22.3《实际问题与二次函数》第三课时 课件2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与二次函数”中的抛物线形（拱桥）问题，通过生活中的拱桥、隧道、喷泉等实例导入，衔接二次函数图像与性质的前期知识，以“建立坐标系—转化坐标—求解析式—解决问题”为学习支架，引导学生从实际情境抽象出数学模型。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言的培养。以生活实例激发学生用数学眼光观察现实（如拱桥的抛物线结构），通过程序化解题步骤（如拱桥问题中建系求解析式）培养数学思维中的推理与运算能力，用二次函数模型解决实际问题（如隧道货车通行判断）强化模型意识与应用意识。学生能提升抽象与解决问题能力，教师可借助丰富例题和步骤化流程提高教学效率。

22.3 实际问题与二次函数 课时3 抛物线形（拱桥）问题 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题. 2.建立恰当的直角坐标系利用二次函数模型将 实际问题转化为数学问题. 生活中的拱桥 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 生活中的隧道 生活中的隧道 喷泉 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？ 分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数． 为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）． 解：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2． 由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－． 这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2． 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3． 当y＝－3时，－x2＝－3，解得x1＝，x2＝－， 所以当水面下降1 m时，水面宽度为2 m． 水面下降1 m，水面宽度增加(－4) m． 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 还有其他建坐标系的方式吗？ x y O x y O x y O 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上． 解决形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； （3）恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式； （4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解． 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－ x2＋2x＋c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； 解：根据题意得C(0，4)， 把C(0，4)代入y＝－ x2＋2x＋c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝－ x2 ＋2x＋4． （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ ∴这辆货车能安全通过． ∴对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)， 当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， 解：抛物线解析式为y＝－ x2＋2x＋4＝－ (x－6)2＋10， 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 例2 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．一名运动员起跳后，他的飞行路线如图所示，当他的水平距离为15 m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45 m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60 m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）． ∵与x轴交于点A(60，0)， 解：设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为(15，45)， ∴y＝a(x－15)2＋45． ∴0＝a(60－15)2＋45， ∴这名运动员起跳时的竖直高度为40米． 解得：a＝－ ． ∴解析式为y＝－ (x－15)2＋45， 令x＝0得：y＝－ (0－15)2＋45＝40， ∴点B的坐标为(0，40)， 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 例3 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米． （1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 设y＝a(x－8)2＋8， x y 解：如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)． 将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8， 解得 故函数的解析式为 (0≤x≤16)． （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明． 即允许的最大高度为6米， 解：由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离x＝7.5－3.5＝4． 当x＝4时，y＝6， 而5.8＜6，故该车辆能通行．但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶． 8 16 4 7.5 x y 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 4 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. 2 x y O 16 3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A.50m B.100m C.160m D.200m C 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 4. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 18 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5. 解得 故所求表达式为 (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y x O -450 450 19 在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会叠加。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习平面直角坐标系不仅需要记忆公式，更需要掌握完善的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。同底数幂除法的教学重点应该放在如何记录上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在代数证明的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 (2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长. y x O -450 450 解：当x=450－100=350（m）时，得 当x=450－50=400（m）时，得 20 抛物线形 问题 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 转化的关键 $