．如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 19．当取不同值，代数式的值如下表所示，则的为 ． 1 2 4 1 20．一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ） A． B． C． D． 21．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 考点06 分类讨论数轴、线段、角度等问题 22．已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 23．一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点落在数轴上且到点B距离2个单位长度，则C点表示的数是 ． 24．在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 25．如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 26．如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 27．如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转射线，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与直线叠合时，两条射线停止旋转），经过 秒，的大小恰好是． 考点07 材料、规律题Ⅰ 28．用小木棒按如图所示的方式搭图形，那么第个图形需要小木棒 根． 29．由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 30．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是（    ） … A． B． C． D． 31．如图，以为端点画射线，，，，，，再从射线上某点开始逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将射线上所描的点依次记为1，2，3，4，5，6……那么第2025个点在射线 上． 32．观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 33．下列图形由大小相等的等边三角形组成：图1为一个白三角形；图2在图1外部，画了3个黑三角形；图3在图2外部，画了6个白三角形；图4在图3外部，画了9个黑三角形；图5在图4外部，画了12个白三角形；……；以此类推，那么图（为大于1的整数）在前一个图外部，画了 个三角形（用含有的代数式表示） 考点08 材料、规律题Ⅱ 34．仔细观察下列等式：第一个：；第二个：；第三个：；第四个：；第五个：；…，这些等式反映出自然数间的某种运算规律．设表示自然数，则第n个等式可表示为 ． 35．观察下列各式： ； ； 计算： ． 36．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式： ． （2）计算： ． 考点09 新定义题 37．阅读理解：截尾素数 73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数．如：73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7．具有这样性质的数叫“截尾素数”．巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质．在100以内的素数中，最大的截尾素数是 ． 38．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 39．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当 s时，Q为线段的“好点”． 40．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末选填压轴题 考点01 有理数、一元一次方程的综合应用 考点02 余角、补角的应用 考点03 线段与角综合辨析 考点04 一元一次方程的特殊解法、含参数问题 考点05 代数式，一次式的几何应用 考点06 分类讨论数轴、线段、角度等问题 考点07 材料、规律题Ⅰ 考点08 材料、规律题Ⅱ 考点09 新定义题 考点01 有理数、一元一次方程的综合应用 1．一件衣服原价元，则下列叙述正确的是（   ） A．将它降价后出售，售价为元 B．先将它上涨，再降，这时售价比原价便宜 C．先将它上涨，再降价，这时售价与原价相等 D．先将它上涨，再降价，这时售价比原价贵 【答案】B 【分析】本题考查了分数的应用，根据题意，分别求得上涨和下降后的价格，进而结合选项判断，即可求解． 【详解】解：一件衣服原价元， A. 将它降价后出售，售价为元，故该选项不正确，不符合题意； B. 先将它上涨，价格为，再降，价格为，这时售价比原价便宜，故该选项B正确，符合题意；C、D选项错误； 故选：B． 2．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，如图1表示的是的计算过程，则下图2表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 3．某寄宿制学校为六年级学生提供住宿，如果每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍；如果每间宿舍安排住4人，就会有42人没有床位．为确保每个学生都能入住，以下方案中最合理的是（   ） A．每间宿舍安排住5人 B．其中34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人 C．其中20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 D．其中21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，有理数四则运算的实际应用，理解数量关系，正确列式是解题的关键．设学校有宿舍x间，根据每间宿舍安排住6人，将会空出9间宿舍，每间宿舍安排住4人，就有42人没床位，由此可得宿舍的数量是不变的，列出方程求解出宿舍的间数和学生人数，再逐一判断即可． 【详解】解：设学校有宿舍x间， 根据题意：， 解得：，则（人） A、每间宿舍安排住5人，则（人），则空出间宿舍； B、34间宿舍每间安排5人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人），234-226=8人没有床位； C、20间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人）则有人没有床位； D、21间宿舍每间安排6人，剩余的宿舍每间安排4人，则（人），刚好住满，且每个学生都能入住， 故选项D最合理， 故选：D． 4．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，入店饮半斗，相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士，如何知原有．”（注：古代一斗是10升）译文：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒馆里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在遇到第3个朋友后，李白正好喝光了壶中的酒，请问各位，壶中原有酒 升． 【答案】 【分析】设壶中原有酒x升，根据题意可得，遇到第一个朋友后还剩升酒，遇到第二个朋友后还剩升酒，遇到第三个朋友后还剩升酒，根据李白遇到第三个朋友后喝光了壶中的酒列方程求出x的值即可． 本题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是找到等量关系，正确的列出方程． 【详解】设壶中原有酒x升，根据题意列方程得， ， ， ， ， ， ∴壶中原有酒升． 故答案为：． 5．已知和是互为相反数，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、相反数及非负数的性质：绝对值，熟知相反数的定义及绝对值的非负性是解题的关键． 先根据绝对值的非负性求出a，b的值，进而对所给代数式进行变形，并据此计算即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵和是互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 6．如图，在2020年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（    ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．72 B．60 C．27 D．40 【答案】D 【分析】根据表中的数据规律可设该三个数中间的那个数为，则其上方的数为，下方的数为，据此列出三数之和的代数式，然后对各项加以判断即可. 【详解】设该三个数中间的那个数为，则其上方的数为，下方的数为， ∴这三个数的和为：， 故其和必然为3的倍数， ∵72、60、27都为3的倍数，而40 不是3的倍数， ∴这三个数的和不可能为40， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握相关方法是解题关键. 考点02 余角、补角的应用 7．如图，O是直线AB上一点，AOD=120, AOC=90,OE平分BOD，则图中彼此互补的角共有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】首先根据条件计算出∠BOD=60°，∠COD=30°，∠DOE=∠EOB=30°，进而可得∠AOE=150°，然后根据补角定义分析即可． 【详解】解：∵∠AOD=120°，∠AOC=90°， ∴∠BOD=60°，∠COD=30°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE=∠EOB=30°， ∴∠AOE=150°， ∴∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE+∠COD=180°，∠AOE+∠DOE=180°，∠AOC+∠COB=180°，∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠COE=180°， 共6对， 故选C． 【点睛】此题主要考查了补角，以及角平分线的定义，关键是掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 8．如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 9．如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 考点03 线段与角综合辨析 10．下列说法中错误的有（    ）． （1）一个锐角的余角比这个角大； （2）一个锐角的补角比这个角大； （3）一个钝角的补角比这个角大； （4）直角没有余角，也没有补角； （5）同角或等角的补角相等； （6）若与互余，与互余，则与也互余． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据余角和补角的定义，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角进行解答即可． 【详解】（1）若已知的锐角＞等于45°，则它的余角＜等于45°．错误； （2）锐角的补角是钝角，正确； （3）一个钝角的补角一定是锐角，所以钝角的补角比这个角小，错误； （4）直角有补角，补角为90°，错误； （5）根据补角定义，同角或等角的补角相等，正确； （6）若与互余，与互余，则=，错误； 故选：D． 【点睛】本题考查的是余角和补角，熟知相关定义是解答此题的关键． 11．如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 12．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（   ） A．以为顶点的角共有15个 B．若，，则 C．若为中点，为中点，则 D．若平分，平分，，则 【答案】B 【分析】由于B选项中的结论是,而,因此只要判断和是否相等即可，根据,而,因此得到，由此得出B选项错误． 【详解】解：以O为顶点的角有个， 所以A选项正确； ， , ,即 , 所以B选项错误； 由中点定义可得：,, ， , , 所以C选项正确； 由角平分线的定义可得：,, , , , , , 所以D选项正确， 所以不正确的只有B， 故选：B. 【点睛】本题综合考查了角和线段的相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力． 13．如图，把放在量角器上，读得射线、分别经过刻度117和153，把绕点逆时针方向旋转到，下列三个结论：①；②若射线经过刻度27，则与互补；③若，则射线经过刻度45．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】结合题意，根据角的度量的性质，得及，从而推导得；根据角的和差的性质，计算得以及，从而完成求解． 【详解】∵射线、分别经过刻度117和153 ∴ 把绕点逆时针方向旋转到，得 ∵， ∴，即①正确； ∵射线经过刻度27 ∵ ∴射线经过刻度为： ∴ ∴ ∴，即②正确； ∵，且 ∴ ∴ ∴射线经过刻度为：，即③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的度量、补角、角的和差的性质，从而完成求解． 考点04 一元一次方程的特殊解法、含参数问题 14．关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键． 先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 15．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 16．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 17．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 考点05 代数式，一次式的几何应用 18．如图，四边形是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式的应用，关键根据三角形面积公式列代数式．从图中得到的底为b，高为3，的底为3，高为，再用三角形面积公式表示出阴影部分的面积． 【详解】解： ， 故选：A． 19．当取不同值，代数式的值如下表所示，则的为 ． 1 2 4 1 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，方程的解，由表格可得到①，②，③，通过可得，进而可得到结果． 【详解】解：由表可知，当时，，即①， 当时，，即②， 当时，，即③， 可得，，即， ， ， 故答案为：3． 20．一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为b，高为，由此列式得出答案即可． 【详解】解：由题意可知：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为b，高为， 长方体盒子的体积为． 故选：C． 【点睛】此题考查列代数式，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键． 21．如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为 ． 【答案】/ 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 考点06 分类讨论数轴、线段、角度等问题 22．已知，画射线，使与互补，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了补角的定义，互补的两个角的和等于，作出图形，根据互为补角的两个角的和等于求出的度数，再分射线在的内部与外部两种情况，然后求解即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， 如图，在的内部， ， 如图，在的外部时， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 23．一条数轴上有点A、B，点C在线段上，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A的对应点落在数轴上且到点B距离2个单位长度，则C点表示的数是 ． 【答案】2或0 【分析】本题主要考查数轴、数轴上两点间的距离公式、折叠的性质，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．由折叠可知，由题意可知点表示的数为10或6，设点C表示的数为x，再分点表示的数为10或6两种情况进行讨论，并依据列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知，， 点落在数轴上且到点B距离2个单位长度， ∴点表示的数为或， 设点C表示的数为x， 若点表示的数为10时， 此时，，， 则， 解得：， 即点C表示的数为2； 若点表示的数为6时， 此时，，， 则， 解得：， 即点C表示的数为0． 综上，点C表示的数为2或0． 故答案为：2或0． 24．在数轴上，点、在原点两侧且到原点的距离均为3厘米（点在点左侧）．现有动点、分别从、两点向右沿正半轴方向运动，速度分别为每秒4厘米和每秒2厘米，当、两点相距1厘米时，经过的时间是 秒． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及一元一次方程的应用，正确理解题意，注意分类讨论是解题的关键． 由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒，则由题意得秒或表示的数为，表示的数为，则，解方程即可． 【详解】解：由题意可得，表示，表示3，设运动时间为秒， 则秒时，表示的数为，表示的数为， 由题意得： ∴或， 分别解得：或， 故答案为：秒或秒． 25．如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当射线在内部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在外部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 26．如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 27．如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转射线，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与直线叠合时，两条射线停止旋转），经过 秒，的大小恰好是． 【答案】12或24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．经过秒，的大小恰好是，分和两种情况，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：经过秒，的大小恰好是， 依题意，得：或， 解得：或． 故答案为：12或24． 考点07 材料、规律题Ⅰ 28．用小木棒按如图所示的方式搭图形，那么第个图形需要小木棒 根． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形类规律题，明确题意，准确得到一般规律是解题的关键．根据题意可得第1个图形需要木棒根数是，第2个图形需要木棒根数是，第3个图形需要木棒根数是，，由此发现规律，第个图形需要木棒根数是，即可求解． 【详解】解：第1个图形需要木棒根数是， 第2个图形需要木棒根数是， 第3个图形需要木棒根数是， 由此发现规律，第个图形需要木棒根数是根， 故答案为：． 29．由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图有颗棋子，图有颗棋子，…，则图有 颗棋子． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．由题意可知：最里面的三角形的棋子数是，由内到外依次比前面一个多个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可． 【详解】解：第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， 第④个图形有颗棋子， …， 第个图形一共有颗棋子， 故答案为：． 30．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中与之间的关系是（    ） … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据前面三个图形中的数据再找出一般性的规律进而求解． 【详解】解：第一个图中最下方的数据3=21+1， 第二个图中最下方的数据6=22+2， 第三个图中最下方的数据11=23+3， … 第n个图中最下方的数据y=2n+n， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形中数字的规律问题，通过给定的前面几个图形的数据规律，通过类比的方式进而求出一般性的规律． 31．如图，以为端点画射线，，，，，，再从射线上某点开始逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将射线上所描的点依次记为1，2，3，4，5，6……那么第2025个点在射线 上． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律题，找到规律是解题的关键．根据题意可得，1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，…，每六个一循环．根据，即可求解． 【详解】解：∵1在射线上，2在射线上，3在射线上，4在射线上，5在射线上，6在射线上，7在射线上，… ∴每六个一循环． ∵， ∴所描的第2025个点所在射线和3所在射线一样． ∴所描的第2025个点在射线上． 故答案为：． 32．观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算的运用，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据题意，每个正方形的都有4个数字，由此可得应该标在第个正方形的右下角，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，每个正方形的都有4个数字， ∴， ∴应该标在第个正方形的右下角， 故选：B ． 33．下列图形由大小相等的等边三角形组成：图1为一个白三角形；图2在图1外部，画了3个黑三角形；图3在图2外部，画了6个白三角形；图4在图3外部，画了9个黑三角形；图5在图4外部，画了12个白三角形；……；以此类推，那么图（为大于1的整数）在前一个图外部，画了 个三角形（用含有的代数式表示） 【答案】3(n-1). 【分析】结合图形，通过5幅图中，后一幅图比前一幅增加的三角形数量与序数之间的关系总结规律即可解答. 【详解】解：观察图形可知， 第2幅图比第1幅图增加的三角形数量：3=3×1， 第3幅图比第2幅图增加的三角形数量：6=3×2， 第4幅图比第3幅图增加的三角形数量：9=3×3， 第5幅图比第4幅图增加的三角形数量：12=3×4， 如此可得规律为，图（为大于1的整数）比前一个图多了3(n-1)个三角形， 故答案为3(n-1). 【点睛】本题考查了规律的探索，通过示例图形，根据问题进行规律的总结是解题关键. 考点08 材料、规律题Ⅱ 34．仔细观察下列等式：第一个：；第二个：；第三个：；第四个：；第五个：；…，这些等式反映出自然数间的某种运算规律．设表示自然数，则第n个等式可表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律．根据观察等式可得一个自然数的平方减1，等于相邻两个自然数的乘积，根据规律用字母n表示出来． 【详解】解：∵第一个：； 第二个：； 第三个：； 第四个：； 第五个：； …， ∴第n个：． 故答案为：． 35．观察下列各式： ； ； 计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及裂项相消法的应用，熟练掌握通过观察式子找到规律并运用裂项相消法计算是解题的关键． 先根据所给式子的规律，将每一项进行变形，然后通过裂项相消的方法进行计算． 【详解】解：由题意得，原式 ． 36．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式： ． （2）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题； （1）首先根据前四个等式的特征，可得第个等式的分子是n+2，分母是；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出的值即可解答． 【详解】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式： 故答案为：； （2）∵ ∴ 故答案为：． 考点09 新定义题 37．阅读理解：截尾素数 73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数．如：73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7．具有这样性质的数叫“截尾素数”．巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质．在100以内的素数中，最大的截尾素数是 ． 【答案】79 【分析】根据题意，写出在100以内的素数，结合截尾素数的定义，找出最大的截尾素数即可求解． 【详解】解：在100以内的素数中，较大的素数分别为97，89，83，79，73，71，67等等， 其中是截尾素数的是79，73等等， 故100以内的素数中最大的截尾素数是79． 【点睛】本题考查了新定义，掌握新定义，以及100以内的素数是解题的关键． 38．如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 39．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当 s时，Q为线段的“好点”． 【答案】或8 【分析】根据题意，得；分、、三种情况分析，分别列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动 ∴点P到达终点时，用时为： ∵点P，Q同时出发，点P速度点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止 ∴ 如图，Q为线段的“好点” ∵点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动 ∴，则 根据题意，分、、三种情况分析； 当时， ∴ ∵ ∴符合题意； 当是， ∴ ∵ ∴不符合题意； 当时， ∴ ∵ ∴符合题意 故答案为：或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的性质，从而完成求解． 40．如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $