精品解析：广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年上学期九年级数学期末模拟卷02

广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年度第一学期九年级数学期末模拟卷02 一．选择题（共10小题） 1. 用6个同样的小正方体拼成一个立体图形，从上面和正面看到的图形都是 ，从右面看到的图形是 ，这个立体图形的形状是下面的图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据观察选项从正面、右面、上面看到的形状即可判断． 【详解】解：从上面和正面看到的图形都是 ，从右面看到的图形是 ， 这个立体图形的形状是 ． 故选：D． 【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力． 2. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果数为，然后根据概率公式求解即可，熟练掌握概率公式为解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 共有种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的结果数为， ∴两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为， 故选：． 3. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义． 利用一元二次方程根的定义，得到的值，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵m是方程的实数根， ∴， 即， ∴． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 5. 如图，正方形的边长为8，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为（　　） A. 5 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于明确GH是△OEF的中位线． 如图，连接，作于M，于N，可得，，是的中位线，是的中位线，在中，由勾股定理得求出的值，然后根据求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，作于M，于N， ∵四边形是正方形， ∴ ∴，， ∴C为的中点，． ，， ， ∴， ∴， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（ ） 气体的体积 3 2 1 0.5 气体的气压 32 48 96 192 A. 120 B. 100 C. 96 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表中数据，气压p与体积V的乘积均为96，故p与V成反比例关系，即，代入计算即可得p值． 【详解】解：∵由表数据：， ∴，即p与V成反比例关系． 当时，． ∴ p为， 故选A． 7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 无法求出 【答案】B 【解析】 【分析】将图2阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：将图2阴影部分分割成正方形和长方形，如图， 根据勾股定理得：斜边长=10， ∴阴影部分面积为（10﹣8）×10+（10﹣8）×（8﹣6）=24， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理、正方形面积公式、长方形的面积公式，会利用割补法解决问题是解答的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，交y轴于点A，，，，反比例函数恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质及三角函数是解题的关键；过点C作轴于点D，然后根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则， 则的横坐标为，纵坐标为， ∴， 取点，则是的中位线， ∴， ∵， ∴点在半径为的上运动， ∵是的中位线， ∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则 ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，, 则 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11. 如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识并建立坐标系求解是解题的关键． 通过设正方形边长为a，利用正方形性质、中点坐标公式确定各点坐标，再根据两点间距离公式结合求解a的值． 【详解】解：设，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，，． ∵是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点， ∴， ∴， ∵O是中点，，，G是中点， ∴，， 根据两点间距离公式，，即， 解得，即的长为． 答：8． 12. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据“同伴方程”的定义，两个方程有且只有一个相同的实数根．先求解方程的根，再分析方程 的根，再根据新定义进行求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得，； 方程的根为，． 由题意，，得或，得； 故的值为或； 故答案为：或． 14. 在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由可得四点共圆，且该圆的直径为，可知当时，最小，此时最小，过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理可得，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由是等腰直角三角形，可得，，，即得，再利用的面积可得，设，则，可证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，得到，即得到，即可求解． 【详解】解：∵交于点，交于点， ∴， ∴， ∴四点共圆，且该圆的直径为，如图， 由垂线段最短可知，当时，最小，此时最小，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理，垂线段最短，锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，，则，，证明，则，，又，则有，然后通过等腰三角形的性质可得，则有，从而可得点三点共线，过点作于点，则有，证明，然后通过性质可得，所以，，得，设，则，在中根据勾股定理得，，得，再代入即可求解． 详解】解：如图，连接，    由矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，得，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是反比例函数上的点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中根据勾股定理得，， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，掌握知识点的应用是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 下面是嘉嘉同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解： 方程两边同时除以，得： 第一步 去括号，得： 第二步 移项、合并同类项，得： 第三步 （1）以上解方程的过程，从第 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2），，过程见解析 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程． （1）根据解方程的方法得到错误之处和错因； （2）利用因式分解法进行正确求解即可． 【小问1详解】 解：从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以一个可能为0的代数式， 故答案为：一； 【小问2详解】 解： 移项得：， ∴， 则， ∴或， ∴，． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点B在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整，（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了基本作图和菱形的性质，正确作图是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交于点B，以点A为圆心，以为半径画弧，交线段的垂直平分线于点D，连接，即可得到所求菱形； （2）设与相交于点O，利用特殊角的三角函数和菱形的性质求出，则，即可得到菱形的面积为． 【小问1详解】 解：如图所示，四边形即为所求菱形， 【小问2详解】 设与相交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 18. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 19. 如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． （1）求树的高度． （2）因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，已知，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可设，，通过勾股定理得到关于的方程，进行求解即可； （2）过点A作太阳光线于点D，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解． 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为． （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． 【点睛】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当树与光线垂直时，树影最长，是解题的关键． 20. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． 【小问2详解】 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 21. 综合实践：由三角形面积到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原点时，面积可以通过一个简洁的公式表示．若点，和，则的面积为；如图1，． 任务一：公式验证 （1）若点，，则的面积为 ； 任务二：对标函数 （2）如图2，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是6，求的值； 任务三：图形变换 （3）若点坐标为，点的坐标为，且的面积为1，将线段沿轴平移，、两点是否会同时落在某双曲线上，若能，直接写出此时、的值，若不能，请简要说明理由； （4）如图3，已知点在第二象限，，、在射线上，的面积为，将反比例函数绕坐标原点顺时针旋转，刚好经过、两点，求线段的长度． 【答案】（1）4；（2）8；（3）能，，；（4） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的交点，旋转变换的性质，熟练运用待定系数法和旋转变换的性质是解题关键． （1）运用题目给出的公式即可求得答案； （2）根据题意得出A、B的坐标，再运用题目给出的公式即可求得答案； （3）根据的面积为1，列方程求得或1，则或（舍去），进而可得，即可求得； （4）将逆时针旋转得到，设射线交y轴于E，交双曲线于，连接，则，，利用待定系数法可得出的解析式，设的横坐标分别为c、d，由的面积为，可得出，再将点的坐标代入的解析式，求得d的值，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵点， ∴， 故答案为：4； （2）如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵，且的面积为1， ∴， 解得：或1， ∴或， 设线段沿x轴平移s个单位， 当时，， 若P、Q两点会同时落在某双曲线上， 则， 解得：，即线段沿x轴向左平移7个单位， ∴， ∴； 当时，沿x轴平移后在x轴上，不可能落在双曲线上， 综上，； （4）如图，将逆时针旋转得到，设射线交y轴于E，交双曲线于，连接， 则，，， 设，且， ∵点在第二象限， ∴，且与x轴负半轴夹角为， ∴点在x轴负半轴上， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的解析式为，则， ∴， ∴的解析式为， ∵的面积为， ∴， 整理得：， ∵， ， 设，则， 解得：，，经检验是原方程的解， ， ， ， ， 把，代入的解析式， ， 解得：， ， ， ， ， ∴线段的长度为． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 23. 阅读下列材料，回答问题． 任务：高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况．这不仅会影响行车的舒适性，还可能带来安全隐患．为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 素材1：设备原理 该探测仪的工作原理基于激光探测．如图①，探测仪发出光线，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线，其中光线与路面的夹角等于反射光线与路面的夹角，均为，且始终保持恒定．水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端，负责捕捉反射光线，借此实现对路面情况的探测. 素材2：基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和厘米，点与收集端端点的水平距离是厘米，且为厘米，为厘米. 素材3：形变探测 如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点会产生移动，记移动后的反射光线为，移动距离为，若路面下沉，点向右移动；若路面隆起，点向左移动（向右记为正、向左记为负）．通过的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值. （1）依据素材2所给的条件，求的值； （2）如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； （3）当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端的长度？ 【答案】（1） （2） （3）只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用、相似三角形的应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点，易证，进而可得，据此即可得解； （2）利用，从而可得，据此即可得解； （3）设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点恰好到延伸后的点处，此时反射光线与地面的交点为点，的中点为点，利用，据此即可得解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点， 由题意得，，，，， 设，则， 由题意知， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴在中，； 【小问2详解】 解：如图②，过点作于点， 由题意可得，， 1， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围为； 【小问3详解】 解：由（2）得，该探测仪和收集端能够测量的路面下沉最大值为， 为满足道路养护部门需求，调整收集端的长度， 如图③， 设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时，反射光线落点恰好到延伸后的点处，此时反射光线与地面的交点为点，的中点为点， ∵由题意易证得四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵由（1）得，， ∴， 解得， ∵由（2）得信号收集端在原长度不变的情况下可测得路面隆起3厘米， ∴只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年度第一学期九年级数学期末模拟卷02 一．选择题（共10小题） 1. 用6个同样的小正方体拼成一个立体图形，从上面和正面看到的图形都是 ，从右面看到的图形是 ，这个立体图形的形状是下面的图（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有张分别印有版《哪吒之魔童闹海》图案的卡片：哪吒、敖丙、太乙真人、无量仙翁．现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后不放回，再从中任意取出张卡片，两次取出的2张卡片中图案为“哪吒”、“敖丙”的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2026 C. 2027 D. 2028 4. 如图，在平行四边形中，上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A. B. C. D. 5. 如图，正方形的边长为8，对角线，相交于点O，点E，F分别在，的延长线上，且，，G为的中点，连接，交于点H，连接，则的长为（　　） A. 5 B. C. D. 4 6. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值，则当气体的体积为m3时，气体的气压最接近（ ） 气体的体积 3 2 1 05 气体的气压 32 48 96 192 A. 120 B. 100 C. 96 D. 90 7. 如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 无法求出 9. 如图，在平面直角坐标系中，交y轴于点A，，，，反比例函数恰好经过点，则值为（ ） A B. C. D. 10. 如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为_____ ． 12. 如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 13. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则的值为_______． 14. 在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ______ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象与线段交于点，并且，则点的坐标为______ ． 三．解答题（共8小题） 16. 下面是嘉嘉同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解： 方程两边同时除以，得： 第一步 去括号，得： 第二步 移项、合并同类项，得： 第三步 （1）以上解方程的过程，从第 步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 17. 如图，是菱形的一条对角线，点B在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整，（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求菱形的面积． 18. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 19. 如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． （1）求树的高度． （2）因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 20. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 21. 综合实践：由三角形面积到反比例函数一点小知识：在平面直角坐标系中，当三角形在的一个顶点位于坐标原点时，面积可以通过一个简洁的公式表示．若点，和，则的面积为；如图1，． 任务一：公式验证 （1）若点，，则的面积为 ； 任务二：对标函数 （2）如图2，点，在反比函数（）的图象上，，的纵坐标分别是3和6，连接，，若的面积是6，求的值； 任务三：图形变换 （3）若点坐标为，点的坐标为，且的面积为1，将线段沿轴平移，、两点是否会同时落在某双曲线上，若能，直接写出此时、的值，若不能，请简要说明理由； （4）如图3，已知点在第二象限，，、在射线上，的面积为，将反比例函数绕坐标原点顺时针旋转，刚好经过、两点，求线段的长度． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 23. 阅读下列材料，回答问题． 任务：高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况．这不仅会影响行车的舒适性，还可能带来安全隐患．为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 素材1：设备原理 该探测仪工作原理基于激光探测．如图①，探测仪发出光线，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线，其中光线与路面的夹角等于反射光线与路面的夹角，均为，且始终保持恒定．水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端，负责捕捉反射光线，借此实现对路面情况的探测. 素材2：基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和厘米，点与收集端端点的水平距离是厘米，且为厘米，为厘米. 素材3：形变探测 如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点会产生移动，记移动后的反射光线为，移动距离为，若路面下沉，点向右移动；若路面隆起，点向左移动（向右记为正、向左记为负）．通过的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值. （1）依据素材2所给的条件，求的值； （2）如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； （3）当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端的长度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $