精品解析：2025-2026学年沪科版九年级上册期末数学达标检测试题

2025-2026学年九年级上册 期末培优检测试题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 4. 已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 3或5 B. ﹣1或1 C. ﹣1或5 D. 3或1 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（   ） A. 4米 B. （2+2）米 C. （4﹣4）米 D. （4﹣4）米 8. 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 已知二次函数的图象如图所示，在下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 在锐角三角形中，已知，满足，则______． 12. 抛物线与x轴交于和两点，当x________时，． 13. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______． 14. 如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为__________． 15. 已知：如图，在中，为中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则______． 16. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，当，则长度为______． 17. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为_______． 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 20. 已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，求证：． 21. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， （1）求的值和一次函数的表达式； （2）关于的不等式的解集为______； （3）若点为直线上动点，过点作轴，与反比例函数的图像交于点，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 综合与实践 【问题背景】 菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动． 【基础训练】 （1）如图1．在菱形中，于点，于点．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册 期末培优检测试题 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式解题即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式． 2. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴， A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D、添加不能证明，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为2．则k的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积计算，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，，根据三角形的面积公式得到，是解题的关键． 【详解】解：∵轴， ，B两点纵坐标相同， 设，，则，， ， ， 故选：C． 4. 已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A. 3或5 B. ﹣1或1 C. ﹣1或5 D. 3或1 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1＝5， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1＝5， 解得：h＝5或h＝1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：点，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即，或者，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 6. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形顶点的位置上，连接、相交于点P，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，过点B作于H，先证明，进而解直角三角形得到，，再证明得到，则，利用勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作于H， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：B． 7. 如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为（   ） A. 4米 B. （2+2）米 C. （4﹣4）米 D. （4﹣4）米 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△CMB中求出CM，在Rt△ADM中求出DM即可解决问题． 【详解】在Rt△CMB中，∵∠CMB=90°，MB=AM+AB=12米，∠MBC=30°， ∴CM=MB•tan30°=12×=4， 在Rt△ADM中，∵∠AMD=90°，∠MAD=45°， ∴∠MAD=∠MDA=45°， ∴MD=AM=4米， ∴CD=CM-DM=（4-4）米， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于基础题中考常考题型． 8. 如图，在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在中有边长分别为a，b，c的三个正方形，得出图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是和，只要它们相似即可得出所求的结论． 【详解】解：∵图中四个四边形正方形， ∴，， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质，余角的性质，解题的关键是证明． 9. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解． 【详解】如图建立坐标系： 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1， 则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x1=3，x2=-1（舍去）， 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，在下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：开口向下，；对称轴在轴的右侧，、异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方，，则，所以①不正确； 当时图象在轴下方，则，即，所以②不正确； 对称轴为直线，则时图象在轴上方，则，所以③正确； ，则，而，则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值；当时，，则，即，所以⑤错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和系数的关系． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 在锐角三角形中，已知，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的非负性，得计算，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，实数的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 抛物线与x轴交于和两点，当x________时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 由于抛物线与x轴交于和两点，且，抛物线开口向上，则时x的取值范围为两个根之间的区间，据此求解即可． 【详解】解：由根与系数的关系，抛物线的根为和， 由于，抛物线开口向上， 故当x介于两个根之间时，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围______． 【答案】或## 或 【解析】 【分析】根据图像即可得出时，抛物线的图像在直线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】如图所示，抛物线与直线的交点为，， ∴当时，或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确解读函数图象是解题关键． 14. 如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图象过某个点，这个点坐标应适合这个函数解析式． 先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点D，， ，， 把坐标代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 当时，， ， 是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． 故答案为：． 15. 已知：如图，在中，为的中点，为上一点，延长线交延长线于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；作交于，由中点的定义得出，由平行线得出，，得出对应边成比例，，所以，即可得出结论． 【详解】证明：过点作交于，如图， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 16. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，当，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 17. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，背水坡的坡比，迎水坡的坡比，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，则可得到，再解直角三角形求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵背水坡的坡比，迎水坡的坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据特殊角的三角函数值、负指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先代入特殊角的三角函数值及化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 如图1，是某学校教学楼正厅摆放的“学校平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度，他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，，请帮助数学小组回答下列问题．（结果精确到，参考数据：，） （1）求此时该展板点B到地面的距离； （2）该小组调查时发现展板偏低，不方便同学阅读，于是他们想到可以增大，则当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，属于中档题，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）通过构造直角三角形，利用角的正弦值求出对应的竖直高度，再加的长度，得到B到地面的距离为； （2）分和两种情况，用对应角度的三角函数求的竖直高度，结合B到地面的距离算出A的高度，作差得增加了． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N， ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， 由图可得：B到地面的距离为， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 故B到地面的距离为； 【小问2详解】 解：最高点A到地面的高度为， 当时，， 在中， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 同理得， ∴， ∴． 故当从增大到后，展板的最高点A到地面的高度增加了． 20. 已知：，AD与BC交于点E，过点E作，交BD于点F． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用平行线的判定和性质求得，证明，，推出，，由，即可证明； （2）同理，，求得，变形即可证明结论成立． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：同理，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 【答案】（1） （2）服药后对人体的有效时间是 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【小问1详解】 当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，； 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 当药物浓度为4微克/毫升时，即时， 由，得， 由，得， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为． 22. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， （1）求的值和一次函数的表达式； （2）关于的不等式的解集为______； （3）若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图像交于点，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式和反比例函数解析式，利用交点求不等式取值范围，反比例函数图象和性质及几何结合问题． （1）把代入中得：，即，再将代入中得：，将，代入中即可求得一次函数解析式； （2）将反比例函数和一次函数联立求出交点坐标再结合图象即可得到本题答案； （3）设点，则点，则表示出的面积，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴把代入中得：，即， ∴反比例函数解析式为：， 再将代入中得：， ∴， 即： 将，代入中得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）得：和， ∴， 解得：或， ∵根据图像可知： 在交点的右侧符合，即， 在交点和轴之间符合，即， 综上所述：不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：设点，则点， 则的面积为： ， 解得：或或， 再把上述的的值分别代入，算出的值分别是 即点的坐标为：． 23. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点E是对称轴上的一个动点．点P在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在第一象限内，连接，，当的面积最大时，求点P的坐标及最大面积． （3）在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），最大面积 （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件将点B、C代入抛物线中，解得抛物线的解析式； （2）先求出点A的坐标和直线的解析式，设点P的坐标为，把的面积转化为，得到关于x的新的二次函数表达式，根据二次函数的性质，求出面积最大值，进而得到P点坐标； （3）设，，分两种情况讨论： ①当点P在x轴上方：过点P作对称轴垂线，垂足为F，过点B作于点G，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标； ②当点P在x轴下方（或）：过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K，通过证明，得到，解方程求出n的值，得到点P的坐标，综上所述，得到所有满足条件的P点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A与关于直线对称， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为， 如图，过点P作轴交于点D，则点D坐标为， ∴， ∴， 对于二次函数，其中，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， ∵对称轴为， ∴当时，有最大值为， 将代入得：， 即当点P坐标为时，的面积最大，最大面积为． 【小问3详解】 解：设，， ①当点P在x轴上方时，， 过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作于点G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），，（舍）， ∴，； ②当点P在x轴下方时，或， 如图，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作于点K， ∵是以为斜边等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，解得，（舍），（舍），， ∴，， 综上所述，点P的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，包括求抛物线解析式、求抛物线对称轴及最值等，利用三角形面积公式的和差关系求解，全等三角形的判定与性质及绝对值方程的求解． 24. 综合与实践 【问题背景】 菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动． 【基础训练】 （1）如图1．在菱形中，于点，于点．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）欲证明，只需要证得即可； （2）连接，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，由全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）在上取点，使，连接，，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ，， 又于点，于点， ， 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， 四边形为菱形， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：在上取点，使，连接，， 由（2）知为等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $