专题03 坐标平面上的直线（期末复习知识清单）高二数学上学期沪教版选择性必修第一册

专题03 坐标平面上的直线（8知识&14题型&3易错&3方法清单） 【清单01】直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即（） （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【清单02】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单03】直线方程 （1）点斜式方程形式： （2）斜截式方程形式： （3）两点式方程形式： （4）截距式方程形式： （5）直线的一般式： 【清单04】两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【清单05】两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【清单06】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【清单07】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【清单08】对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 【题型一】斜率与倾斜角的变化关系 【例1】（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【变式1-1】（21-22高二上·上海松江·期末）若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是 . 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 【变式1-3】（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型二】直线与线段相交关系求斜率范围 【例2】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【变式2-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【变式2-2】（23-24高二上·广东江门·月考）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 【变式2-3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型三】斜率公式的应用 【例3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【变式3-1】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式3-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【变式3-3】（22-23高二上·河南·月考）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【题型四】几种特殊形式的直线方程 【例4】（25-26高二上·上海浦东新·月考）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【变式4-1】（2024高二上·全国·专题练习）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【变式4-2】（24-25高二上·广东·月考）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 【变式4-3】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【题型五】直线中的平行关系 【例5】（2025·上海黄浦·一模）若直线与平行，则 ． 【变式5-1】（25-26高三上·上海·期中）直线与直线平行，则实数 ． 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 【变式5-3】（25-26高二上·上海松江·期中）直线与直线平行，则实数 ． 【题型六】直线中的垂直关系 【例6】（25-26高二上·上海·期中）设，若直线与直线垂直，则 ． 【变式6-1】（25-26高三上·上海·期中）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【变式6-2】（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【变式6-3】（25-26高二上·天津·月考）“”是“直线与直线互相垂直的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型七】由平行（垂直）关系求直线方程 【例7】（24-25高二上·上海·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【变式7-1】（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【变式7-2】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）求过点且垂直于直线的直线方程为 ． 【题型八】直线过定点问题 【例8】（24-25高一下·上海·期末）无论取何实数，直线都经过定点 【变式8-1】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 【变式8-2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式8-3】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【题型九】直线围成图形面积 【例9】（22-23高二上·山西太原·期中）已知三点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求的面积. 【变式9-1】（23-24高二上·上海奉贤·月考）已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【变式9-2】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【变式9-3】（22-23高二上·上海普陀·月考）过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 【题型十】点到直线距离问题 【例10】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 . 【变式10-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为 ． 【变式10-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【变式10-3】（25-26高二上·上海·月考）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【题型十一】求到两点距离相等的直线 【例11】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【变式11-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式11-2】（13-14高一下·江苏泰州·期中）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【变式11-3】（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【题型十二】点关于直线的对称点 【例12】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【变式12-1】（22-23高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 【变式12-2】（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 【变式12-3】（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【题型十三】直线关于点对称的直线 【例13】（2022·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式13-3】（21-22高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【题型十四】直线关于直线对称的直线 【例14】（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式14-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知直线. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 【变式14-3】（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【题型一】错误理解斜率与倾斜角间的关系 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）直线的倾斜角为 ． 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）已知，直线经过点，则直线的倾斜角为 ．（结果用arctan表示） 【变式1-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【变式1-3】（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是 ． 【题型二】两平行直线间的距离公式应用错误 【例2】（25-26高二上·上海·期中）直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·福建·月考）已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 【变式2-3】（25-26高二上·上海徐汇·月考）小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为 . 【题型三】对于直线过定点认识不清 【例3】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是 . 【变式3-1】（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【变式3-2】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【题型一】求斜率的取值范围 求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界值存在。接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临界值的两侧。简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧。 具体步骤如下： 第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点. 第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率. 第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围. 【例1】（25-26高二上·上海·月考）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是 . 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【题型二】已知两直线平行或垂直求参数 当需要通过两直线的平行或垂直关系来求解参数的值时，一般的做法是首先考察这两条直线的斜率。 如果两条直线平行，那么它们的斜率相等；如果两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1。 这里需要特别注意，当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时应单独考虑。 具体步骤如下： 第一步：将两条直线的方程均化成斜截式． 第二步：根据两直线平行或垂直，列出方程（组）． 第三步：解方程（组），求出参数的值，由两直线平行求参数后要检验两直线是否重合． 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【变式2-1】（25-26高二上·上海·月考）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【变式2-2】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知严格单调数列，已知直线与直线平行，则数列（    ） A．可能为等差数列 B．一定为等差数列 C．可能为等比数列 D．一定为等比数列 【变式2-3】（25-26高二上·上海松江·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【题型三】对称问题的求解策略 1．关于中心对称问题，只需运用中点坐标公式就可以解决． 2．解决点关于直线对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． 3．直线关于直线对称有以下两种处理方法： (1)转化为点关于直线对称，在已知直线上取两点，这两点的对称点确定的直线即为对称直线； (2)可以分已知直线与对称轴相交和平行两种情况处理，先求已知直线上一点(不在对称轴上)的对称点，若相交，过对称点与交点的直线即为对称直线，若平行，过对称点与已知直线平行的直线即为对称直线． 4．光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称． 5．特殊的对称问题：点(a，b)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x和y＝－x的对称点分别是(a，－b)，(－a，b)，(－a，－b)，(b，a)，(－b，－a)；点(a，b)关于y＝±x＋m的对称点为(±(b－m)，±a＋m)． 【例3】（25-26高二上·河南南阳·月考）点关于直线对称的点在x轴上，则 ． 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【变式3-2】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【变式3-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 坐标平面上的直线（8知识&14题型&3易错&3方法清单） 【清单01】直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即（） （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 【清单02】直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 【清单03】直线方程 （1）点斜式方程形式： （2）斜截式方程形式： （3）两点式方程形式： （4）截距式方程形式： （5）直线的一般式： 【清单04】两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【清单05】两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【清单06】点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【清单07】两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【清单08】对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 【题型一】斜率与倾斜角的变化关系 【例1】（23-24高二上·上海·期末）直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为， 又因为，所以， 故答案为：. 【变式1-1】（21-22高二上·上海松江·期末）若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案. 【详解】，且， 或， 即的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二上·上海·期末）若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】因为向量是直线的一个法向量， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线l的斜率，设直线的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 【题型二】直线与线段相交关系求斜率范围 【例2】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24高二上·广东江门·月考）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解临界情况，再根据直线的斜率关系求解即可. 【详解】 由题意，设，则，. 故若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【题型三】斜率公式的应用 【例3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【详解】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式3-2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 【变式3-3】（22-23高二上·河南·月考）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【题型四】几种特殊形式的直线方程 【例4】（25-26高二上·上海浦东新·月考）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 【变式4-1】（2024高二上·全国·专题练习）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·广东·月考）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 【答案】A 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程. 【详解】由，得，则的垂心为，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 故选：A 【变式4-3】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 【题型五】直线中的平行关系 【例5】（2025·上海黄浦·一模）若直线与平行，则 ． 【答案】 【分析】根据直线平行列方程求解的值，检验平行即可. 【详解】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高三上·上海·期中）直线与直线平行，则实数 ． 【答案】 【分析】利用两直线平行的性质来求参数即可. 【详解】由直线与直线平行，可得， 当时，直线与直线不重合，满足平行， 故答案为： 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知直线与直线平行， 则实数的值是 . 【答案】 【分析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况. 【详解】已知直线与直线平行，则，解得：， 当时，直线方程为：，即与直线不重合，且平行，满足条件； 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·上海松江·期中）直线与直线平行，则实数 ． 【答案】或3 【分析】利用两条直线平行的系数关系可得答案. 【详解】由直线与直线平行， 可得且，解得或． 故答案为：或3． 【题型六】直线中的垂直关系 【例6】（25-26高二上·上海·期中）设，若直线与直线垂直，则 ． 【答案】2 【分析】根据直线垂直得到方程，求出答案. 【详解】直线与直线垂直， 故，解得. 故答案为：2 【变式6-1】（25-26高三上·上海·期中）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】0或 【分析】根据两直线垂直的系数关系列方程求解即可得实数的值. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：0或. 【变式6-2】（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 【变式6-3】（25-26高二上·天津·月考）“”是“直线与直线互相垂直的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线垂直的判定列方程求参数值，再由充分、必要性定义及推出关系判断题设条件间的关系. 【详解】由两直线垂直，则，整理得， 所以或，经检验均满足题设， 所以“”是“直线与直线互相垂直的充分不必要条件. 故选：A 【题型七】由平行（垂直）关系求直线方程 【例7】（24-25高二上·上海·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线平行可设，根据直线经过点可得结果. 【详解】设直线的方程为， ∵直线经过点，∴，解得， ∴直线的方程是. 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 【变式7-2】（2025·上海奉贤·一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】先根据向量垂直得出斜率，再点斜式得出直线方程进而得出一般式. 【详解】因为向量，则与垂直的直线方程斜率为， 则经过点且与垂直的直线方程为， 即得 故答案为： 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期中）求过点且垂直于直线的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线垂直的直线方程为，再把点代入，即可求出值，得到所求方程． 【详解】垂直于直线的直线可设为， 将点代入可得，得， 所以所求的直线方程为. 故答案为：. 【题型八】直线过定点问题 【例8】（24-25高一下·上海·期末）无论取何实数，直线都经过定点 【答案】 【分析】将已知直线化为，结合，可得方程组，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即直线， 由于，故， 即无论取何实数，直线都经过定点， 故答案为： 【变式8-1】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知点，点，直线与线段PQ相交，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出定点，再求出，结合图象可得. 【详解】直线恒过点， 则，， 直线为过点且与轴垂直的直线， 则直线从转到时，k的取值范围为， 直线从转到时，k的取值范围为， 则直线与线段PQ相交时k的取值范围为. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式8-3】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 【题型九】直线围成图形面积 【例9】（22-23高二上·山西太原·期中）已知三点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出AB边中点坐标，再利用两点式求出边上中线所在直线的方程； （2）利用点到直线的距离求出边的高，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）设边的中点为，则点，则边上中线过点与点，则，即. （2）直线，点到直线的距离为 . 【变式9-1】（23-24高二上·上海奉贤·月考）已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标可得答案； （2）求出，利用三角形的面积公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行， 所以三角形中边上的高所在直线的方程为； （2）， 由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5， 所以三角形的面积为.    【变式9-2】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 【变式9-3】（22-23高二上·上海普陀·月考）过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据点斜式得到答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到，得到最值和直线方程. （3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算，得到，，讨论得到答案. 【详解】（1）若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即； （2）法一：当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线，， 得，得， ， ， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. 法二：前面部分同法一， 注意到，且反向， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. （3）当直线斜率不存在时，，，； 当直线斜率存在时，，，， ， 即， 当时，方程有1解，此时； 当时，， 当时，，方程无解； 当时，，，方程有1解； 当时，，，对称轴，且，方程有两个大于1的解. 当时，，开口向下，，，方程有1个大于1的解，一个小于的解. 综上所述： 当时，0条；当时，1条；当时，2条. 【题型十】点到直线距离问题 【例10】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 【变式10-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果. 【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离， 因为到直线的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式10-2】（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 【变式10-3】（25-26高二上·上海·月考）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两直线垂直斜率乘积为得到直线斜率，然后写出直线方程，联立方程即可解得点的坐标； （2）由点所在直线方程设出点坐标，然后写出中点坐标，代入中点所在直线方程，求得点坐标，结合（1）中直线方程，用点到直线距离公式即可求得结果. 【详解】（1）由题意可知直线，即， 直线，则， ∴，则直线，即， 联立方程组得，解得， 即得. （2）点在直线上，设点， 则中点在直线上， 则，解得，即， ∴由（1）可得点到直线的距离.    【题型十一】求到两点距离相等的直线 【例11】（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．无数种 【答案】C 【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】 由题意可得， 所以当直线的斜率不存在时可得； 当直线的斜率为零时可得或， 故选：C. 【变式11-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 【变式11-2】（13-14高一下·江苏泰州·期中）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据直线与直线的位置关系，分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案. 【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为， 当直线时，显然点，到直线的距离相等，如下图：    则此时，由，且直线过， 则直线的方程为，整理可得； 当直线与直线相交时，作于，于，如下图：      若，由，，则， 可得，即为的中点，其坐标为， 此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得. 故答案为：或. 【变式11-3】（25-26高二上·上海·月考）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可. 【详解】（1）由，可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为4和2，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时，到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 【题型十二】点关于直线的对称点 【例12】（23-24高二上·上海·期末）已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 【变式12-1】（22-23高二上·上海长宁·期末）已知，两点关于直线对称，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点，由题意可得，求解即可. 【详解】解：设点， 因为直线的斜率为， 则有， 解得：， 所以点的坐标为. 故答案为： 【变式12-2】（25-26高二上·上海·期中）设，点在轴上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求得关于轴的对称点，可知当取最小值即为. 【详解】由题意得：点关于轴的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 又， 则， 故答案为：. 【变式12-3】（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    【题型十三】直线关于点对称的直线 【例13】（2022·陕西宝鸡·一模）直线关于点对称的直线方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案 【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 【变式13-1】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 【变式13-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式13-3】（21-22高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果. 【详解】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 【题型十四】直线关于直线对称的直线 【例14】（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解. 【详解】联立，得， 取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 【变式14-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 【变式14-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知直线. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若，求直线关于直线对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，求出两直线的交点坐标，根据点的位置可求得实数的取值范围.综合可得出实数的取值范围； （2）设为直线关于直线对称的直线上任意一点，求得关于直线的对称点坐标，代入的方程即可求得直线方程. 【详解】（1）当时，直线的方程为，符合题意； 当时，直线的方程为，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）当时，的直线方程为， 设为直线关于直线对称的直线上任意一点，关于关于直线的对称点坐标， 由题意可得，整理得， 解得，所以， 即，即. 【变式14-3】（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【题型一】错误理解斜率与倾斜角间的关系 【例1】（25-26高二上·上海浦东新·月考）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】由直线倾斜角定义可得答案. 【详解】直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期中）已知，直线经过点，则直线的倾斜角为 ．（结果用arctan表示） 【答案】 【分析】代入，求出，得到直线的倾斜角. 【详解】将代入中得，解得， 故直线的倾斜角为. 故答案为： 【变式1-2】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【答案】//1.125 【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可. 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 【变式1-3】（2025·上海静安·一模）已知直线与，则直线与的夹角大小是 ． 【答案】/ 【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角. 【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，由，可得； 所以直线与的夹角. 故答案为：. 【题型二】两平行直线间的距离公式应用错误 【例2】（25-26高二上·上海·期中）直线与直线之间的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两平行直线间距离公式进行求解. 【详解】直线，即直线， 直线与直线之间的距离为. 故选：C 【变式2-1】（25-26高二上·福建·月考）已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 . 【答案】/ 【分析】先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，所以直线可化为， 所以两平行直线间的距离是. 故答案为： 【变式2-2】（25-26高二上·上海·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时， ． 【答案】2 【分析】先分别对直线进行变形，求出每条直线恒过的定点，再利用两点间距离公式求出两定点间的距离，该距离即为两直线间的最大距离，最后利用两定点的连线与的垂直关系求出直线的斜率，进而求出． 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 【变式2-3】（25-26高二上·上海徐汇·月考）小马虎同学求直线2▇和直线▇之间的距离，其中▇中的数相同，但被墨迹污染，小马虎同学将转化为：▇，由，求得和之间的距离为1，若小马虎同学求解的结果是正确的，则▇中的数字为 . 【答案】0 【分析】设的系数为，利用平行线间的距离公式求出可得答案. 【详解】直线的方程为▇，直线▇， 设的系数为，此时直线与直线之间的距离为 ，解得. 此时，直线的方程为，直线， 它们之间的距离为1，符合题意， 故▇中的数字为0. 故答案为：0. 【题型三】对于直线过定点认识不清 【例3】（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知实数，，成等差数列（，不同时为0），则点到直线的最大距离是 . 【答案】 【分析】由等差数列可得，分析可知直线过定点，即可得点到直线距离的最大值. 【详解】因为实数，，成等差数列（，不同时为0）， 则，即， 直线即为， 可得，可知直线过定点， 所以点到直线的最大距离是. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高二下·上海松江·月考）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把直线的方程化为，进而求出点的坐标. （2）确定点到直线的距离最大时直线的位置，再求出直线的方程. 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【题型一】求斜率的取值范围 求解斜率的取值范围问题时，通常的做法是先通过关键点计算出相关的斜率值，这些值往往作为临界值存在。接着，结合图形的直观分析，判断斜率的取值范围是位于这些临界值的中间区域，还是分布在临界值的两侧。简而言之，就是先找临界斜率，再结合图形确定取值范围是居中还是分居两侧。 具体步骤如下： 第一步：确定直线与几何图形有公共点的边界点. 第二步：求出已知点与边界点所在直线的斜率. 第三步：分析直线的变化范围，写出直线的斜率的取值范围. 【例1】（25-26高二上·上海·月考）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 【变式1-1】（25-26高二上·上海·月考）已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二下·上海·月考）直线与过两点的线段不相交， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断直线过定点，分别求得和的斜率，结合图形，由题意只需使直线的斜率满足：或，求解即得参数a的取值范围. 【详解】因直线经过定点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 由图知，要使直线与过两点的线段不相交， 则直线的斜率满足：或， 解得或，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 【题型二】已知两直线平行或垂直求参数 当需要通过两直线的平行或垂直关系来求解参数的值时，一般的做法是首先考察这两条直线的斜率。 如果两条直线平行，那么它们的斜率相等；如果两条直线垂直，那么它们的斜率之积为-1。 这里需要特别注意，当直线垂直于x轴时，斜率不存在，此时应单独考虑。 具体步骤如下： 第一步：将两条直线的方程均化成斜截式． 第二步：根据两直线平行或垂直，列出方程（组）． 第三步：解方程（组），求出参数的值，由两直线平行求参数后要检验两直线是否重合． 【例2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）已知直线，直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离. 【答案】(1)或 (2)，距离为 【分析】（1）由垂直得到，解出的值； （2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离. 【详解】（1）因为，所以，即，解得或， 所以实数的值为或. （2）因为，所以，即，解得或， 当时，，即，此时与重合，不合题意； 当时，即，即，符合题意， 此时平行直线和之间的距离. 【变式2-1】（25-26高二上·上海·月考）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求的值； (2)若线段与线段有公共点，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）作出示意图，求得直线与的方程，又在直线上，求得直线与的交点的坐标，直线与的交点的坐标，可求得的取值范围. 【详解】（1）因为直线与直线平行，所以， 所以，解得，经检验两直线不重合，所以. （2）由题意可得，， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为， 又是直线上的动点， 记直线与直线的交点为，直线与直线的交点为， 因为直线的方程为，令，可得，即， 因为直线的方程为，令，可得，即， 当在上移动时，线段与线段有公共点，故的取值范围为.    【变式2-2】（25-26高二上·上海徐汇·月考）已知严格单调数列，已知直线与直线平行，则数列（    ） A．可能为等差数列 B．一定为等差数列 C．可能为等比数列 D．一定为等比数列 【答案】C 【分析】利用直线平行的条件得到，结合等差数列的性质判断A，B，举特例判断C，举反例判断D. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，而是严格单调数列，可得该数列所有项非， 对于A，B，若是等差数列，设公差为， 可得，解得，与题意不符， 则数列不可能为等差数列，故A，B错误， 对于C，令，则， 满足，则数列可能为等比数列，故C正确， 对于D，令，满足， 但此时不是等比数列，则数列不一定为等比数列，故D错误. 故选：C 【变式2-3】（25-26高二上·上海松江·期中）已知直线与直线，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零），求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m的值； （2）先将点代入中求出，再设直线为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以，解得或； （2）将点代入中，，解得，则， 因为直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数（截距均不为零）， 设直线为，代入，可得，解得， 所以直线为，即. 【题型三】对称问题的求解策略 1．关于中心对称问题，只需运用中点坐标公式就可以解决． 2．解决点关于直线对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． 3．直线关于直线对称有以下两种处理方法： (1)转化为点关于直线对称，在已知直线上取两点，这两点的对称点确定的直线即为对称直线； (2)可以分已知直线与对称轴相交和平行两种情况处理，先求已知直线上一点(不在对称轴上)的对称点，若相交，过对称点与交点的直线即为对称直线，若平行，过对称点与已知直线平行的直线即为对称直线． 4．光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称． 5．特殊的对称问题：点(a，b)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x和y＝－x的对称点分别是(a，－b)，(－a，b)，(－a，－b)，(b，a)，(－b，－a)；点(a，b)关于y＝±x＋m的对称点为(±(b－m)，±a＋m)． 【例3】（25-26高二上·河南南阳·月考）点关于直线对称的点在x轴上，则 ． 【答案】 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 所以，解得，． 故答案为： 【变式3-1】（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 【变式3-2】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 【变式3-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解； （2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程 【详解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $