专题02 线段与角中的八大经典模型（举一反三专项训练）数学浙教版2024七年级上册

专题02 线段与角中的八大经典模型（举一反三专项训练） 【浙教版2024】 【模型1 单中点模型】 2 【模型2 相邻双中点模型】 5 【模型3 相间双中点模型】 8 【模型4 半角模型】 10 【模型5 角叠角模型】 15 【模型6 角夹角模型】 20 【模型7 单角平分线模型】 24 【模型8 双角平分线模型】 28 模型1：单中点模型 类型 单中点模型 条件 C为AB的中点 C为AB 上一点，D为BC 的中点 图示 结论 AC=BC= AB，AB=2AC=2BC AD= (AC+AB)，AB+AC=2AD 【模型1 单中点模型】 【例1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差． 先求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后根据即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，点C、D是线段上的两点，若点D为的中点，且，，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，根据线段中点的定义，线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵ ∴可设，则， ∵，即， ∴， 解得， 即， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，点为线段上一点，点为的中点，．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握并灵活运用线段的中点和线段的和差是解答本题的关键．分当点在线段上和点在线段的延长线上，两种情形求解即可． 【详解】解：当点在线段上时， 点为的中点，， ，， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时， ，， ， ， ； 综上所述的长为或， 故选：D． 【变式1-3】已知点C是线段上的点，，D是直线上一点，点E是的中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】8或24 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，分点在线段上，点在线段的延长线上和点在线段的延长线上三种情况讨论，分别画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】解：若点在线段上， ∵，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； 若点在线段的延长线上， ∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； 若点在线段的延长线上，不符合题意，舍去； 综上可得：线段的长为8或24， 故答案为：8或24． 模型2：相邻双中点模型 类型 相邻双中点模型 条件 C为AB上一点，E，F分别为AC，BC 的中点 C为AB上一点，E，F分别为AB,BC 的中点 图示 结论 EF= AB EF= AC 【模型2 相邻双中点模型】 【例2】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，解题的关键是掌握各线段间的关系．根据线段中点的定义可得，，进而得到，结合，即可求解． 【详解】解：点是线段的中点， ， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的性质以及线段长度的计算，解题的关键是根据点的排列顺序明确各线段间的和差关系，利用中点将线段进行等分转化． 根据A、B、C、D的依次顺序，用、、表示出和的长度，结合已知条件求出、、的和；利用中点性质得到和分别为、的一半，进而通过线段和求出的长度． 【详解】解：如图， ∵在一条直线上且依次排列 ∴， ∵ ，， ∴，即， ∵M、N分别是、的中点， ∴，． ∴ ． 故答案为：6． 【变式2-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点、、在同一直线上，若，，点，分别是线段、中点，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差并分类讨论是解题关键．分类讨论：点在线段上时或点在线段的延长线上时，根据中点定义，可得与的关系，与的关系，可根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当点在线段上时， 、分别为线段、的中点， ，， ； 当点在线段的延长线上时， 、分别为线段、的中点， ，， ； 故答案为：或． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）如图，点A，B，C在同一直线上，H为的中点，M为的中点，N为的中点．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中点的有关计算，线段和差，由为的中点， 为的中点，为的中点，则，，，然后结合图形，进行计算，即可判断，掌握线段中点的概念和性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，为的中点， ∴，，， ∴， ∴，A正确，B错误； ，C正确； ，D正确， 故选：B． 模型3：相间双中点模型 类型 相间双中点模型 条件 E，F分别为AC，DB的中点 图示 结论 EF= (AB+CD)= (+) 【模型3 相间双中点模型】 【例3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的性质，求两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于x的方程． 设，，，然后表示出，，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵的中点M与的中点N的距离是 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-2】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键．首先根据，是线段上任意两点，可得，，所以；然后根据，，求出的值，即可求出的值；最后用的值加上的长度，求出线段的长是多少即可． 【详解】解：，是线段上任意两点，是的中点，是的中点， ，， ； ，， ， ， ． 故选：A． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）七年级同学正在举办“线段联欢会”，小明同学出示的节目是：如图，点为线段上一点，，M是线段中点，，N为线段的中点，则（   ） A．2 B．1 C．1.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，先根据中点求出，，再求出，，然后根据点N为线段的中点，由线段的中点定义可得长，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵M是线段中点，， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵N为线段的中点， ∴， ∴． 故选：B． 模型4：半角模型 类型 半角模型 条件 AOC=α,BOC=β(α>β),EOF= 图示 结论 ∠AOE+∠BOF=，AOE－∠COF= 【模型4 半角模型】 【例4】如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 【变式4-1】如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针旋转，当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转． 秒后，OC与OD的夹角是30°． 【答案】12或24 【分析】设转动t秒，OC与OD的夹角是30°，分两种情况讨论列方程即可得到结论； 【详解】解：设转动t秒，OC与OD的夹角是30°， 分情况讨论： ①如图1，由题意得：4t＋t＝90−30， 解得：t＝12， ②如图2，由题意得：4t＋t＝90＋30， 解得：t＝24， ∴旋转的时间是12秒或24秒， 故答案为：12或24． 【点睛】本题考查了角的有关计算，注意分情况讨论是解题的关键． 【变式4-2】如图，若平分，则 °（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的计算．分别用，以及表示出，然后根据两者相等即可求出． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算： （1）根据角平分线的定义可得，①根据题意可得，从而得到，即可求解；②根据射线平分，可得，进而得到，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得到，，即可求证； （3）根据，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：射线平分 ， ①∵，， ， ， ， ∴， 故答案为： ②射线平分， ， ， ； 故答案为： （2）解：射线平分， ， ， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 模型5：角叠角模型 类型 角叠角模型 条件 AOC=α，BOD=β 图示 结论 AOB+COD=α+β 【模型5 角叠角模型】 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 【变式5-1】已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题． (1)尝试探究：如图1，已知，的度数为________； (2)初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由； (3)拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角的和差，掌握角度之间的关系是解决本题的关键． （1）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可； （2）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可； （3）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴； （3）∵ ∴； 【变式5-2】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，一副三角尺与的直角顶点O重合在一起． (1)_____________； (2)试判断与的大小关系，并说明理由； (3)若，为的平分线，求，，的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)；； 【分析】（1）根据题意可得，从而得到，即可； （2）根据，可得，即可； （3）由（1）得：，再由，可得，可求出的度数，再由为的平分线，可得，然后根据；，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴； 故答案为： （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即； （3）解：由（1）得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； ∵为的平分线， ∴， ∴；． 【点睛】本题考查余角与补角以及角平分线，根据题意得到是正确解答的前提． 模型6：角夹角模型 类型 角夹角模型 条件 AOC=nEOC，BOD=nDOF 图示 结论 EOF＝[AOB+(n-1)COD] 【模型6 角夹角模型】 【例6】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【详解】（1），为的二倍分线，且， ，， ， ， 故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线（，）， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：135； ②不变， ，分别为和的三倍分线，，， ，， ． 【变式6-1】如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC=3∠COD，OE平分∠BOD． (1)若∠COD=10°，求∠AOC的余角的度数； (2)若∠AOC=45°，求∠COE的度数． 【答案】(1)∠AOC的余角的度数是60° (2) 【分析】（1）先根据∠AOC=3∠COD求出∠AOC，再根据余角的定义求解即可； （2）先根据∠AOC=3∠COD求出∠COD，进而求出∠BOD，再根据OE平分∠BOD求出∠DOE，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴∠AOC的余角的度数是60°． （2）解：∵，，    ， ∵点A，O，B在一条直线上， ， ， ． ∵OE平分∠BOD， （角平分线定义）， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义的运用，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键． 【变式6-3】【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可． （2）根据角的平分线，角的和差计算即可． （3）由，设，则，根据角的平分线，角的和差计算即可． 本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ． 又∵平分，平分， ． ， ； （2）解：∵，， ． 故， ∴， 又∵平分， ． ． （3）解：由， 设，则 ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 模型7：单角平分线模型 类型 单角平分线模型 条件 射线OC在AOB内，OM平分BOC 图示 结论 AOM=BOM= AOB AOB+AOC=2AOM 【模型7 单角平分线模型】 【例7】如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的运算，设，，所以，由角平分线定义可得，则，然后求出的值即可，利用方程思想解决角度计算是解题的关键． 【详解】解：∵与的度数比为， ∴设，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】如图所示，已知O是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是邻补角、角平分线的有关计算，先求出，再根据角平分线定义求出结论即可． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ， 故选：B． 【变式7-2】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了角平分线的定义，利用方程是解答本题的关键，难度适中． 先设为，为，根据角平分线的定义、与的关系建立方程解答即可． 【详解】解：设为，则为， 平分， ， 则可得， ， ， 则可得：， 解得， ， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线定义，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在的内部时，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵（），， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵（），， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上分析可知：的度数是或． 故答案为：或． 模型8：双角平分线模型 类型 双角平分线和型 双角平分线差型 条件 OC是内的一条射线，，分别是，的平分线 OC是外的一条射线，，分别是，的平分线 图示 结论 【模型8 双角平分线模型】 【例8】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，然后利用角的和差求解即可； （2）同（1）思路一致，利用，分别求出和即可得解； （3）由题易得，，根据两式关系消去即可的解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴． 【变式8-3】如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线段与角中的八大经典模型（举一反三专项训练） 【浙教版2024】 【模型1 单中点模型】 2 【模型2 相邻双中点模型】 2 【模型3 相间双中点模型】 3 【模型4 半角模型】 4 【模型5 角叠角模型】 6 【模型6 角夹角模型】 7 【模型7 单角平分线模型】 9 【模型8 双角平分线模型】 10 模型1：单中点模型 类型 单中点模型 条件 C为AB的中点 C为AB 上一点，D为BC 的中点 图示 结论 AC=BC= AB，AB=2AC=2BC AD= (AC+AB)，AB+AC=2AD 【模型1 单中点模型】 【例1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，点C在线段的延长线上，，点D是线段的中点，，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，点C、D是线段上的两点，若点D为的中点，且，，则的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，，点为线段上一点，点为的中点，．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-3】已知点C是线段上的点，，D是直线上一点，点E是的中点，若，，则线段的长为 ． 模型2：相邻双中点模型 类型 相邻双中点模型 条件 C为AB上一点，E，F分别为AC，BC 的中点 C为AB上一点，E，F分别为AB,BC 的中点 图示 结论 EF= AB EF= AC 【模型2 相邻双中点模型】 【例2】已知、、是线段上的点，且，若点是线段的中点， ，是线段的中点，则线段的长是 ． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）一条直线上依次有、、、四个点，如果，，和分别是和的中点，那么 ； 【变式2-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）已知点、、在同一直线上，若，，点，分别是线段、中点，则线段的长是 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·河南开封·阶段练习）如图，点A，B，C在同一直线上，H为的中点，M为的中点，N为的中点．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 模型3：相间双中点模型 类型 相间双中点模型 条件 E，F分别为AC，DB的中点 图示 结论 EF= (AB+CD)= (+) 【模型3 相间双中点模型】 【例3】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 【变式3-1】如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·山东临沂·期末）七年级同学正在举办“线段联欢会”，小明同学出示的节目是：如图，点为线段上一点，，M是线段中点，，N为线段的中点，则（   ） A．2 B．1 C．1.5 D．3 模型4：半角模型 类型 半角模型 条件 AOC=α,BOC=β(α>β)，EOF= 图示 结论 ∠AOE+∠BOF=，AOE－∠COF= 【模型4 半角模型】 【例4】如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【变式4-1】如图，已知∠AOB=90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针旋转，当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转． 秒后，OC与OD的夹角是30°． 【变式4-2】如图，若平分，则 °（用含的代数式表示）． 【变式4-3】如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 模型5：角叠角模型 类型 角叠角模型 条件 AOC=α，BOD=β 图示 结论 AOB+COD=α+β 【模型5 角叠角模型】 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【变式5-1】已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题． (1)尝试探究：如图1，已知，的度数为________； (2)初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由； (3)拓展提升：如图3，若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式5-2】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【变式5-3】如图，一副三角尺与的直角顶点O重合在一起． (1)_____________； (2)试判断与的大小关系，并说明理由； (3)若，为的平分线，求，，的度数． 模型6：角夹角模型 类型 角夹角模型 条件 AOC=nEOC，BOD=nDOF 图示 结论 EOF＝[AOB+(n-1)COD] 【模型6 角夹角模型】 【例6】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【变式6-1】如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【变式6-2】如图，点A，O，B在一条直线上，∠AOC=3∠COD，OE平分∠BOD． (1)若∠COD=10°，求∠AOC的余角的度数； (2)若∠AOC=45°，求∠COE的度数． 【变式6-3】【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 模型7：单角平分线模型 类型 单角平分线模型 条件 射线OC在AOB内，OM平分BOC 图示 结论 AOM=BOM= AOB AOB+AOC=2AOM 【模型7 单角平分线模型】 【例7】如图，与的度数比为，平分，若，则的度数是 ．    【变式7-1】如图所示，已知O是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）如图，已知是直线上一点，是一条射线，平分，在内，，， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，已知，在平面内取一点，满足（），以为边作等边（在的逆时针方向上），作平分，的度数是 ．（用含的代数式表示） 模型8：双角平分线模型 类型 双角平分线和型 双角平分线差型 条件 OC是内的一条射线，，分别是，的平分线 OC是外的一条射线，，分别是，的平分线 图示 结论 【模型8 双角平分线模型】 【例8】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，有一副三角板和，它们的斜边和按图1所示摆放在直线上，，，已知平分，平分． (1)求初始位置的度数． (2)若将三角板绕点A转到如图2位置，使，且，求的度数． (3)在（2）的基础上，若继续将三角板绕点A转动到图3位置，使，求与存在的等量关系． 【变式8-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【变式8-2】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【变式8-3】如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $