专题11 压轴题专项（期末真题汇编，福建专用）八年级数学上学期

专题11 压轴题专项 9大高频考点概览 考点01 三角形内外角定理综合 考点02 利用角平分线性质构造辅助线 考点03 利用等腰三角形三线合一性质构造辅助线 考点04 与三角形有关的新定义题 考点05 分式新定义题 考点06 乘法公式与因式分解因新定义题 地 城 考点01 三角形内外角定理综合 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、解答题 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知，点A在直线上，，分别与直线交于点B，C，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，与的角平分线交于点G，求的度数； (3)如图3，在内作射线，使，以点C为端点作射线，若，试探究并直接写出与的数量关系式． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；    ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；    (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；    (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    地 城 考点02 利用角平分线性质构造辅助线 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 地 城 考点03 利用等腰三角形三线合一性质构造辅助线 1、 填空题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ． 三、解答题 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 地 城 考点04 与三角形有关的新定义题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）新定义：若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”． (1)下列三角形一定是“倍角三角形”的是__________（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点P，交于点E，连接．请判断是否是“倍角三角形”，请说明理由． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 地 城 考点05 分式新定义题 1．（24-25八年级上·福建厦龙岩·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 地 城 考点06 整式乘法与因式分解新定义题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 压轴题专项 9大高频考点概览 考点01 三角形内外角定理综合 考点02 利用角平分线性质构造辅助线 考点03 利用等腰三角形三线合一性质构造辅助线 考点04 与三角形有关的新定义题 考点05 分式新定义题 考点06 乘法公式与因式分解因新定义题 地 城 考点01 三角形内外角定理综合 1、 单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，分别平分，，，．下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 过分别作、、的垂线，垂足分别为， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴为外角的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 二、解答题 3．（24-25八年级上·福建莆田·期末）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数． （2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果； （2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果； 准确找到角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 则； （2）设， 在中，， 在中，， ①+②得：， ∴． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知，点A在直线上，，分别与直线交于点B，C，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，与的角平分线交于点G，求的度数； (3)如图3，在内作射线，使，以点C为端点作射线，若，试探究并直接写出与的数量关系式． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，平行线的判定和性质，垂直的定义，外角的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用各个知识点的联系； （1）根据同角的余角相等，可以证明，进而可以判断平行； （2）先根据角平分线的性质得到角的关系，再根据外角的性质即可得到答案； （3）此小问自己画图，要注意分情况讨论； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵与的角平分线交于点G， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． （3）解：分以下两种情况： ①如图，设和交于点， 由上可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ②如图， 由①可知：， ∴． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；    ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数；    (2)【迁移探究】 操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由；    (3)【拓展应用】 如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】(1)①；② (2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【分析】（1）①由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；②由①的求解过程，同理即可得到答案； （2）由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （3）对于图3，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、外角性质及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案；对于图4，由三角形内角和得到，再由角平分线定义、三角形内角和定理及直角三角形两锐角互余求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示：   在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， 用三角尺作边上的高，垂足为点， ； ②如图所示:   是的一个外角， ， ， ； （2）解：不变， 理由如下：    由（1）可知，， 是的一个外角， ， ， ； （3）解：如图所示：   在中，，， ， 是的平分线， ， 是的一个外角， ， ， ； 如图所示：   在中，，， ， 是的平分线， ， ， ， ； 综上所述，对于图3；对于图4． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质、直角三角形两锐角互余等知识，数形结合是解决问题的关键． 地 城 考点02 利用角平分线性质构造辅助线 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 2．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； 小明是这样思考的：过点作于点，作于点，四边形中两对角为，则另外两对角互补，则可证明，从而得证，即可得证结论．请你根据小明的思路完成证明过程； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，，根据，，得，可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可得，，可证，得； （3）过点作于点，过点作于点，证明，得出． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下． 证明：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 理由：过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 地 城 考点03 利用等腰三角形三线合一性质构造辅助线 1、 填空题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度/ 【分析】连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小， 过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，线段最短问题，三角形外角的性质等知识，解题的关键将的最值转化为． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 4．（24-25八年级上·福建宁德·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 地 城 考点04 与三角形有关的新定义题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）新定义：若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”． (1)下列三角形一定是“倍角三角形”的是__________（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点P，交于点E，连接．请判断是否是“倍角三角形”，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)是“倍角三角形”，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，再根据三角形外角的定义和性质即可得出，再根据 “倍角三角形”的定义判断即可． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③； （2）解：是“倍角三角形”．理由如下： ， ， 将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期末）定义：在四边形中，如果，那么我们把这样的四边形称为“对余四边形”． 【定义理解】如图，已知是对余四边形的对角线，，，则的度数为 ． 【问题探索】问题：如图，已知、是对余四边形的对角线，，． 求证：． 探索：小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法： 因为，，所以是等边三角形，将绕点顺时针方向旋转，连接，． …… 请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程． 【灵活运用】如图，已知、是对余四边形的对角线，，，若，，求的长． 【答案】【定义理解】；【问题探索】见解析；【灵活运用】 【分析】定义理解：由四边形是对余四边形，得，进而根据等腰三角形的性质即可得解； 问题探索：证明是等边三角形，为等边三角形，得，，进而得，证明，得，再证明，在中，利用勾股定理即可得证； 灵活运用：过点作，使，连接，，证明，得，有证（），得，由，，得，从而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：定义理解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题探索 证明：如图，将绕点顺时针方向旋转，连接，． ∵，， ∴是等边三角形， ∵将绕点顺时针方向旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴； 灵活运用：过点作，使，连接，，如图所示： ∴在中，，， ∴， ∵四边形为对余四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质，熟练掌握等边对等角，勾股定理，三角形的内角和定理，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 地 城 考点05 分式新定义题 1．（24-25八年级上·福建厦龙岩·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 3．（24-25八年级上·福建三明·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 地 城 考点06 整式乘法与因式分解新定义题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，因此这三个数都是“智慧数”． (1)根据“智慧数”的定义，请判断除外的所有奇数______“智慧数”；（填“是”或“不是”） (2)如图，拼叠的正方形边长是从开始的连续偶数，按此规律拼叠到正方形，其边长为（为正整数），请用含的代数式表示阴影部分的面积；（要求：需写出必要的化简过程） (3)若为正整数，则是“智慧数”．请判断该命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)阴影部分的面积为 (3)该命题为假命题，理由见解析 【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，数字规律的计算，掌握以上知识的计算法则是关键． （1）根据材料提示内容即可求解； （2）根据图形面积，结合材料提示方法求解即可； （3）根据题意若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得，结合材料提示，平方差公式的计算判定即可求解． 【详解】（1）解：， ∴根据“智慧数”的定义，除1外的所有奇数是“智慧数”， 故答案为：是； （2）解：方法一： ∵ ， ∴阴影部分的面积为． 方法二： ∵ ， ∴阴影部分的面积为． （3）解：方法一： 该命题为假命题，理由如下： ∵若是“智慧数，则必有两个正整数、，使得， ∴， ∵、是两个正整数， ∴、同为偶数或同为奇数， ∴是4的倍数或奇数， 又∵不是4的倍数，也不是奇数， ∴不是“智慧数”， ∴该命题为假命题． 方法二：（举反例） 该命题为假命题，理由如下： ∵当时，，且， 又∵若6是“智慧数，则必有两个正整数、，使得， ∴， ∵、是两个正整数， ∴、同为偶数或同为奇数， 又∵、都是奇数乘偶数， ∴6不是“智慧数”， ∴该命题为假命题． ∵当时，，而6不是智慧数， ∴该命题为假命题． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期末）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 试卷第1页，共3页 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $