精品解析：云南师范大学附属镇雄中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025—2026年（上学期）云师大附属镇雄中学 高二年级期中考·数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是虚数单位，复数=（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及模的定义求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 2. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（ ） A. 2 B. 1.2 C. 2.4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式计算得解. 【详解】依题意，直线过圆的圆心，则，解得， 所以圆心到直线的距离为. 故选：A 3. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，，可得为直角三角形，进而可得解. 【详解】由，得，， 即，， 又， 则，， 所以为直角三角形，， 所以， 故选：B. 4. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出正方体的体对角线长，再利用球的表面积公式计算得解. 【详解】由棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，得该球的直径等于正方体的体对角线长， 所以该球的表面积为. 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】若，则 若，则， 将两式子相加可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故C正确. 故选：C 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 7. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围. 【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示， 曲线与轴的交点为， 而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：D. 二、多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 平面与平面的夹角为 D. 点到面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，证明两两垂直，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解；B选项，证明⊥平面，故可取为平面的法向量，利用线面角的向量求解公式进行求解；C选项，求出两平面的法向量，利用相关公式求出两平面夹角；D选项，利用点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，因为平面，平面， 所以，， 又四边形为正方形，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设直线与所成的角大小为，则， 故，A正确； B选项，因为四边形为正方形，所以⊥， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角为，B正确； C选项，设平面的法向量为， 则，令得， 故， 平面的法向量为， 故， 故平面与平面的夹角不为，C错误； D选项，由C选项知，平面的法向量为， 故点到面的距离，D正确. 故选：ABD 10. 已知直线与,则下列说法正确的是（ ） A. 与交点坐标为 B. 过与的交点且与垂直的直线方程为 C. ,与轴围成的三角形的面积是 D. 与的交点在圆外 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A列方程组求解即可;对于B,先求出直线的斜率,再写出点斜式方程即可判断;对于C,求出,与轴的交点,利用三角形面积公式求解即可;对于D,将交点坐标代入判断即可. 【详解】对于A,,即与交点坐标为,故A错误; 对于B,因为直线的斜率为,所以与垂直的直线的斜率为, 则过与的交点且与垂直的直线方程为, 化为一般式为:,故B正确; 对于C,设与交点为,,与轴的交点分别为,,与轴围成的三角形为,如图: 当时,可得, 所以,故C正确; 对于D,因为,所以与的交点在圆内,故D错误. 故选:BC. 11. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】化简圆的方程，求得圆心，半径为，分别设、和，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定A、C正确，B不正确；改写，结合其几何意义和点与圆的性质，可判定B 不正确. 【详解】由圆的方程，可化为， 设圆的圆心为，可得圆心坐标为，半径为， 对于A中，设，即，由，解得， 即的最大值为，所以A正确； 对于B中，由，表示原点到圆上点的距离， 又由，则的最大值为，所以的最大值为， 所以B不正确； 对于C中，设，即，由，解得， 即的最大值为，所以C正确； 对于D中，设，即，由，解得或，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点作圆：的切线，切线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得过点的切线与垂直，先求得，即可求得切线的斜率，再根据点斜式即可求得切线的方程． 【详解】因为点在圆上，所以过点的切线与垂直， 又因为，故切线的斜率， 所以切线的方程为，即． 故答案为：． 13. 若正数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，然后根据二次不等式的解法即得. 【详解】∵， ∴，当且仅当时等号成立， 整理得， 解得或（舍去） ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】运用基本不等式的注意点 （1）应用基本不等式的前提是“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可； （2）运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如逆用就是；逆用就是等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 14. 二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为________. 【答案】60°## 【解析】 【分析】先设平面与平面的夹角为,因为,,所以,,根据空间向量得,两边平方代入数值即可求出答案. 【详解】设平面与平面的夹角为,因为,, 所以,, 由题意得, 所以 , 所以,即, 所以,即平面与平面的夹角为. 故答案为:. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)联立求出点坐标，再根据两直线平行斜率相等即可求解;(2)根据两直线垂直斜率之积等于以及点到直线距离公式即可求解. 【小问1详解】 由解得,所以， 设所求直线为, 因为直线过点，所以解得， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 直线 与直线垂直,所以可设为， 又因为到 的距离等于，解得或， 所以所求直线方程为或. 16. 如图，在圆内接中，内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求； （2）若点是劣弧一点，由圆内接四边形的性质可知：，，，，求四边形的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简，结合角的范围即可求解； （2）在中利用余弦定理求出，已知可得，再用余弦定理求出，可求得和面积，即可求解 【小问1详解】 由结合正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，则； 【小问2详解】 在中，，，， 则由余弦定理得，解得， 因为，，，均在圆上，且， 所以，在中，，， 所以由余弦定理可得， 解得或（舍）， 所以四边形的面积. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点在棱上. （1）求证：平面平面； （2）当，且时，确定点的位置，即求出的值. 【答案】（1）∵正方形ABCD，则. 平面,平面，所以. ，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证，所以可得平面，从而问题得证；(2)由条件易得三棱锥的高，因为，所以可求出底面的面积，可求PE，从而可确定点E的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，所以平面，即三棱锥的高 在直角三角形ADB中，DB=PD=2，则PB= 中斜边PB的高 即E为PB的中点. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）6人 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 19. 设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，记圆的圆心轨迹为. （1）求的方程； （2）过曲线上一点作两条直线，，且点，点都在曲线上，若直线的斜率为，记直线的斜率为，直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值请求出值，并说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，，理由如下： 设直线，，， 联立直线与双曲线， 得，，即 且，， 则 ， 即为定值，. 【解析】 【分析】（1）结合圆与圆的内切与外切的性质可得，再结合双曲线的定义可得解； （2）联立直线与双曲线，结合韦达定理可表示，进而可确定. 【小问1详解】 设圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为 圆与两圆，中的一个内切，另一个外切， 可知，，或， 则， 所以动点到定点与的距离的绝对值为定值， 即动点的轨迹为双曲线，且，， 所以轨迹的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】解决直线与双曲线的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； (2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026年（上学期）云师大附属镇雄中学 高二年级期中考·数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是虚数单位，复数=（ ） A. B. C. 5 D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则圆心到直线的距离为（ ） A. 2 B. 1.2 C. 2.4 D. 1 3. 已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 7. 一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题．（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 平面与平面的夹角为 D. 点到面的距离为 10. 已知直线与,则下列说法正确的是（ ） A. 与交点坐标为 B. 过与的交点且与垂直的直线方程为 C. ,与轴围成的三角形的面积是 D. 与的交点在圆外 11. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点作圆：的切线，切线的方程为__________． 13. 若正数满足，则的取值范围是_____． 14. 二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线和直线的交点为. （1）求过点且与直线平行的直线方程； （2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为，求直线的方程. 16. 如图，在圆内接中，内角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求； （2）若点是劣弧一点，由圆内接四边形的性质可知：，，，，求四边形的面积. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点在棱上. （1）求证：平面平面； （2）当，且时，确定点的位置，即求出的值. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 19. 设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，记圆的圆心轨迹为. （1）求的方程； （2）过曲线上一点作两条直线，，且点，点都在曲线上，若直线的斜率为，记直线的斜率为，直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值请求出值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $