精品解析：四川省成都市成都七中万达学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025-2026学年成都七中万达学校九年级（上）半期数学试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图所示的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 3. 如图，下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是( ) A. ∠ADE=∠B B. ∠AED=∠C C. D. 4. 如图，菱形的边长，对角线，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. D. 5. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 6. 一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，则______． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ． 11. 在同一时刻太阳光下，测得一根高为1米的竹竿影长为2米，测得一栋楼的影长为20米，那么这栋楼的高度为________米． 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算或解方程： （1）； （2）． 15. 某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数； （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 16. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． （1）求反射点到木板的距离（即的长）； （2）求灯泡到地面的高度． 17. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，且，则______． 20. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 22. 如图，在矩形中，，，是上的动点（不与点，重合），连接交对角线于点，将沿折叠，点落在点处，若经过的中点，则的长为______． 23. 若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________． 24. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边经过原点，反比例函数的图象经过点，，已知点，且轴． （1）求反比例函数的表达式； （2）若在反比例函数第一象限图象上有一个点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）若一个四边形能被它其中的一条对角线平分成两个等腰三角形，我们把这样的四边形叫做“漂亮四边形”，这一条对角线为它的“漂亮线”．若一个“漂亮四边形”满足，且为它的“漂亮线”，请求出点的坐标． 26. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，，．将绕点旋转，使得点落在内部，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，延长交线段于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年成都七中万达学校九年级（上）半期数学试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图所示的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从正面看到的图形即可判断求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体的主视图是， 故选：． 2. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3. 如图，下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是( ) A. ∠ADE=∠B B. ∠AED=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】根据三角形相似的判定定理依次进行判断即可得到当AD：AB=DE：BC时不能判断△ABC∽△ADE． 【详解】当∠ADE=∠B，而∠A公共角，所以△ABC∽△ADE； 当∠AED=∠C，而∠A公共角，所以△ABC∽△ADE； 当AD：AB=AE：AC，而∠DAE=∠BAC，所以△ABC∽△ADE ； 当AD：AB=DE：BC时，没有角，因此不能判断△ABC∽△ADE， 故选D. 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟记三角形相似的判定定理是解题的关键.定理：如果两个三角形有两组对应角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似． 4. 如图，菱形的边长，对角线，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，设的交点为点O，由菱形的性质得出，  ，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长，根据菱形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，设的交点为点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴  ， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 5. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接， 则相交于一点O， ∴这两个三角形的位似中心是点O． 故选：B． 6. 一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6, ∴共有4种等可能的结果， ∴这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6， 共1种情况， ∴能构成等腰三角形的概率是， 故选：A． 【点睛】此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 7. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 8. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据当时，可知反比例函数图象在第二、四象限，即得到，解之即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 当 时，有， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例的计算，掌握知识点是解题的关键． 由已知比例关系，可推导出的值，然后代入所求表达式进行简化计算． 【详解】解：由，得 ，即． 则． 故答案为：4． 10. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式”是解题的关键． 11. 在同一时刻太阳光下，测得一根高为1米的竹竿影长为2米，测得一栋楼的影长为20米，那么这栋楼的高度为________米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键．根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解． 【详解】解：设楼的高度是米，由题意得：， 解得：． 故答案为：10． 12. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据，则反比例函数图象位于一次函数图象下方，进而结合图象得出答案． 【详解】解：如图所示：一次函数与反比例函数的图象交于点． ∴关于x的不等式的解集是或； 故答案为：或． 13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作角平分线，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的性质． 由作图可知平分，由平行四边形可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得的长． 【详解】解：由题中作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后根据实数的运算法则求解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 或， 解得． 15. 某市图书馆计划举办中小学生“成语百变”趣味活动，因报名人数较多，将所有报名人员分为、、、四组同时进行，现随机抽取了部分报名的学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有______人，并补全条形统计图； （2）求出扇形统计图中组部分所占的圆心角的度数； （3）小红和小林都报名参加了“成语百变”趣味活动，他们会被随机分到、、、四个组中，请用画树状图法或列表法，求两人恰好分到同一组的概率． 【答案】（1）60， 补全条形图如下图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、列举法求概率等知识，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“组学生人数除以其占比”，即可求得本次抽取调查学生总人数；利用“本次抽取调查学生总人数组的学生人数占比”求出组的学生人数， 补全条形图即可； （2）利用“组学生占比”即可求得答案； （3）根据题意作出树状图，结合树状图求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 组的人数为（人）． 图略； 故答案为：60； 【小问2详解】 组部分所占的圆心角； 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中两人恰好分到同一组的结果为4， 所以两人恰好分到同一组的概率． 16. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中点在同一水平面上． （1）求反射点到木板的距离（即的长）； （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1）的长为； （2）灯泡到地面的高度为 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）证明，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， ∴， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴灯泡到地面的高度为． 17. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长 【答案】（1） 证明：过点作，交的延长线于点，如图， 四边形为正方形， ． ， ， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质，直角的性质，等腰直角三角形的性质得到，，通过证明即可得出结论； （2）过点E作于点M，延长交于点N，先证明是等腰直角三角形，且，继而证明，设 则，，推导出是等腰直角三角形，且，，由，得到，求出，由勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），由，求出，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点E作于点M，延长交于点N，如图 ∴， 在正方形中，有 ， ∴，是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 即 或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数关系式； （2）直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标； （3）在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，解直角三角形，与面积的综合问题，灵活运用各知识点是解题的关键． （1）先求出点，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）联立直线与反比例函数解析求得，联立直线与直线求得，而，设，过点作轴交直线于点，可求，则，当点在直线右侧时，可得，由，得到，则；当点在直线作侧时，此时，同理可求； （3）如图，过点作于点，由可得为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，那么，故，由得，则，故，那么或，即可求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过， ∴， 解得：， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立直线与反比例函数解析式得，， ∴， 解得：或， ∴， 联立直线与直线得，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设，过点作轴交直线于点， 则，， ∴， ∴，如图： 当点在直线右侧时，∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在直线作侧时，∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 则； ∵， ∴点距离轴和轴的距离相等且为， ∴直线与轴负半轴夹角为， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，，，根据已知等式建立关于k的方程，解方程求出k的值，再计算的值即可． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 20. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于两点，点在轴上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与反比例函数交于两点，得出、两点关于原点对称，推出，过点作轴于点，由三线合一可得，从而得到，进而可求出的值． 【详解】解：过点作轴于点， 函数与反比例函数交于两点， 、两点关于原点对称， 即， ， ，轴 ， ， 即， ． 22. 如图，在矩形中，，，是上的动点（不与点，重合），连接交对角线于点，将沿折叠，点落在点处，若经过的中点，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，设与相交于点，由矩形的性质得，，，即得，，，又由折叠的性质得，，，，得到，即得到，由点是的中点得，进而可证，得到，即得到，再利用勾股定理可得或，最后根据求得或即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，，， 由折叠得，，，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，, ∴， ∴． 故答案为：或． 23. 若一个自然数，其中a与b都是两位数，a与b的十位数字相同，个位数字之和为6，则称自然数n为“理想数”，将自然数n分解成的过程，称为“理想分解”．如，所以168是“理想数”．若把一个“理想数”n进行“理想分解”，即，a与b的和记为，a与b的差的绝对值记为，，当能被3整除时，满足条件的n的最小值是__________． 【答案】1088 【解析】 【分析】本题考查了新定义、最值和整除，设a的个位数为y，则b的个位数为，求出 、，的表达式，通过分析讨论即可求得最值； 【详解】设两位a的个位数为y，十位数为x，则两位数b的个位数为． ，， ， 令 ，即 ，得 ， ，此时， ， ∵使得n的值最小， ∴只有x最小，y是满足条件， ①当，时，，不能被3整除，舍去； ②当，时，，不能被3整除，舍去； ③当，时，，不能被3整除，舍去； ④当，时，，不能被3整除，舍去； ⑤当，时，，不能被3整除，舍去； ⑥当，时，，不能被3整除，舍去； ⑦当，时，，能被3整除， 故，； 则， 故答案为：1088． 24. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 （2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得： ， 解得：（负值已舍掉）； 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； 【小问2详解】 设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得： ， 解得：； ∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边经过原点，反比例函数的图象经过点，，已知点，且轴． （1）求反比例函数的表达式； （2）若在反比例函数第一象限图象上有一个点，使得的面积为6，求点的坐标； （3）若一个四边形能被它其中的一条对角线平分成两个等腰三角形，我们把这样的四边形叫做“漂亮四边形”，这一条对角线为它的“漂亮线”．若一个“漂亮四边形”满足，且为它的“漂亮线”，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标是或 （3）点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数，一次函数的图象与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出)，则，即可解答； （2）过点A作轴交于点H，设点，，直线的表达式，求出直线的表达式为，则得到或，解得（舍去）或，（舍去）或，则点P的坐标是或，即可解答． （3）证明出为等腰三角形，分类讨论：①当，②当时， ③当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意及图，可得 点A的纵坐标为2，点B的横坐标为，且点A与点B关于原点对称， ∴)， 则， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 如图，过点A作轴交于点H． 设点，，直线的表达式， 由点，分别代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， 则， 则 即 ∴或， 化简，得 或， 解得（舍去）或，（舍去）或， 当时，，即， 当时，，即， ∴点P的坐标是或． 【小问3详解】 ∵四边形为漂亮四边形， ，为“漂亮线”， ∴为等腰三角形． ①当，如图 ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，符合题设要求， 则点． ②当时，点D在y轴负半轴时，符合题设要求，如图 过点B作轴于点N，则， 则， ∴， 则点． ③当时，点D在x轴正半轴时，符合题设要求，如图 设与x轴交于点M， ∵， ∴为等边三角形， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 26. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，，．将绕点旋转，使得点落在内部，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，延长交线段于点，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）的长为； （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形，可得，由勾股定理，结合已知可得，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合三角形相似的性质，可得，，三点共线，根据勾股定理可得，即可得的长； （3）作，交延长线于点，连接，延长，交于点，连接，可得，，，，可得，，可证明，可得，根据勾股定理可得，，可得，从而可得，即可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 又∵， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． ∴，，三点共线． 在中，， ∵，， ∴．    ∴． ∴的长为． 【小问3详解】 解：作，交延长线于点，连接，延长，交于点，连接， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线分线段对应成比例，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $